【鞏固練習】

一、選擇題

1.（?南昌）年初，一列CRH5型?司速車組進行了“300000公里正線運營考核”標志著中

國高速快車從“中國制造”到“中國創造”的飛躍，將300000用科學記數法表示為（）

A.3X106B.3X105C.0.3X106D.30X101

2.下列說法中，正確的是（）.

A.一個數的平方一定大于這個數B.一個數的平方一定是正數

C.一個數的平方一定小于這個數D.一個數的平方不可能是負數

3.式子----的意義是（）.

5

A.4與5商的立方的相反數B.4的立方與5的商的相反數

4

C.4的立方的相反數除5D.一一的立方

5

4.（?寶應縣一模）（-1）的值是（

A.1B.-1C.D.-

5.計算(-1)、(-1)3=()

A.-2B.-1C.0D.2

6.觀察下列等式：717,72=49,7，=343,7，=24察,75=16807,7，=117649…由此可判

斷7⑼的個位數字是（）.

A.7B.9C.3D.1

7.一根1米長的繩子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩

下的繩子的長度為（）.

A.米B.米C.米D.米

二、填空題

8.在（-2）"中，指數是,底數是,在-2,中，指數是,底數是

22

,在二中底數是，指數是

5—

9.（?鄲城縣校級模擬）計算：-（-3）J

10.一(-3)=；-25=

T

H.4-(-3)]3=,-32x(_2)3=

12.6008000=（用科學記數法表示），3.008x1（）5=（把用科學

記數法表示的數還原）.

13.1+3=2,1+3+5=,1+3+5+7=2,....,從而猜想：

1+3+5+……+20052

三、解答題

14.(春?浦東新區期中)(-3)2-(11)3x2-6*-2|3.

293

15.(秋?蓬溪縣校級月考)某種細菌在培養過程中，每半個小時分裂一次(由1個分裂成

2個).若經過4小時，100個這樣的細菌可分裂成多少個？

16.探索規律：觀察下面三行數，

2,-4,8,-16,32,-64,???①

_

~2f8,4,-20,28,-68,②

-1,2,-4,8,-16,32,…③

(1)第①行第10個數是多少？

(2)第②③行數與第①行數分別有什么關系？

(3)取每行第10個數，計算這三個數的和.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B.

2.【答案】D

,1,11

【解析】一個數的平方與這個數的大小不定，例如：22=4>2；而(上)2=±<±；

242

02=0,從而A,C均錯；一個數的平方是正數或0,即非負數，所以B錯，只有D對.

3.【答案】B

43

【解析】-一表示4的立方與5的商的相反數

5

4.【答案】A

【解析】解：；(-1)=1,

/.(-1)的值是1,

故選A.

5.【答案】C

【解析】(-1)2=1,(-1)3=-1

6.【答案】I)

【解析】個位上的數字每4個一循環，100是4的倍數，所以7°°的個位數字應為1.

7.【答案】C

二、填空題

8.【答案】4,-2,3,2,2,2

【解析】依據乘方的定義解答

9.【答案】-9.

14

10.【答案】3,-32,——

275

11.【答案】-27,72

12.【答案】6.008X106；300800；

13.【答案】10032

【解析】1+3=2?,1+3+5=32,[+3+5+7=42,……

n4-1

從而猜想：每組數中，右邊的事的底數。與左邊的最后一個數〃的關系是：。.

2

所以1+3+5+……+2005=(",」)2=10032.

三、解答題

14.【解析】

解：原式=9-W2x2-6+且

8927

=9-a-6x21

48

=9-2-81

44

=9-21

=-12.

15?【解析】

解：根據題意得:100X28=25600(個)，

則經過4小時，100個這樣的細菌可分裂成25600個.

16.【解析】

(1)2,-4,8,-16,32,-64,…①

第①行可以改寫為：2,2x(-2),2x(-2)a2x(-2)3.……,2>(-2)叫……

由-2的指數規律，可以知道n=10時、即2x(-2)”"=T024為第①行第10個數.

(2)第②行數是第①行相應的數減4；第③行數是第①行相應的數的-0.5倍；

(3)第②行第10個數為-1024-4=-1028

第③行第10個數為(-0.5)x(-1024)=512

所以第①行、第②行、第③行第10個數字之和為T024+(-1028)+512=-1540.

有理數的乘方、混合運算及科學記數法(基礎)

責編：杜少波

【學習目標】

1.理解有理數乘方的定義；

2.掌握有理數乘方運算的符號法則，并能熟練進行乘方運算；

3.進一步掌握有理數的混合運算.

4.會用科學記數法表示大數.

【要點梳理】指數

要點一、有理數的乘方

定義：求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做第(power).

即有：a?a....a=在中，a叫做底數，n叫做指數.

〃個底數

要點詮釋：

(1)乘方與嘉不同，乘方是幾個相同因數的乘法運算，塞是乘方運算的結果.

(2)底數一定是相同的因數，當底數不是單純的一個數時，要用括號括起來.

(3)一個數可以看作這個數本身的一次方.例如，5就是51指數1通常省略不寫.

要點二、乘方運算的符號法則

(1)正數的任何次嘉都是正數；(2)負數的奇次基是負數，負數的偶次嘉是正數；(3)

。的任何正整數次累都是0；(4)任何一個數的偶次基都是非負數，如屋》0.

要點詮釋：

(1)有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先應確定基的符號，然后再計

算幕的絕對值.

(2)任何數的偶次暴都是非負數.

要點三、有理數的混合運算

有理數混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減：(2)同級運算，從左到右進行;

(3)如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

要點詮釋：

(1)有理數運算分三級，并且從高級到低級進行運算，加減法是第一級運算，乘除法是第二

級運算，乘方和開方(以后學習)是第三級運算；

(2)在含有多重括號的混合運算中，有時根據式子特點也可按大括號、中括號、小括號的

順序進行.

(3)在運算過程中注意運算律的運用.

要點四、科學記數法

把一個大于10的數表示成axlO"的形式(其中“是整數數位只有一位的數，1W

a1<10,“是正整數)，這種記數法叫做科學記數法，如42000000=4.2x1()7.

要點詮釋：

(1)負數也可以用科學記數法表示，“一”照寫，其它與正數一樣，如-3000=—3x103；

(2)把一個數寫成axlO"形式時，若這個數是大于10的數，則n比這個數的整數位數少

【典型例題】

類型一、有理數乘方

【高清課堂：有理數的乘方及混合運算356849有理數乘方的性質】

Qi.計算：

(1)(一4)3(2)-43(3)(-3)4(4)-34

(5)(-)3(6)—(7)(2x3/(8)2x32

55

【答案與解析】

3

(1)(-4)=(-4)X(-4)X(-4)=^64；

(2)4=Tx4x4=-64.

(3)(-3h=(-3)x(-3)x(-3)x(-3)=81；

—4

(4)3=—3x3x3x3=-81e

(|下33327

(5)x—x—

555125

333x3x327

(6)—=

55

(7)(2x3)2=62=36；

(8)2x32=2x9=18

【總結升華】(一。)"與一a"不同，(一a)"=(—a).(-?).....a,而一a"=—aa??

火個〃個

表示。的n次鞋的相反數.

舉一反三：

【變式】(?長沙模擬)比較(-4)3和-不，下列說法正確的是()

A.它們底數相同，指數也相同

B.它們底數相同，但指數不相同

C.它們所表示的意義相同，但運算結果不相同

D.雖然它們底數不同，但運算結果相同

【答案】D.

解：比較(-4)、(-4)X(-4)X(-4)=-64,-4=-4X4X4=-64,

底數不相同，表示的意義不同，但是結果相同.

類型二、乘方的符號法則

▼2.不做運算，判斷下列各運算結果的符號.

(-2)1(-3)3(-1.0009)2009,,-(-2)2010

【思路點撥】理解乘方的意義，掌握乘方的符號法則.

【答案與解析】根據乘方的符號法則直接判斷，可得：(-2)7運算的結果是負；(-3)”運算的

結果為正；(-1.0009)雙9運算的結果是負；(|)運算的結果是正；-(-2)刈。運算的結果是負.

【總結升華】“一看底數，二看指數”，當底數是正數時，結果為正；當底數是。時，結果是

0；當底數是負數時，再看指數，若指數為偶數，結果為正；若指數是奇數，結果為負.

類型三、有理數的混合運算

^^3.(春?濱海縣校級月考)計算：

(1)4X(-A.5)X3-I-6|；

(2)(-1)3X(-12)4-[(-4)2+2X(-5)].

【思路點撥】(1)原式先計算乘法及絕對值運算，再計算加減運算即可得到結果；

(2)原式先計算乘方運算，再計算乘除運算，最后算加減運算即可得到結果.

【答案與解析】

解：(1)原式=12X(--1---^+2.5)-6

=-6-9+30-6

=9；

(2)原式二-IX(—12)+(16-10)

=124-6

二2.

【總結升華】此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

舉一反三：

【變式】計算：(1)-14-(1-0.5)X1-[2-(-3)2]

(1

(2)(-2)4^(-4)X--I2

【答案】原式=-1—|—|x—(2—9)=-1----(-7)=-1----卜7=5—

\2J3666

原式=16(—4)x——1=—16x—x——1=—2

444

類型四、科學記數法

▼4.用科學記數法表示：

(1)3870000000；(2)3000億；(3)-287.6.

【答案與解析】(1)把3870000000寫成axlO"時,。=3案7,它是將原數的小數點向左

移動9位得到的，即把原數縮小到白，所以3870000000=3.87x103

(2)3000億=300000000000,把3000億寫成axlO"時，a=3,〃的值應比300000000

000的整數位少1,因此n=\\,所以3000億=3x10”；

(3)—287.6寫成axlO"時，照寫，其它和正數一樣，所以—287.6=—2.876x1()2.

【總結升華】帶有文字單位的數先變為原數，再寫成axlO"形式，〃的確定：n比這個數的

整數位數少1.

舉一反三：

【變式】據寧波市統計局公布的第六次人口普查數據，本市常住人口760.57萬人，其中

760.57萬人用科學記數法表示為()

A.7.6057X1()5人B.7.6057X1()6人

C.7.6057XIO’人D.0.76057X10’人

【答案】B

0>5.(?福州)計算3.8X10?-3.7X10，,結果用科學記數法表示為()

A.0.1X107B.0.1X106C.1X107D.1X106

【答案】D.

解：3.8X107-3.7X107

=(3.8-3.7)X107

=0.1X107

=ixio6.

【總結升華】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10"的形式，

其中n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.注意靈活運用運算

定律簡便計算.

類型五、探索規律

C6.你見過拉面館的師傅拉面嗎？他們用一根粗的面條，第1次把兩頭捏在一起抻拉得

到兩根面條，再把兩頭捏在一起抻拉，反復數次，就能拉出許多根細面條，如下圖，第3

次捏合抻拉得到根面條，第5次捏合抻拉得到根面條，第〃次捏合抻拉得到

根面條，要想得到64根細面條，需次捏合抻拉.

第1次第2次第3次

【思路點撥】本題考查了有理數的乘方，解題的關鍵是找出每一次拉出來面條的根數的規律.

第1次：2]=2；第2次：22=4；第3次：23=8；…；第〃次：2".

【答案】8；32；2"；6

【解析】由題意可知，每次捏合后所得面條數是捏合前面條數的2倍，所以可得到：

第1次：2'=2；第2次：22=4；第3次：23=8；…；第〃次：2”.

第3次捏合抻拉得到面條根數：23，即8根；第5次得到：2$,即32根；第〃次捏合抻拉

得到2"；因為26=64,所以要想得到64根面條，需要6次捏合抻拉.

【總結升華】解答此類問題的方法一般是：從所給的特殊情形入手，再經過猜想歸納，從看

似雜亂的問題中找出內在的規律，使問題變得有章可循.

舉一反三：

【變式】已知2'=2,2，=4,2:，=8,2'=16,2，=32,…,觀察上面的規律，試猜想「頌的

末位數字是.

【答案】6

【鞏固練習】

—?、選擇題

1.下列說法中，正確的個數為（）.

①對于任何有理數m,都有才>0；

②對于任何有理數m,都有0）2=（—m）2；

③對于任何有理數m、n（m#n）,都有（m—n]>。；

④對于任何有理數m,都有胡=（一111）3.

A.1B.2C.3D.0

2.（春?句容市校級期中）與算式爐+22+22+22的運算結果相等的是（）

A.2，B.82C.28D.216

3.設a=—3x4?,/?=（—3x4）。c=—（3x4）2,則a、b、c的大小關系為（）.

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

4.（?朝陽區校級模擬）觀察下列算式：2=2,2=4,2=8,2=16,2=32,2"64,2=128,

2'=256,…根據上述算式中的規律，你認為2?°的末位數字是（）

A.2B.4C.6D.8

5.現規定一種新的運算"*"，a*b=a',如3*2=a=9,則』*3等于（）.

2

A.—B.8C.—D.—

862

6.“全民行動，共同節約”，我國13億人口如果都響應國家號召每人每年節約1度電，一年

可節約電1300000000度，這個數用科學記數法表示，正確的是（）.

A.1.30X109B.1.3X109C.0.13X10'°D.1.3X1O10

7.計算—32x1—g）—（_2）3+（_（）的結果是（）.

A.-33B.-31C.31D.33

二、填空題

8.對于大于或等于2的自然數n的平方進行如下“分裂”，分裂成n個連續奇數的和，則

自然數+的分裂數中最大的數是.

9.為改善學生的營養狀況，中央財政從2011年秋季學期起，為試點地區在校生提供營養膳

食補助，一年所需資金約為160億元，用科學記數法表示為.

10.若+(/?—2)~=0,則(〃+b)+ci2003

11.（春?張掖校級月考）如圖是一個計算程序，若輸入的值為-1,則輸出的結果應

13.（春?濮陽校級期中）看過西游記的同學都知道：孫悟空會分身術，他搖身一變就變成

2個悟空；這兩個悟空搖身一變，共變成4個悟空；這4個悟空再變，又變成8個悟空…假

設悟空一連變了30次，那么會有個孫悟空.

三、解答題

14.計算：

(1)―81+2；一(-(卜-16)(2)_2；+4；+(_3)x(T)

(3)(—2)3x2^+1—5-j-f——j(4)-9+5X(-6)_(_4)"4-(-8)

(5)(-1)5--3xf-|j-l1^(-2)2

16.（?宜興市期末）閱讀并回答下列問題.

在印度有一個古老的傳說：舍罕王打算獎賞國際象棋的發明人--宰相西薩?班?達依爾.國

王問他想要什么，他對國王說：“陛下，請您在這張棋盤的第1個小格里，賞給我1粒麥子,

在第2個小格里給2粒，第3小格給4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.請您把這樣

擺滿棋盤上所有的64格的麥粒，都賞給您的仆人吧！”國王覺得這要求太容易滿足了，就

命令給他這些麥粒.當人們把一袋一袋的麥子搬來開始計數時，國王才發現：就是把全印度

甚至全世界的麥粒全拿來，也滿足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麥粒到底

有多少呢？即求：1+2+22+23+2*…+2負的值.如何求它的值呢？

設S=1+2+22+23+24+-+263；

則2s=2（l+2+22+23+24+—+263）=2+22+23+24+—+263+2M；

兩式相減得s=2“-1.

問題1：求1+5+52+53+54+-+5的值.

問題2：遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增；共燈三百八十一，試問尖曾頭幾盞燈？

(注：“紅光”指每層都掛著大紅燈籠的燈光；“倍加增”指每層燈盞數都是上一層盞數的

2倍；“尖頭：指塔頂層.)答：尖頭有________盞燈？

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B

【解析】①錯：當m為0時，不滿足；②③對；④錯：次數為3,互為相反數的兩個數的

奇數次方的結果也互為相反數.

2.【答案】A.

3.【答案】B

【解析】a=-3X42=-48,b=(-3X4)"=144,c=-(3X4”=T44.故c<a<b.

4.【答案】C

【解析】解：；2'=2,2q4,2=8,2=16,

2732,26=64,2，=128,2=256,...

220的末位數字是6.

故選C.

5.【答案】A

1*,f1Y1

【解析】-*3=-=一.

2⑵8

6.【答案】B

【解析】題目中涉及的數都是準確數，A,B選項中的數是完全一樣的，沒必要寫成A,所

以答案為：B

7.【答案】C

【解析】原式=—9x^—(—8)+；=—1+8x4=31.

二、填空題

8.【答案】15

【解析】每組數中，左邊的基的底數。與最下方的數〃的關系是：n=2a-l.

9.【答案】1.6xlO10

【解析】將160億=16000000000用科學記數法表示為L6xl(V°

10.【答案】0

【解析】絕對值與平方均具有非負性，。+1=0,0-2=0,所以。=—1,8=2,代入

計算即可.

11.【答案】7.

【解析】解：依題意，所求代數式為

(a2-2)X(-3)+4

=[(-1)2-2]X(-3)+4

=[1-2]X(-3)+4

=-IX(-3)+4

二3+4

=7.

故答案為：7.

12.【答案】一2

4

【解析】由m+2n=0得：m=-2n,所以—(二=J]——(--)2———

[mJ[-2n)24

13.【答案】230.

三、解答題

14.【解析】

49199

解:(1)-814-2--I--I千(—16)=—81x——-X—=-36--=-36—

4I4J94166464

X

_15_21+41.(-3)^-^=,c12115,°11c

(2)-1-2-H---x—x—=-1-2—+-=-3

3532133

1(3(1V99199

(3)(-2)3x2-+l4-1=_8x?(_g)=_8x]jx8=_36

(4)-9+5X(-6)-(-4)2+(-8)=-9-30+2=-37

*/2丫1、44152

(5)(-1)5--3x——-l--(-2)2=-l-(-3x----x-)=-l+-=-

、3,393433

15.【解析]解：(1)原式=(--------jx60x|------1—|

(5212)(777)

=[-x60--x60--x60|xl

(5212

=36-30-35

-29

423

(2)原式—xX一

316

43

—X—X-----------X—

344416

4

16?【解析】

解：問題1：S=1+5+52+53+54+-+5,

則5s=5(1+5+52+53+54+-+5)=5+52+53+54+-+5+5,

兩式相減得4s=5-1,

52015t

s=------------------；

4

問題2：設尖頭有x盞燈，由題意得，(27-1)x=381,

解得x=3,

答：尖頭有3盞燈.

故答案為：3.

有理數的乘方、混合運算及科學記數法(提高)

責編：杜少波

【學習目標】

1.理解有理數乘方的定義；

2.掌握有理數乘方運算的符號法則，并能熟練進行乘方運算；

3.進一步掌握有理數的混合運算.

4.會用科學記數法表示大數.

【要點梳理】指數

要點一、有理數的乘方

定義：求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做第(power).

即有：a?a....a=a".在中，a叫做底數，n叫做指數.

〃個底數

要點詮釋：

(1)乘方與嘉不同，乘方是幾個相同因數的乘法運算，塞是乘方運算的結果.

(2)底數一定是相同的因數，當底數不是單純的一個數時，要用括號括起來.

(3)一個數可以看作這個數本身的一次方.例如，5就是51指數1通常省略不寫.

要點二、乘方運算的符號法則

(1)正數的任何次嘉都是正數；(2)負數的奇次基是負數，負數的偶次嘉是正數；(3)

。的任何正整數次累都是0；(4)任何一個數的偶次基都是非負數，如

要點詮釋：

(1)有理數的乘方運算與有理數的加減乘除運算一樣，首先應確定基的符號，然后再計

算幕的絕對值.

(2)任何數的偶次暴都是非負數.

要點三、有理數的混合運算

有理數混合運算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減：(2)同級運算，從左到右進行;

(3)如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行.

要點詮釋：

(1)有理數運算分三級，并且從高級到低級進行運算，加減法是第一級運算，乘除法是第二

級運算，乘方和開方(以后學習)是第三級運算；

(2)在含有多重括號的混合運算中，有時根據式子特點也可按大括號、中括號、小括號的

順序進行.

(3)在運算過程中注意運算律的運用.

要點四、科學記數法

把一個大于10的數表示成axlO"的形式(其中“是整數數位只有一位的數，1W

a1<10,“是正整數)，這種記數法叫做科學記數法，如42000000=4.2x1()7.

要點詮釋：

(1)負數也可以用科學記數法表示，“一”照寫，其它與正數一樣，如-3000=—3x103；

(2)把一個數寫成axlO"形式時，若這個數是大于10的數，則n比這個數的整數位數少

1.

【典型例題】

類型一、有理數的乘方

1.（?虞城縣一模）下列各數：①-F；②-（-1）2;③-F：④（-1）2,其中結

果等于-1的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【思路點撥】原式各項計算得到結果，即可作出判斷.

【答案】A.

【解析】解：①-1=-1,符合題意；②-符合題意；③--=-1,符合題

意；④（-1）2=1,不符合題意.

故選A.

【總結升華】注意（一。）"與—屋的意義的區別.（一。）2"=/"（n為正整數），（一。）2日=一“2e

（n為正整數）.

舉一反三:

【變式】已知a<2,且,一2|=4,則a?的倒數的相反數是

【答案】-

8

類型二、乘方運算的符號法則

C2.不做運算，判斷下列各運算結果的符號.

（-2）1（-3）”,（70009）嗎,-（-2）20,0

【思路點撥】理解乘方的意義，掌握乘方的符號法則.

【答案與解析】解：根據乘方的符號法則判斷可得：

（-2廠運算的結果是負；（-3）2」運算的結果為正；（-1.0009）20°.運算的結果是負；（|）

運算的結果是正；Y-2）刈。運算的結果是負.

【總結升華】“一看底數，二看指數”，當底數是正數時，結果為正；當底數是0,指數不

為0時，結果是0；當底數是負數時，再看指數，若指數為偶數，結果為正；若指數是奇數,

結果為負.

舉一反三：

【變式】（春?富陽市校級期中）計算（-2）+（-2）所得的結果是（）

A.~2B.2C.-2D.2

【答案】C.

解：（-2）+（-2）=（-2）（-2+1）=2X（-1）=-2.

類型三、有理數的混合運算

3.計算:

(1)-(-3)2+(-2)34-[(-3)-(-5)]

(2)[7-6X(-7)-(-1)l0]4-(-21-24+21")

x24-----

(-0.2)

【答案與解析】

(1)-(-3)2+(-2)34-[(-3)-(-5)]

=-9+(-8)4-(-3+5)

=-9+(-8)+2

=-9+(-4)=-13

(2)[7-6X(-7)-(-1)l0]4-(-21-24+214)

=(7X72-6X72-1)+(-21'+214-24)

=[7嘆(7-6)-1]4-(-24)

=(49-1)+(-24)

=-2

(