PAGEPAGE12極坐標題型：一、極坐標方程與直角坐標方程的互化互化條件：極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，長度單位相同.互化公式：或θ的象限由點(x,y)所在的象限確定.例1⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為，．(I)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(II)求經過⊙O1，⊙O2交點的直線的直角坐標方程．例3以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,若橢圓兩焦點的極坐標分別是(1,),(1,),長軸長是4,則此橢圓的直角坐標方程是_______________.解：由已知條件知橢圓兩焦點的直角坐標為(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3,故所求橢圓的直角坐標方程為=15.與參數方程為等價的普通方程為（）A.B.C.D.二、已知曲線的極坐標方程,判斷曲線類型例4極坐標方程4sin2=5所表示的曲線是(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線的一支(D)拋物線類題:1(1991年三南)極坐標方程4sin2=3表示的曲線是(A)二條射線(B)二條相交直線(C)圓(D)拋物線(答案:B)2(1987年全國)極坐標方程=sin+2cos所表示的曲線是(A)直線(B)圓(C)雙曲線(D)拋物線(答案:B)3(2001年廣東、河南)極坐標方程2cos2=1所表示的曲線是(A)兩條相交直線(B)圓(C)橢圓(D)雙曲線(答案:D)4(2003北京)極坐標方程表示的曲線是 (A)圓 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線(答案:D)例5極坐標方程=cos(-)所表示的曲線是(A)雙曲線(B)橢圓(C)拋物線(D)圓解:曲線=cos(-)=cos(-)是把圓=cos繞極點按逆時針方向旋轉而得,曲線的形狀仍然是一個圓,故選D評述:把曲線的極坐標方程化為直角坐標方程較為麻煩,利用旋轉不變性則更容易得出答案.方程cos(-0)=0表示一條直線,方程=acos(-0)表示半徑為,圓心為(,0)的圓,要注意兩者的區別.2.參數方程為表示的曲線是（）A.一條直線B.兩條直線C.一條射線D.兩條射線1x01x01x01x01x01x0x01(A)(B)(C)(D)解:圓=2sin(+)是把圓=2sin繞極點按順時針方向旋轉而得,圓心的極坐標為(1,),故選C.類題:1(2002江蘇)極坐標方程與=的圖形是00x0x0x0x(A)(B)(C)(D)(答案:B)2(2004北京春)在極坐標系中，圓心在(且過極點的圓的方程為(A)(B)(C) (D)(答案:B)三、判斷曲線位置關系例7直線=和直線sin(-)=1的位置關系(A)垂直(B)平行(C)相交但不垂直(D)重合解:直線sin(-)=1是把直線sin=1繞極點按逆時針方向旋轉角而得,從而兩直線平行,故選B.評注:對直線sin(-)=1與直線sin=1的關系要十分熟悉.四、根據條件求直線和圓的極坐標方程例8(2002北京春)在極坐標系中,如果一個圓的方程是=4cos+6sin，那么過圓心且與極軸平行的直線方程是(A)sin=3(B)sin=–3(C)cos=2(D)cos=–2解:將圓的極坐標方程化為直角坐標方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13.圓心為(2,3),所求直線方程為y=3,即sin=3,故選A.評述:注意直線的直角坐標方程極易求出.類題:1(1992年上海)在極坐標方程中,與圓=4sin相切的一條直線的方程是(A)sin=2(B)cos=2(C)cos=4(D)cos=-4(答案:B)2(1993年上海)在極坐標方程中,過點M(2,)且平行于極軸的直線的極坐標方程是_______.(答案:sin=2)3(1994年上海)已知點P的極坐標為(1,),那么過點P且垂直于極軸的直線的極坐標方程為(A)=1(B)=cos(C)=(D)=(答案:C)4(2000年全國)以極坐標系中點(1,1)為圓心,1為半徑的圓的方程是(A)=2cos(-)(B)=2sin(-)(C)=2cos(-1)(D)=2sin(-1)(答案:C)五、求曲線中點的極坐標例9(2003上海)在極坐標系中，定點A(1,),點B在直線上運動，當線段AB最短時，點B的極坐標是_________.解:在直角坐標系中,A點坐標為(0,1),B在直線x+y=0上,AB最短,則B為,化為極坐標為.例10(1999年上海)極坐標方程52cos2+2-24=0所表示的曲線焦點的極坐標為__________.解:由52cos2+2-24=0得52(cos2-sin2)+2-24=0化為直角坐標方程得,該雙曲線的焦點的直角坐標為(,0)與(-,0),故所求焦點的極坐標為(,0)、(,).評述:本題考查圓錐曲線極坐標方程的基礎知識,掌握點的直角坐標與極坐標的對應關系極為有用.例11(2001年京皖蒙春)極坐標系中,圓=4cos+3sin的圓心的坐標是(A)(,arcsin)(B)(5,arcsin)(C)(5,arcsin)(D)(,arcsin)解:由=4cos+3sin=5(cos+sin)=5cos(-φ)(其中sinφ=)所以所求圓心坐標為(,arcsin),故選A.類題：(2002上海)若A、B兩點的極坐標為A(4,),B(6,0),則AB中點的極坐標是_________.(極角用反三角函數值表示).答案.()3.直線和圓交于兩點，則的中點坐標為（）A.B.C.D.4.圓的圓心坐標是（）A.B.C.D.六、求距離例12(2007廣東文)在極坐標系中，直線的方程為ρsinθ=3，則點(2,)到直線的距離為___________.解:將直線的極坐標方程ρsinθ=3化為直角坐標系方程得:y=3,點(2,)在直角坐標系中為(,1),故點(2,)到直線的距離為2.評注：本題主要考查極坐標系與直角坐標系之間的互化.例13(1992年全國、1996年上海)極坐標方程分別是=cos和=sin的兩個圓的圓心距是(A)2(B)(C)1(D)解法一:兩圓的圓心坐標分別為(,0)與(,),由此求得圓心距為,選D.解法二:將極坐標方程化成直角坐標方程得(x-)2+y2=與x2+(y-)2=,由此求得圓心距為,選D.評述:本題考查對極坐標的理解,理解深刻者可在極坐標系上畫出簡圖直接求解,一般理解者,化極坐標方程為直角坐標方程也能順利得到正確答案.例14(1997年全國)已知直線的極坐標方程為sin(+)=,則極點到該直線的距離是_______.解法一:化直線方程為=,根據極坐標的概念極點到該直線的距離等于這個函數ρ的最小值,當sin(+)=1時,取最小值即為所求.解法二:對極坐標欠熟悉時,可把直線的極坐標方程化為直角坐標方程x+y=1,應用點到直線的距離公式得原點到此直線的距離為.類題:1(2000年上海)在極坐標系中,若過點(3,0)且與極軸垂直的直線交曲線=4cos于A、B兩點，則|AB|=______.(答案:2)2(2004上海)在極坐標系中,點M(4,)到直線:的距離d=____(答案:)22.已知直線的極坐標方程為，則點A到這條直線的距離為.26．極坐標系下，直線與圓的公共點個數是_______．七、判定曲線的對稱性例15(1999年全國)在極坐標系中,曲線=4sin(-)關于(A)直線=軸對稱(B)直線=軸對稱(C)點(2,)中心對稱(D)極點中心對稱解:把圓=4sin繞極點按逆時針方向旋轉便得到曲線=4sin(-)=,知其圓心坐標為(2,),故圓的對稱軸為=,應選B.評述:方程表示的曲線是圓,為弄清軸對稱或中心對稱的問題,關鍵是求出其圓心的坐標.２．若ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=π，則點M1(ρ1,θ1)與點M2(ρ2,θ2)()。AA．關于極軸對稱B．關于直線θ=對稱C．關于極點對稱D．重合

八、求三角形面積ABOx例16(2006上海)在極坐標系中,O是極點，設點A(4,)，B(5,)，則△OAB的面積是ABOx解:如圖所示,在△OAB中，評述:本題考查極坐標及三角形面積公式.九、參數方程化一般方程：5.與參數方程為等價的普通方程為（）A.B.C.D.6.直線被圓所截得的弦長為（）A.B.C.D.1.曲線的參數方程是，則它的普通方程為__________.5.設則圓的參數方程為_______________.１３．參數方程(t為參數)化為普通方程是。x2+y2=1去掉點(-1,0)4、曲線的參數方程為(t是參數)，則曲線是（）A、線段B、雙曲線的一支C、圓D、射線9.參數方程(t為參數)所表示的圖形是.兩條射線；11.畫出參數方程（為參數）所表示的曲線______橢圓___________7．曲線的參數方程為(t是參數)，則曲線是DA、線段B、雙曲線的一支C、圓D、射線．【圓x2+y2-x-y=0．】

////////////簡單的1.參數方程表示什么曲線？2．已知在直角坐標系x0y內，直線l的參數方程為(t為參數)．以Ox為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為.(1)寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；(2)判斷直線l和圓C的位置關系.13C．已知直線的參數方程：（為參數）和圓的極坐標方程．（1）將直線的參數方程化為普通方程，圓的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）判斷直線和圓的位置關系．13C．選修4—4參數方程與極坐標解：（1）消去參數，得直線的普通方程為；--2分即，兩邊同乘以得，消去參數，得⊙的直角坐標方程為：6分（2）圓心到直線的距離，所以直線和⊙相交．10分8．(2007海南、寧夏文、理)⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為．(Ⅰ)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(Ⅱ)求經過⊙O1，⊙O2交點的直線的直角坐標方程．3．已知圓的參數方程為（為參數），若是圓與軸正半軸的交點，以圓心為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求過點的圓的切線的極坐標方程．解：由題設知，圓心，，設是過點的圓的切線上的任一點，則在中，有，即為所求切線的極坐標方程．11已知曲線C的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數方程是求直線與曲線C相交所成弦的弦長．解：曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程為，即.直線的參數方程化為普通方程為.曲線C的圓心（2，0）到直線的距離為，所以直線與曲線C相交所成的弦的弦長為．15．求直線（）被曲線所截的弦長.【7/5】將方程,分別化為普通方程：，……………(5分)……(10分)10過點P（－3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線相交于A、B兩點．求線段AB的長．【】10C．選修4－4：坐標系與參數方程解：直線的參數方程為，……………3分曲線可以化為．……………5分將直線的參數方程代入上式，得．設A、B對應的參數分別為，∴．…………8分AB＝．………………10分說明：掌握直線，圓，圓錐曲線的參數方程及簡單的應用．6．直線（t為參數）與橢圓（為參數）相交于A、B兩點，求A、B間的距離解：直線的普通方程為橢圓的普通方程為聯立方程組消元得，則所以18．已知橢圓C的極坐標方程為，點F1，F2為其左，右焦點，直線的參數方程為（1）求直線和曲線C的普通方程；（2）求點F1，F2到直線的距離之和.【】18（23）．解:（Ⅰ）直線普通方程為；………………3分曲線的普通方程為．……………6分（Ⅱ）∵,，…7分∴點到直線的距離…8分點到直線的距離………………9分∴……………10分///////////////////求最值8.已知A是曲線ρ=3cosθ上任意一點，求點A到直線ρcosθ=1距離的最大值和最小值解：將極坐標方程轉化成直角坐標方程：ρ=3cosθ即：x2＋y2=3x,(x－)2＋y2=ρcosθ=1即x=1直線與圓相交。所求最大值為2，最小值為014．在極坐標系中,設圓上的點到直線的距離為,求的最大值.【4】14C．（坐標系與參數方程選做題）解：將極坐標方程轉化為普通方程：………(2分)可化為…………(5分)在上任取一點A,則點A到直線的距離為,它的最大值為4……(10分)16．設P(x，y)是曲線C：（θ為參數，0≤θ<2π）上任意一點，(1)將曲線化為普通方程;(2)求的取值范圍.16（23）．(1)(x+2)2+y2=1(5分)(2)設y=kx,則kx-y=01=(7分)∴k2=,k=(9分)∴(10分)1．已知點是圓上的動點，【】（1）求的取值范圍；（2）若恒成立，求實數的取值范圍?！矩摳?減一】2.點在橢圓上，求點到直線的最大距離和最小距離.17．點M（x,y）在橢圓上，則點M到直線的最大距離為________,此時，點M的坐標是_____________.1C．在平面直角坐標系中，點是橢圓上的一個動點，求的最大值．【2】1C．選修4—4參數方程與極坐標解：因橢圓的參數方程為故可設動點的坐標為，其中.因此所以，當時，取最大值217已知曲線的極坐標方程是，設直線的參數方程是（為參數）．（Ⅰ）將曲線的極坐標方程轉化為直角坐標方程；（Ⅱ）設直線與軸的交點是，曲線上一動點，求的最大值.【】17（23）．（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程解：（1）曲線的極坐標方程可化為：又.所以，曲線的直角坐標方程為：.（2）將直線的參數方程化為直角坐標方程得：令得即點的坐標為又曲線為圓，圓的圓心坐標為，半徑，則∴例6.在圓x2＋2x＋y2=0上求一點，使它到直線2x＋3y－5=0的距離