關于信號及其頻譜分析第1頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三教學目的了解信號分類。掌握信號的時域及頻域描述的含義。掌握常用的信號時域、頻域分析方法的基本原理、頻譜特點和應用。掌握周期信號、非周期信號的頻譜特點，了解其頻譜分析過程。第2頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-1信號及其分類測試：利用測量系統測出變化中的物理量。被測參量具有三個特征：物理特征：物理性質量值特征：量值大小時變特征：隨時間變化的情況信號：只涉及被測參量的量值特征和時變特征，而不涉及其物理特征。信號分析

運用數學工具對信號加以分析研究，提取有用的信號，從中得到一些對工程有益的結論和方法。第3頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三信號的分類與描述信號的分類主要是依據信號波形特征來劃分的，在介紹信號分類前，先建立信號波形的概念信號波形：被測信號信號幅度隨時間的變化歷程稱為信號的波形。波形§1-1信號及其分類第4頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三為深入了解信號的物理實質，將其進行分類研究是非常必要的，從不同角度觀察信號，可分為：1、從信號描述上分

--確定性信號與非確定性信號；2、從分析域上

--時域與頻域；3、從信號波形的形態--連續時間信號與離散時間信號；§1-1信號及其分類第5頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三連續信號和離散信號如果在某一時間間隔內，對任意時間值，除若干不連續點外，該函數都能給出確定的函數值，稱為連續信號。和連續信號相對應的是離散信號。代表離散信號的時間函數只在某些不連續的時間值上給定函數值。§1-1信號及其分類靜態信號動態信號信號離散信號連續信號第6頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三連續時間信號與離散時間信號a)連續時間信號:在所有時間點上有定義

b)離散時間信號:在若干時間點上有定義采樣信號§1-1信號及其分類第7頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三動態信號和靜態信號動態信號：信號的幅值、相位、周期等特征參數隨時間的變化而變化的信號。靜態信號：信號的幅值、相位、周期等特征參數不隨時間變化的信號。如直流量

通常把一些緩變信號近似地看成靜態信號§1-1信號及其分類第8頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三確定性信號與隨機信號可以用明確數學關系式描述的信號稱為確定性信號。隨機（非確定性）信號：具有隨機的特點，每次的結果都不同，無法用精確地數學關系描述。§1-1信號及其分類噪聲信號(平穩)統計特性變異噪聲信號(非平穩)第9頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三周期信號：經過一定時間可以重復出現的信號

x(t)=x(t+nT)n=1,2,3……

周期信號又可分為簡諧信號(單一頻率)和復雜周期信號(多個頻率）。§1-1信號及其分類按正弦或余弦規律變化的信號，工程稱為簡諧信號；復雜周期信號波形可看成是由若干個頻率比為有理數的正弦信號疊加而成。簡諧信號（簡單周期信號）第10頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三復雜周期信號§1-1信號及其分類第11頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三非周期信號：再不會重復出現的信號。準周期信號:由多個周期信號合成，但各信號頻率不成公倍數。如：x(t)=sin(t)+sin(√2.t)瞬態信號:持續時間有限的信號，如x(t)=e-Bt.Asin(2*pi*f*t)§1-1信號及其分類第12頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-2信號的時域及頻域描述時域描述：信號用幅值隨時間的變化來表示，通常稱為時域分析（波形分析）。最常用的時域描述方法是用示波器、萬用表等普通儀器直接顯示信號波形，讀取特征參數。第13頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號

§1-2信號的時域及頻域描述第14頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三為了研究信號的頻率結構和各頻率成分的幅值、相位關系，應對信號進行頻譜分析，把信號的時域描述通過適當方法變成信號的頻域描述，以頻率為獨立變量來表示信號。頻域描述：以頻率為橫坐標描述信號的頻率結構和頻率成分的幅值、相位關系。

頻譜分析：對復雜時變信號按諧波進行展開研究其頻率構成的過程。信號頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。

§1-2信號的時域及頻域描述第15頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三信號不同的描述方法不能改變信號的性質，只是分析問題的角度不同。時間幅值頻率時域分析頻域分析§1-2信號的時域及頻域描述第16頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-2信號的時域及頻域描述3246第17頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三大型空氣壓縮機傳動裝置故障診斷§1-2信號的時域及頻域描述第18頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三eg:右圖是一個方波的一種時域描述，而下式是其時域描述的另一種形式若該周期方波應用傅立葉級數展開，即得：§1-2信號的時域及頻域描述思考題：

一個復雜周期信號的基本形狀一般由什么成分決定？方波的尖角理論上由什么成分構成？近似方波的疊加演示—復頻信號發生器.exe第19頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三周期方波的描述§1-2信號的時域及頻域描述第20頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三第三節周期信號的頻譜分析信號的表示：★時間域表示，例如，簡稱時域信號；

★頻率域表示，例如，簡稱頻域信號；

它們的關系：IFT第21頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三

信號頻譜分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)變換為頻域信號X(f)，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。

8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里葉變換X(t)=

sin(2πnft)0t0f§1-3周期信號的頻譜分析§1-3周期信號的頻譜分析第22頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三周期信號特點：一個周期內的就代表了信號的全部。周期信號的頻譜三角形式傅里葉級數展開定義：在數學上，凡滿足狄里赫利條件的周期函數都可以展成三角形式的傅里葉級數。狄里赫利（Dirichlet）條件：設f(x)是周期為T的周期函數，如果它滿足⑴函數在任意有限區間連續，或只有有限個第一類間斷點(2)在一周期內，函數有有限個極大值或極小值。則f(x)的傅里葉級數收斂。且……

§1-3周期信號的頻譜分析測試技術中的周期信號，大都滿足該條件。第23頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三對于任何一個周期為T、且定義在區間（-T/2,T/2）內的周期信號f(t)，都可以用上述區間內的三角傅立葉級數表示：§1-3周期信號的頻譜分析（1）§1-3周期信號的頻譜分析Eg:方波信號：周期信號可由幅值、相位不同的各次諧波合成。第24頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三a0是頻率為零的直流分量，式中系數值為（2）§1-3周期信號的頻譜分析一個周期內面積的均值a0=0T/2Ttx(t)Aa0=A/2第25頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三將同頻項合并，傅立葉級數展開還可以改寫成：An-，n-分別稱為幅值譜和相位譜，統稱為頻譜。§1-3周期信號的頻譜分析第26頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三頻譜圖的概念工程上習慣將計算結果用圖形方式表示，以fn(ωn)為橫坐標，An、為縱坐標畫圖，則稱為幅值－相位譜；§1-3周期信號的頻譜分析圖1-7復雜周期信號的頻譜示意a)幅值譜b）相位譜譜線、包絡線單邊譜第27頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-3周期信號的頻譜分析思考題：若按照余弦函數對該方波信號展開，其展開式有何變化？第28頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-3周期信號的頻譜分析關于頻率術語的思考：頻率ω=2π/秒的含義？和工程頻率f（Hz）的關系；第29頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三周期信號的奇偶性與傅里葉系數的關系若周期信號為一奇函數，即x(t)=-x(-t)，則x(t)cosnω0t也是奇函數，有a0=0，an=0，x(t)的傅里葉級數三角函數形式變為：

若周期信號為一偶函數，即x(t)=x(-t)

，則x(t)sinω0t將是奇函數，有bn=0，x(t)的傅里葉級數三角函數形式變為：

§1-3周期信號的頻譜分析第30頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三重點回顧三角形式的傅里葉級數同頻項合并頻譜圖幅頻圖：An-相頻圖：n-第31頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三三、指數形式的傅里葉級數。三角傅里葉級數與指數傅里葉級數并不是兩種不同類型的級數，而只是同一級數的兩種不同的表示方法。指數級數形式比三角級數形式更簡化更便于計算。根據歐拉公式§1-3周期信號的頻譜分析數學上一種用旋轉矢量表示正余弦的方法第32頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三將上式代入傅立葉級數展開式，則有:§1-3周期信號的頻譜分析第33頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-3周期信號的頻譜分析有傅立葉級數的復指數函數形式：第34頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-3周期信號的頻譜分析第35頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-3周期信號的頻譜分析§1-3周期信號的頻譜分析第36頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三指數形式傅里葉級數的三個特點：頻譜有正負頻率項，頻譜左右對稱，稱為雙邊譜；每條譜線代表分量幅值的一半；負頻率的出現是數學運算的結果，沒有物理意義。§1-3周期信號的頻譜分析雙邊譜第37頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例1-2：§1-3周期信號的頻譜分析第38頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三復雜周期信號的頻譜具有以下三個共同特點：頻譜是一根根離散的譜線組成的；每條譜線只出現在基波頻率的整數倍上，不存在非整數的頻率分量；各諧波分量的幅值隨諧波次數或頻率的增高而減小。概括：離散性、諧波性和收斂性§1-3周期信號的頻譜分析第39頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三第四節非周期信號的頻譜分析準周期信號的各諧波成分的頻率比不是有理數，例如：各諧波成分在合成后不可能經過某一段時間間隔后重演，其合成信號不是周期信號。但這種信號的頻譜是離散譜。通常所說的非周期信號是指瞬變非周期信號。下面討論這種非周期信號的頻譜§1-4非周期信號的頻譜分析第40頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-4非周期信號的頻譜分析第41頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三一．傅里葉變換

1.引出

非周期信號可看作周期趨于無窮大的周期信號。：周期信號非周期信號連續譜，幅度無限小；離散譜0再用X(n)表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區別，引入頻譜密度函數。0§1-4非周期信號的頻譜分析第42頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-4非周期信號的頻譜分析頻譜密度函數簡稱頻譜函數

第43頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三（1）頻譜密度函數簡稱頻譜函數單位頻帶上的頻譜值w§1-4非周期信號的頻譜分析第44頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三頻譜密度函數的表示§1-4非周期信號的頻譜分析傅里葉變換對X(t)第45頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例1-3求矩形窗函數的頻譜。解：矩形窗函數的時域表達式為：其頻譜密度函數為：§1-4非周期信號的頻譜分析根據歐拉公式第46頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三通常定義，曲線如圖1-12所示，其函數值有專門的數學表可查，它以2π為周期（不嚴格）并隨的增加而作衰減振蕩，sincx函數為偶函數，在處其值為零。圖1-12波形§1-4非周期信號的頻譜分析第47頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三矩形窗函數的波形(a)幅頻圖

(b)相頻圖矩形窗函數的頻譜§

1-4非周期信號的頻譜分析幅頻譜：相頻譜：第48頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-4非周期信號的頻譜分析與周期信號相似，非周期信號也可以分解為許多不同頻率分量的諧波和，所不同的是，由于非周期信號的周期T→∞，基頻f→df，它包含了從零到無窮大的所有頻率分量，各頻率分量的幅值為X(f)df，這是無窮小量，所以頻譜不能再用幅值表示，而必須用幅值密度函數描述。與周期信號不同，非周期信號的譜線出現在0,fmax的各連續頻率值上，這種頻譜稱為連續譜。第49頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三頻譜分析的應用

頻譜分析主要用于識別信號中的周期分量，是信號分析中最常用的一種手段。案例：在齒輪箱故障診斷通過齒輪箱振動信號頻譜分析，確定最大頻率分量，然后根據機床轉速和傳動鏈，找出故障齒輪。案例：螺旋漿設計可以通過頻譜分析確定螺旋漿的固有頻率和臨界轉速，確定螺旋漿轉速工作范圍。第50頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三被測信號頻率范圍的確定

信號的頻率范圍是0~∞。

任何一個測量系統或儀器都不可能在如此大的頻率范圍內正常工作。

信號的頻譜都具有收斂性,所以說信號的能量基本上是由低頻段各諧波信號的能量組成或者說頻率越高的諧波分量對信號構成的影響就越小。

復雜周期信號時：0~n/T

，其中

n=7~10，T為周期;

瞬態非周期信號時:頻率范圍為0～n／τ,其中n=4～5,τ為瞬態信號的持續時間;

§1-4非周期信號的頻譜分析第51頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三請抄寫并完成以下習題：1負頻率對于旋轉矢量、對于工程頻率意味著什么？2參照周期信號頻譜的3個特點，對非周期信號頻譜的特點進行比較和解釋。3P17課后習題1-8第52頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三一、信號的幅值表示均值、方差、均方值信號的均值是函數在整個時間坐標上的積分平均。T—觀測時間。其物理含義是表達了信號變化的中心趨勢。信號的方差是去除均值后的均方值，即：方差是信號幅值相對于均值分散程度的一種表示，其物理含義是偏離均值的波動分量的強度。§1-5信號的相關分析直流分量的能量交變分量的強度第53頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三信號均方值是樣本函數平方的均值，即：其物理含義是表達了信號的平均功率或能量。均值μ、方差σ和均方值Ψ之間的關系在信號分析中，常將信號電壓（或電流）加到1Ω電阻上所消耗的能量定義為歸一化能量。§1-5信號的相關分析U=I*RP=U*I第54頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三二、信號的相關分析1.相關——應用極為廣泛的一種時域分析方法信號相關性是指兩信號之間相互關聯的程度。自相關函數的定義信號的自相關函數(或

)定義為:

與做時移

后的函數

的乘積后再做積分平均運算注：T表示信號長度。實際應用中總是取有限長度信號。基本功用——能夠撿出信號中的周期成分。§1-5信號的相關分析軟件演示第55頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三例

求正弦函數的自相關函數。

解：

保留了周期、頻率信息，但丟失了相位信息第56頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三2.信號的互相關函數互相關函數的定義信號、的互相關函數定義為

相關分析可實現同頻成分的檢測，感官上就是波形相似性的度量，函數值的大小表示這些同頻成分在信號中所占的功率大小。

§1-5信號的相關分析第57頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三3.信號相關分析在工程中的應用

管道漏損位置探測§1-5信號的相關分析

第58頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三相關測速§1-5信號的相關分析相關值顯示原理示意圖輸出反映鋼板表面亮度的信號第59頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三4.相關系數函數互相關系數函數取值區間是[-1，1]

。

規律完全相關兩信號變化規律相同，但相位相反；

完全不相關部分相關§1-5信號的相關分析歸一化處理第60頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-6數字信號的處理與應用信號處理在實際應用中一般是通過信號采集設備得到模擬信號的離散數據序列，然后根據具體的信號處理任務使用計算機對數字信號實施各種運算。

1、

離散傅立葉變換（DiscreteFourierTransform，簡稱DFT）

連續信號條件下的FT式為：工程實際中，實測信號難以解析表達和長度無限性使得該式不具備可操作性。相應的DFT為：x(n)

——

長度為N的時域離散信號；X(k)

——

離散頻域信號，稱為信號x(n)的頻譜。第61頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-6數字信號的處理與應用簡諧信號的頻譜與泄漏設有一數字信號x(n)，每個周期的采樣點數為100，幅值為1。第62頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三任意譜線表示的工程頻率計算設：采樣時間為ts，數據長度為N，任意數字頻率為k，則待求工程頻率為：例如：已知數據采集卡的采樣時間，DFT采用1980個數據，請問第16根譜線代表的實際頻率是多少？解答：根據題意有第63頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-6數字信號的處理與應用2、DFT應用第64頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-6數字信號的處理與應用第65頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-7三維DFT譜的概念及應用1、三維DFT譜的概念設簡諧信號的離散序列為，周期T=100，表示一個周期內的數據個數。以下是該信號在3種不同截斷長度時由獲得的幅頻譜：①數據長度，包含周期數個周期；②，；③，。第66頁，講稿共74頁，2023年5月2日，星期三§1-7三維DFT譜的概念及應用當數字頻率K和數據長度N都是變量時，該式在K－N平面上定義了一個三維DFT譜。

近似方波的二維幅頻譜和三維DFT幅值譜第67頁，講稿