關于二項式展開式性質第1頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三對于（a+b）n=的展開式有哪些項？個(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+…＋an-rbr+…+bn二項式定理右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式,它一共有n+1項.其中各項系數

Cnr

(r=0,1,2,…,n)叫做二項式系數式中的項Cnran-rbr

叫做二項展開式的通項,是第r+1項,記作Tr+1即Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)稱為二項展開式的通項公式

(1)展開式各項中a、b的指數及各項系數的遞變規律.但指數和為n

(2)通項公式中a、b的指數及其系數和所在項數之間的關系.試一試：寫出(1+x)n

的展開式及其通項公式。第2頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三總結1.二項式系數規律：2.指數規律：（1）各項的次數均為n；（2）二項和的第一項a的次數由n降到0，第二項b的次數由0升到n.3.項數規律：兩項和的n次冪的展開式共有n+1個項定理特征二項式定理：4.通項公式：Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)右邊的多項式叫做的展開式第3頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三解:第三項的二項式系數為，第三項的系數為240.項的系數：該項所有常數因子的積.二項式系數：第4頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三例３：的展開式常數項解:通項公式：Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)第5頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三練習：1、求的展開式的中間兩項

解:展開式共有10項,中間兩項是第5、6項。

的展開式中，第５項的二項式系數與第３項的二項式系數之比是：１４：３，求展開式中的第４項第6頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三因此，當n為偶數時，中間一項的二項式系數取得最大值；當n為奇數時，中間兩項的二項式系數、相等，且同時取得最大值。

二項式系數的性質（1）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．（2）增減性與最大值

二項式系數前半部分是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。（3）各二項式系數的和

且奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和2n-1第7頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三例１：已知（１＋x)n展開式中x2

的系數等于

x的系數的３倍，求二項式系數最大的項第8頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三解:例2：已知（１－２x)n展開式中二項式系數和及所有項的系數之和變式：已知（2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6，求(1)奇次項的二項式系數之和

（2）a0+a1+a2+a3＋a4+a5＋a6的值（3）a1+a2+a3＋a4+a5＋a6

第9頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三因此，當n為偶數時，中間一項的二項式系數取得最大值；當n為奇數時，中間兩項的二項式系數、相等，且同時取得最大值。

二項式系數的性質（1）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．（2）增減性與最大值

二項式系數前半部分是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。（3）各二項式系數的和

且奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和2n-1第10頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三特值思想二項式定理對任意的數a、b都成立，當然對特殊的a、b也成立！第11頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三

考察在n=1,2,3,4時，(a+b)n的展開式的系數規律.(a+b)1=

,(a+b)2=

,(a+b)3=

,(a+b)4=

.a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3我國古代優秀成果介紹：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

列出上述各展開式的系數：

11121133114641規律:(1)表中每行兩端都是1

(2)其它各數都是它肩上兩數的和.1510105116152015611楊輝三角形試一試：你能根據楊輝三角形寫出(a+b)