關于二重積分的概念第1頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三一.二重積分的概念1．引例——曲頂柱體的體積

曲頂柱體：

△

柱體的底是xoy面上的一有界閉區域D；

△側面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面；

△頂是曲面z=f(x,y)(f(x,y)≥0),f在D

上連續。

區域的直徑：閉區域上任意兩點間距離的最大值，稱為閉區域的直徑。第2頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三平頂(z=f(x,y)=常數)柱體的體積：

體積=高（z=常數）×

底面積（區域D的面積）

（請回憶在§6—1解決計算曲邊梯形面積的思想分析方法：……）oxyzDz=f(x,y)yxzz=f(x,y)oD(i,i)△i·第3頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三曲頂柱體的體積V:①分割：D=△1∪△2∪…∪△nV=△V1∪△V2∪…∪△Vn

(△i為△Vi窄條曲頂柱體的底；di為△i的直徑。)②近似：近似地將小曲頂視為平頂（滿足條件：z=f(x,y)

連續，小區域△i的直徑di很小），以點(i,i)

△i的豎坐標f(i,i)為高，則得每個小窄條曲頂柱體的體積近似值△Vi≈f(i,i)△i(i=1,2,…,n)③求和：④取極限：

其中d=max｛d1,d2,…,dn｝,用△i也示小區域的面積。第4頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三2．引例——平面薄片的質量

有一個平面薄片,在xoy

平面上占有區域

D,計算該薄片的質量M.度為設D的面積為,則若非常數,仍可用其面密

“分割,,近似和,求極限”解決.1)“分割”用任意曲線網分D為n個小區域相應把薄片也分為小區域.第5頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三2)“近似”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質量第6頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“分割,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質量:第7頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三2.定義（二重積分）：設z=f(x,y)在區域D上有界，則①分割：用平面曲線網將D分成n個小區域△1,△2,…,△n

各個小區域的面積是△1,△2,…,△n

各個小區域的直徑是d1,d2,…,dn②近似：在各個小區域上任取一點(i,i)△i

，作乘積

f(i,i)△i(i=1,2,…,n)③求和：第8頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三④取極限：當n→∞且l=max｛d1,d2,…,dn｝→0時，

極限

存在，則稱此極限值為z=f(x,y)在D上的

二重積分，記為即

f(x,y)——

被積函數

f(x,y)d——

被積表達式

d——

面積元素

x,y——

積分變量

D——

積分區域

——

積分和式第9頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三[注記]：①

在直角坐標系中，i≈(xi)(yi)面積元素

d=dxdy,故二重積分又有形式②

由于二重積分的定義，曲頂柱體的體積是③二重積分的幾何意義：

△當f(x,y)≥0時，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積；

△當f(x,y)≤0時，二重積分的幾何意義是：曲頂柱體的體積的負值；△當f(x,y)在D上既有在若干分區域上取正值，也有在其余區域上取負值時，二重積分的幾何意義是：xoy面上方的柱體體積為正、下方的為負時的柱體體積的代數和。第10頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三

③函數f(x,y)在閉區域D上連續，則f(x,y)在D上的二重積分必定存在。

⑤

n→∞(l→0)時，積分和式極限存在，與對D

區域的分法無關，與(i,i)△i的取法無關，僅與D和f(x,y)有關。

⑥“△i的直徑很小”與“△i的面積很小”對于“近似”有根本的區別，因此極限過程用

l→0，而不能僅用n→∞來描述。第11頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三二．二重積分的性質⑴⑵⑶⑷（為D的面積）（D=D1+D2）第12頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三⑸在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，則特別地，在D上若f(x,y)≤0(≥0)

恒成立，則⑹⑺

在D上若m≤f(x,y)≤M，為D的面積，則(≥0)第13頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三⑻

二重積分中值定理：

設f(x,y)∈C(D)，D為有界閉區域，為D的面積，則至少(,)∈D，使第14頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三[例題解析]例1設利用二重積分的幾何意義說明I1和I2之間的關系第15頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三解：由二重積分的幾何意義知，I1表示底為D1，頂為曲面z=（x2+y2）3的曲頂柱體M1的體積；I2表示底為D2，頂為曲面z=（x2+y2）3的曲頂柱體M2的體積；由于位于D1上方的曲面z=（x2+y2）3關于yox面和zox面均對稱，故yoz面和zox面將M1分成四個等積的部分，其中位于第一卦限的部分即為M2。由此可知xy1-1-22第16頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例2利用二重積分的幾何意義確定二重積分的值，其中解：曲頂柱體的底部為圓盤其頂是下半圓錐面故曲頂柱體為一圓錐體，它的底面半徑及高均為3，所以第17頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例3利用二重積分的幾何意義說明：（1）當積分區域D關于y軸對稱，f（x，y）為x的奇函數，即f（-x，y）=-f（x，y）時有（2）當積分區域D關于y軸對稱，f（x，y）為x的偶函數，即f（-x，y）=f（x，y）時有（D1為D在x≥0的部分）第18頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三第19頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三[注記]：結論的推廣（1）當積分區域D關于x軸對稱，f（x，y）為y的奇函數，即f（x，-y）=-f（x，y）時有（2）當積分區域D關于x軸對稱，f（x，y）為y的偶函數，即f（x，-y）=f（x，y）時有（D1為D在y≥0的部分）第20頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三例4比較分析：主要考慮第21頁，講稿共25頁，2023年5月2日，星期三【附注】比較和的大小先令得曲線在