非線性光學(xué)課件第一頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2.3.1）

根據(jù)前一節(jié)的討論，我們可以將波動(dòng)方程寫(xiě)成如下形式推導(dǎo)光脈沖在非線性色散光纖中傳輸?shù)幕痉匠獭?.3.1

脈寬范圍在10ns~10fs（f=10-15）的光脈沖在光纖內(nèi)傳輸時(shí)色散和非線性效應(yīng)都將影響其形狀和頻譜，因此不能把光纖當(dāng)作非線性介質(zhì)處理，即傳輸方程中的假設(shè)不成立。它是光信號(hào)在媒質(zhì)中傳播的基本方程。由于考慮到非線性，（2.3.1）的解變得非常復(fù)雜。第二頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五

為得到有意義的解，對(duì)光纖中傳輸?shù)墓庑盘?hào)作如下幾點(diǎn)假設(shè)2、光場(chǎng)矢量在傳播過(guò)程中保持其偏振不變，即偏振假設(shè)。3、假定光場(chǎng)是準(zhǔn)單色的(Δω/ω0<<1)。時(shí)間慢變函數(shù)（2.3.2）假定沿x方向偏振光的單位偏振矢量1、光纖是弱非線性的，即<<。

根據(jù)上述假設(shè)我們可以將光信號(hào)看成一個(gè)慢變化的脈沖包絡(luò)與一個(gè)快速震蕩的光載波的乘積，即第三頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2.3.3）（2.3.4）光纖中的線性極化項(xiàng)非線性極化項(xiàng)具有類似的形式如下：根據(jù)前面的推導(dǎo)，可知線性極化強(qiáng)度與電場(chǎng)的關(guān)系為：非線性極化強(qiáng)度與電場(chǎng)的關(guān)系?第四頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假定定非線性效應(yīng)是瞬時(shí)作用，改寫(xiě)（2.1.10）第五頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五非線性波動(dòng)方程及各場(chǎng)量表達(dá)式（2.3.1）第六頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五經(jīng)過(guò)傅里葉變換，在頻域內(nèi)波動(dòng)方程（2.3.1）可以寫(xiě)成如下：（2.3.10）可以表示為如下形式：第七頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五

利用變量分離法求解非線性波動(dòng)方程，假定解的形式為：（2.3.14）

是z的慢變函數(shù)；模分布函數(shù)；則是與光載波中心頻率相對(duì)應(yīng)的相位常數(shù)。

方程兩邊必須等于一個(gè)常數(shù)，則此方程可以分解成兩個(gè)獨(dú)立方程。特征值第八頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2.3.15）（2.3.16）

上式中由于為的慢變函數(shù)，因而忽略了其二階偏導(dǎo)數(shù)。方程（2.3.15）是考慮到非線性的單模光纖中的橫式橫向場(chǎng)方程，而是由方程所解得的模式相位常數(shù)，或者說(shuō)是相對(duì)于頻率的相位常數(shù)。第九頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五

橫向場(chǎng)分布方程：（2.3.15）

上述方程中的介電常數(shù)與之前相比可以作近似：微擾法：忽略非線性項(xiàng)，令，求得相應(yīng)的相位常數(shù)對(duì)于單模光纖就是基模的場(chǎng)函數(shù)，但對(duì)相位常數(shù)考慮到非線性效應(yīng)則應(yīng)有一個(gè)修正量。考慮了非線性導(dǎo)致的折射率變化和光纖的本征損耗（2.3.18）第十頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五

修正后的相位常數(shù)有如下的表示形式：（2.3.19）（2.3.20）根據(jù)微擾公式可得：式中的是在忽略非線性效應(yīng)條件下解得的，積分在光纖模截面內(nèi)進(jìn)行的。第十一頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2.3.16）

由于的準(zhǔn)確形式不清楚，因此在頻率把展成泰勒級(jí)數(shù)。展開(kāi)式中的三次項(xiàng)及更高項(xiàng)通常被忽略。準(zhǔn)單色假定傅氏逆變換將前面求解得到的相位常數(shù)修正項(xiàng)代入到方程（2.3.16）第十二頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2.3.26）得到信號(hào)包絡(luò)函數(shù)在時(shí)域的傳播方程：為了方便，引入另一個(gè)非線性參數(shù)：對(duì)于石英光纖，測(cè)試結(jié)果是。而為光纖的有效面積，其定義為：第十三頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五將（2.3.18）代到（2.3.20）不難得到：因此方程（2.3.26）可以改寫(xiě)為如下形式：（2.3.27）

上式描述了皮秒光脈沖在單模光纖內(nèi)的傳輸，被稱為非線性薛定諤方程。該方程是研究光信號(hào)在光纖中傳播畸變的基礎(chǔ)。式中參數(shù)光纖衰減常數(shù)，由折射率的虛部決定。第十四頁(yè)，共十六頁(yè)，編輯于2023年，星期五小結(jié)：（1）考慮非線性效應(yīng)的情況下得到波動(dòng)方程。（2）將波動(dòng)方程為轉(zhuǎn)換為只與電場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)。（3）作傅里葉變換將時(shí)域方程轉(zhuǎn)換為頻域方程方便求解，利用形式解將方程分離成兩個(gè)獨(dú)立方程。（4）分別對(duì)兩個(gè)獨(dú)立方程簡(jiǎn)化求解。傳輸方程（2.