靜電分布變分證明第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：考慮真空中的靜止電荷Q，Q距一無限大的導體平板的距離為d，帶電量為q。導體板接地，求導體板上的電荷分布。

電荷Q在導體板上的投影為O點。根據對稱性，導體板上(見圖示1)任意一點處電荷密度僅僅是與它到O點的距離有關，也就是說，在以O為原點的極坐標中，導體板上的電荷密度函數僅僅是r的函數，表示為，本題條件之一為導體板接地，這一條件的意義在于導體上的電荷分布沒有約束條件，這在此方法的后續論證中將隱含地用到，用變分法不依靠任何約束條件就可推導出這一體系的全部結論，這正是變分原理作為第一性物理定律的體現。1第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：2圖1：OQrr+dr第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：這一體系的能量由兩部分組成：Q與導體板間的勢能和導體板的自能1，導體板與Q間的勢能3第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：2，導體板的自能，用從中心向外堆積電荷的過程來考慮板的自能以O為圓心，半徑為R的圓內的電荷，在r=R處的電勢U為：先考慮內外圓環半徑分別為，的圓環內的電荷在距O為R的點處產生的電勢：4（見圖示2）第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五CompanynameOAB靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：5圖2：第六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：于是：

將圓環內的電荷從無限遠移來所做的功為：6第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：7體系能量：在此回答一個有一定說明性的問題：假定使得取最小值，令，為常數，則：第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：8與異號，，而且靜電感應過程中電場力做功，所以平衡時能量。。若，則未必就大于0。同理，若,則：未必就小于0。因而這種變換后未必就比小。第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：9引入這一段討論不是要證明什么，而是在于指出使最小的是否存在，對存在性的這種問題目前還得不出結論。定義，即是的泛函，因為電荷分布必然使得系統能量最低，因而由變分原理可得出應滿足的泛函方程：，又

，其中：

第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：10（0）其中：為計算令，則可以得出：（1）第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：11被積函數在內有兩個極點，（1）式右邊可進一步轉化為：，右邊是一個橢圓積分不可能有它的解析表達式因而唯一有效的辦法是作一些近似。考慮時的情況，因為（*）對任意成立，當時(見圖示3)第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：12圖3：第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：13這一步只是數學技巧，作變換，則，于是有，是其一階極點。（2）第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：14代如（0）有：（3）對于上式作一點說明，（2）式僅對時成立。而包含了此時的情況，按理說此時（2）式不再成立，進而（3）式也就不成立。但足夠大，時。因此積分后（2）式的偏差被忽略了。事實上完全可以改寫為：。第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：15再得出：仍可以作出與（3）基礎上同樣的后續處理過程。在這里為了保持變元的連貫仍采用（3）式。因為積分函數與積分上限都與R有關，對（3）式求導的方法不可取。相反，將展開為積分形式。容易證明，在時于是（3）式化為：（5）第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：16由（5）推導完第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五Companyname靜電分布問題的變分法完整證明用變分法求解靜電分布問題的完整推導：17總結：此式已包括了這個系統的全部信息，比如感應電荷的總電量，使導體板的電勢為零等結論。這與用靜電性質給出的嚴格解完全一樣，而這是在采取了近似之后得出的結論，令人略感意外，這類情況在其它領域也出現過，比如量子力學。但回顧一下計算的過程會發現，近似是在R足夠大的情況下作出的，因而誤差僅僅是高階的，并沒有影響到最后的結果。另外用變分