內蒙古自治區赤峰市烏丹第二中學2022年高一數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x）=f（4﹣x），且在區間[0，2]上是增函數，那么（）A．f（6）＜f（4）＜f（1） B．f（4）＜f（6）＜f（1） C．f（1）＜f（6）＜f（4） D．f（6）＜f（1）＜f（4）參考答案：A【考點】奇偶性與單調性的綜合．【專題】計算題；轉化思想；轉化法；函數的性質及應用．【分析】根據函數奇偶性和單調性的關系將條件進行轉化比較即可．【解答】解：∵f（x）=f（4﹣x），∴函數f（x）關于x=2對稱，則∵奇函數f（x）在區間[0，2]上是增函數，∴函數f（x）在區間[﹣2，2]上是增函數，則函數f（x）在在區間[2，6]上是減函數，則f（1）=f（3），∵f（6）＜f（4）＜f（3），∴f（6）＜f（4）＜f（1），故選：A【點評】本題主要考查函數值的大小比較，根據函數奇偶性和對稱性的性質將條件進行轉化是解決本題的關鍵．2.求函數的定義域和値域。參考答案：3.設奇函數在上是增函數，且，則不等式的解集為（

）

A．

B．C．

D．參考答案：D4.等比數列的前項，前項，前項的和分別為,則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.將正方形ABCD沿對角線AC折起成直二面角，則直線BD與平面ABC所成的角的大小為（

）A．30°

B．45°

C.60°

D．90°參考答案：B設AC中點為O，連接是正方形，，又∵折起后是直二面角平面，是與平面所成的角，由正方形的性質，可得是等腰直角三角形，，即與平面所成的角為45°，故選B.

6.若向量，滿足，且與的夾角為，則A. B.C. D.參考答案：B7.設是定義在上恒不為零的函數，對任意實數、，都有，若，（），則數列的前項和的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.若三點A(3,1)，B(－2,b)，C(8,11)在同一直線上，則實數b等于()A.

B.

C．

D．參考答案：B9.若，則的值為(

)A．6

B．3

C．

D．參考答案：A略10.設，若線段是△外接圓的直徑，則點的坐標是（

）．A．(-8,6)

B．(8，-6)

C．(4，-6)

D．(4，-3)參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則的最大值是____．參考答案：4【分析】利用對數的運算法則以及二次函數的最值化簡求解即可．【詳解】，，，則．當且僅當時，函數取得最大值．【點睛】本題主要考查了對數的運算法則應用以及利用二次函數的配方法求最值。12.一個水平放置的四邊形的斜二側直觀圖是一個底角是45°，腰和上底的長均為1的等腰梯形，那么原四邊形的面積是

． 參考答案：【考點】平面圖形的直觀圖． 【專題】計算題；作圖題． 【分析】由斜二測畫法中原圖和直觀圖面積的關系直接求解即可． 【解答】解：直觀圖中梯形的高為1×sin45°=，底邊長為1+，故其面積為： 因為，所以原四邊形的面積是 故答案為： 【點評】本題考查平面圖形的直觀圖和原圖面積之間的關系，屬基本運算的考查． 13.如圖放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點A,D分別在x軸、y軸正半軸（含原點）滑動，則的最大值為__________．參考答案：2【分析】設,根據三角形的邊角關系求得，，利用平面向量的數量積公式以及正弦函數的最值求解即可.詳解】設由于，故又因為，，所以，則同理可得當時，的最大值為2.故本題的正確答案為2.【點睛】本題主要考查了平面向量的數量積公式以及正弦型函數的最值，屬于中檔題.14.函數的圖象為，下列命題：①圖象關于直線對稱；②函數在區間內是增函數；③將的圖象上的點橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的3被即可得到圖象；④圖象關于點對稱。其中正確命題的編號是

（寫出所有正確命題的編號）參考答案：①②③

15.若函數的定義域為A，則函數的值域為__________.參考答案：【分析】先計算函數的定義域A，再利用換元法取化簡為二次函數得到值域.【詳解】由，得，，∴，∴.令，則，∴當時，；當時，.故答案為：【點睛】本題考查了函數的定義域和值域，屬于常考題型.16.已知定義在R上的奇函數f(x)，當x>0時，，則_____________．參考答案：-1略17.已知冪函數的圖象經過點，則

ks5u

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知二次函數滿足條件：對任意實數都有；且當時，總有成立。

（1）求的值；

（2）求的取值范圍。參考答案：解析：（1）

5分

（2）對任意實數都有，即恒成立，∴，由于。此時，當時，總有成立，的取值范圍是。

15分19.（10分）（2015秋?合肥校級月考）已知關于x的方程：x2+2（a﹣1）x+2a+6=0．（Ⅰ）若該方程有兩個不等實數根，求實數a的取值范圍；（Ⅱ）若該方程有兩個不等實數根，且這兩個根都大于1，求實數a的取值范圍；（Ⅲ）設函數f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6，x∈[﹣1，1]，記此函數的最大值為M（a），最小值為N（a），求M（a），N（a）的解析式．參考答案：【考點】二次函數的性質．

【專題】函數的性質及應用．【分析】（Ⅰ）方程有兩個不等實數根，從而判別式△＞0，這樣便可得出a＜﹣1，或a＞5，即得出了實數a的取值范圍；（Ⅱ）該方程有兩個不等實數根，且這兩個根都大于1，從而判別式△＞0，由（Ⅰ）知a＜﹣1，或a＞5，并且小根滿足大于1，即，解出該不等式，再根據a還需滿足a＜﹣1，或a＞5即可得出實數a的取值范圍；（Ⅲ）先求f（x）的對稱軸，x=1﹣a，討論1﹣a和區間[﹣1，1]的關系：分1﹣a≤﹣1，﹣1＜1﹣a≤0，0＜1﹣a＜1，和1﹣a≥1四種情況，在每種情況里，根據二次函數的單調性或取得頂點情況及端點值的比較，便可得出f（x）在[﹣1，1]上的最大值，和最小值，最后便可寫出M（a），N（a）．【解答】解：（Ⅰ）該方程有兩個不等實數根；∴△=4（a﹣1）2﹣4（2a+6）＞0；解得a＜﹣1，或a＞5；（Ⅱ）該方程有兩個不等實數根，根據（Ⅰ）便知，a＜﹣1，或a＞5；且這兩個根都大于1；∴；即；∴；∴；解得；∴；∴實數a的取值范圍為（，﹣1）；（Ⅲ）f（x）的對稱軸為x=1﹣a；∴①1﹣a≤﹣1，即a≥2時，f（x）在[﹣1，1]上單調遞增；∴M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（﹣1）=9；②﹣1＜1﹣a≤0，即1≤a＜2時，M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；③0＜1﹣a＜1，即0＜a＜1時，M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；④1﹣a≥1，即a≤0時，f（x）在[﹣1，1]上單調遞減；∴M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1）=4a+5；∴綜上得，，．【點評】考查一元二次方程有兩個不等實數根時判別式△的取值情況，一元二次方程的求根公式，二次函數的對稱軸，以及根據二次函數的單調性或取得頂點情況，及對端點值的比較，從而得出函數最值的方法．20.樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環．據此，某網站推出了關于生態文明建設進展情況的調查，調查數據表明，環境治理和保護問題仍是百姓最為關心的熱點，參與調查者中關注此問題的約占80%．現從參與關注生態文明建設的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15,25)，第2組[25,35)，第3組[35,45)，第4組[45,55)，第5組[55,65)，得到的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求出a的值；（2）現在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查，求第2組恰好抽到2人的概率.參考答案：（1）0.035（2）【分析】（1）由頻率分布直方圖直接求出a。（2）第1，2組的人數分別為20人，30人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1，2組抽取的人數分別為2人，3人，分別記為。設從5人中隨機抽取3人，利用列舉法能求出第2組中抽到2人的概率。【詳解】（1）由，得（2）第1,2組抽取的人數分別為20人，30人，從第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第1,2組抽取的人數分別為2人，3人，分別記為.設從5人中隨機抽取3人，為共10個基本事件其中第2組恰好抽到2人包含共6個基本事件,從而第2組抽到2人的概率【點睛】根據直方圖直接看圖求值，題干要求用列舉法即需要把所有情況都列舉出來，再求概率，屬于基礎題目。21.（本小題滿分12分）已知向量，．（1）求證：為直角；（2）若，求的邊的長度的取值范圍．參考答案：（1）證明：因為

0，

…………4分所以，即．

…………5分所以是直角三角形．

…………6分（2）解：，

因為是直角三角形，且，所以

…………9分又因為，，所以．

所以，長度的取值范圍是．

…………12分22.已知函數f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R． （1）若函數f（x）在R上是增函數，求實數a的取值范圍； （2）若存在實數a∈[﹣2，2]，使得關于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有3個不相等的實數根，求實數t的取值范圍． 參考答案：【考點】分段函數的應用；根的存在性及根的個數判斷． 【專題】轉化思想；分析法；函數的性質及應用． 【分析】（1）寫出f（x）的分段函數，求出對稱軸方程，由二次函數的單調性，可得a﹣1≤2a，2a≤a+1，解不等式即可得到所求范圍； （2）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即為方程f（x）=tf（2a）的解．討論①當﹣1≤a≤1時，②當a＞1時，③當a＜﹣1時，判斷f（x）的單調性，結合函數和方程的轉化思想，即可得到所求范圍． 【解答】解：（1）∵為增函數， 由于x≥2a時，f（x）的對稱軸為x=a﹣1； x＜2a時，f（x）的對稱軸為x=a+1， ∴解得﹣1≤a≤1； （2）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即為方程f（x）=tf（2a）的解． ①當﹣1≤a≤1時，f（x）在R上是增函數， 關于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有3個不相等的實數根． ②當a＞1時，2a＞a+1＞a﹣1， ∴f（x）在（﹣∞，a+1）上單調遞增，在（a+1，2a）上單調遞減， 在（2a，+∞）上單調遞增，所以當f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）時， 關于x的方程f（x）=tf（2a）有3個不相等的實數根，即4a＜t4a＜（a+1）2． ∵a＞1，∴． 設，因為存在a∈[﹣2，2]， 使得關于x的方程f（x）=tf（2a）有3個不相等的實數根， ∴1＜t＜h（a）max．又h（a）在（1，2]遞增，所以，∴． ③當a＜﹣1時，2a＜a﹣1＜a+1，所以f（x）在（﹣∞，2a）上單調遞增， 在（2a，a﹣1）上單調遞減，在（a﹣1，+∞）上單調遞增， 所以當f（a﹣1）＜tf（2a）＜