第一節基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積知識點73：基本立體圖形教材知識萃取（1）多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形

1.空間幾何體的結構知識點73：基本立體圖形名稱棱柱棱錐棱臺底面互相①______且全等多邊形互相平行且②______側棱平行且相等相交于③______，但不一定相等延長線交于一點，但不一定相等側面形狀④____________三角形⑤______平行相似一點平行四邊形梯形續表知識點73：基本立體圖形規律總結1.幾種特殊棱柱的結構特征及之間的關系知識點73：基本立體圖形

知識點73：基本立體圖形名稱圓柱圓錐圓臺球圖形

旋轉圖形矩形⑥____________⑦__________半圓形直角三角形直角梯形（2）旋轉體的結構特征知識點73：基本立體圖形名稱圓柱圓錐圓臺球旋轉軸任一邊所在的直線任一⑧______邊所在的直線垂直于底邊的腰所在的直線⑨______所在的直線母線互相平行且相等，⑩____________相交于一點延長線交于一點軸截面全等的?______全等的?____________全等的等腰梯形圓側面展開圖?______?______扇環直角直徑垂直于底面矩形

等腰三角形矩形扇形續表知識點73：基本立體圖形2.立體圖形的直觀圖

（1）畫法：常用斜二測畫法.

不變一半

知識點73：基本立體圖形思維拓展1.正方體的基本截面用一個平面截正方體，可以得到的截面形狀如下：橫截豎截斜截正方形正方形如圖所示知識點73：基本立體圖形在這里需要給大家強調一下，正方體的斜截面不會出現以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形.知識點73：基本立體圖形2.圓柱體的基本截面用一個平面截圓柱，可以得到的截面形狀如下：橫截豎截斜截圓形，如圖1矩形，如圖2如圖3，4，5所示知識點73：基本立體圖形方法技巧求解截面的面積（或面積的最值）問題，關鍵是準確判斷截面的形狀.（1）如果截面的幾何圖形確定，那么可以利用平面幾何知識求出其面積的大小；（2）如果截面的幾何圖形不確定，那么可以討論截面幾何圖形面積的最大、最小值，此時求解需要根據題意設立相關點的位置參量，建立截面面積的目標函數，然后利用函數知識求解.注意

在求解截面面積的最值時，需要根據幾何體和截面的變化來確定相關參量的取值范圍.知識點73：基本立體圖形方法技巧1.作截面的三種常用方法一是直接法，解題關鍵是截面上的點在幾何體的棱上，且兩兩在一個平面內，可以直接借助基本事實2作出截面.二是作平行線法，解題關鍵是截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某一個面平行，可借助線面平行的性質定理和面面平行的性質定理作出截面.三是延長交線得交點，解題關鍵是截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一個面上，可通過由作延長線得到的交點輔助得出截面與立體幾何圖形的交點，進而得交線和截面圖形.知識點73：基本立體圖形2.求解截面的交線長度問題，關鍵是準確找到截面與幾何體相交的軌跡形狀，突破口是找到截面與幾何體的公共點的位置和變化軌跡.常見的軌跡形狀為特殊四邊形（正方形、平行四邊形、菱形、梯形）的組合圖形、圓周或圓弧、圓錐曲線的部分等.教材素材變式多維變式，夯基礎教材素材變式1.下面四個幾何體中,是棱臺的是答案1.B

選項A中幾何體是圓臺,選項C中幾何體的四條側棱的延長線沒有相交于一點,不是棱臺,選項D中幾何體是棱錐,易知選項B中幾何體是棱臺,故選B.教材素材變式

答案

教材素材變式【多維探究】原平面圖形的面積為

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答案

教材素材變式3.[多選]對如圖所示的組合體的結構特征有以下幾種說法,其中正確的是A.由一個長方體割去一個四棱柱所構成B.由一個長方體與兩個四棱柱組合而成C.由一個長方體挖去一個四棱臺所構成D.由一個長方體與兩個四棱臺組合而成答案3.AB

如圖,該組合體可由一個長方體割去一個四棱柱所構成,也可以由一個長方體與兩個四棱柱組合而成,故選AB.教材素材變式4.[多選]下列說法正確的是A.以直角梯形的一腰所在直線為旋轉軸,其余各邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體是圓臺B.以等腰三角形的底邊上的高線所在直線為旋轉軸,其余各邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體是圓錐C.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面D.用一個平面去截球,得到的截面是一個圓面答案4.BCD

故選BCD.選項正誤原因A×如果旋轉軸不是垂直于底邊的腰所在直線,則旋轉體不是圓臺B√根據圓錐的定義可知,該說法正確C√圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面D√由球的幾何性質可知,用一個平面去截球,得到的截面是一個圓面教材素材變式

答案

教材素材變式6.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,F是線段A1B1上的動點,則AF+FC1的最小值為

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教材素材變式答案

知識點74：空間幾何體的表面積教材知識萃取（1）圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖

側面積公式

知識點74：空間幾何體的表面積（2）簡單幾何體的表面積表面積柱體（棱柱和圓柱）錐體（棱錐和圓錐）臺體（棱臺和圓臺）球

知識點74：空間幾何體的表面積方法技巧求空間幾何體的表面積的常見類型及解題思路求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積.求旋轉體的表面積可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清旋轉體的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系.求不規則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割或補形成柱體、錐體、臺體，先求出這些柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.

教材素材變式多維變式，夯基礎教材素材變式

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教材素材變式方法總結求幾何體的表面積的方法(1)求幾何體的表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題,即空間圖形平面化;(2)求不規則幾何體的表面積時,通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體等,通過求和或作差得到不規則幾何體的表面積.特別提醒:求組合體的表面積時,要注意銜接部分的處理,防止漏算或多算.教材素材變式4.某同學制作了一個工藝品,如圖所示,該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合),若其中一個截面圓的周長為2π,則該球的表面積為A.20π B.16π C.12π D.8π答案4.A

設截面圓的半徑為r,球的半徑為R,則2π=2πr,所以r=1.由題意知球心到截面的距離為正方體棱長的一半,即2,所以R2=r2+22,即R2=12+22=5,所以該球的表面積為4πR2=20π.故選A.教材素材變式

答案

教材素材變式6.如圖,在邊長為8的正三角形ABC中,E,F分別是AB,AC的中點,AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,垂足分別為D,H,G,若將△ABC繞AD所在直線旋轉180°,則陰影部分形成的幾何體的表面積為

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教材素材變式答案

知識點75：空間幾何體的體積教材知識萃取簡單幾何體的體積體積柱體（棱柱和圓柱）錐體（棱錐和圓錐）臺體（棱臺和圓臺）球

知識點75：空間幾何體的體積方法技巧求空間幾何體體積的常用方法直接法對于規則的幾何體，利用相關公式直接計算.割補法把不規則的幾何體分割成規則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規則的幾何體補成規則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算.等體積法通過轉換底面和高來求幾何體的體積，即通過將原來不容易求面積的底面轉換為容易求面積的底面，或將原來不容易看出的高轉換為容易看出并容易求解的高進行求解.常用于求三棱錐的體積.

知識點75：空間幾何體的體積方法技巧求解體積的最值問題的方法（1）幾何法：根據幾何體的結構特征，先確定體積表達式中的常量與變量，然后利用幾何知識判斷變量什么情況下取得最值，從而確定體積的最值.（2）代數法：先設變量，求出幾何體的體積表達式，然后轉化為函數最值問題或利用不等式求解即可.知識點75：空間幾何體的體積方法技巧解決外接球問題的關鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．求幾何體外接球半徑的思路如下：

知識點75：空間幾何體的體積（2）將幾何體補形成長方體（或正方體），利用幾何體與長方體（或正方體）共有外接球的特征，由外接球的直徑等于長方體（或正方體）的體對角線長求解.如三條側棱互相垂直的三棱錐，當側棱長相等時可補形成正方體，當側棱長不相等時可補形成長方體.

知識點75：空間幾何體的體積方法技巧求解常見幾何體的內切球半徑的方法幾何體知識點75：空間幾何體的體積幾何體

續表知識點75：空間幾何體的體積幾何體

2.等體積法：將三棱錐分割為以內切球球心為頂點，三棱錐的各側面為底的棱錐，利用三棱錐體積等于分割后各棱錐的體積之和，求內切球的半徑.三棱錐續表知識點75：空間幾何體的體積幾何體續表教材素材變式多維變式，夯基礎教材素材變式1.如圖,六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知螺帽毛坯的底面正六邊形的邊長為2cm,內孔半徑為0.5cm,高為2cm,則此六角螺帽毛坯的體積是

cm3.

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教材素材變式6.已知O1,O分別為圓柱上、下底面的圓心,AB,CD分別為圓柱上、下底面的直徑,且AB⊥CD,若圓柱的底面半徑與母線長相等,且三棱錐A-BCD的體積