淺談數據的合理組織四川省綿陽南山中學何森【摘要】信息學是一門高深的學科，它正在高速的發展。隨著信息學的發展，其題目中的關系也變得越來越錯宗復雜，給我們解題帶來困難。對數據進行合理地組織，正是我們面對上述題目時的一種有效手段。本文用幾個經典例題從數據的結構和順序兩個方面進行合理組織，達到優化模型或是提升算法效率的目的。介紹了“合理組織數據”在信息學中建立模型和優化算法方面的一些應用，例題包含了動態規劃、數據結構、圖論類型的題目。目的在于引起讀者對于數據的合理組織的關注，并在今后的解題中能積極并靈活地運用這一手段。【關鍵字】組織數據數據結構動態規劃圖樹序列【正文】【引言】一個簡單的例子：給出N個數字(數字會比較大)，然后給出一些詢問，詢問一個數字有沒有在給出的N個數字當中。當然我們有很多已知的辦法：HASH表、TRIE、預排序+二分查找……這些算法都是通過對數據進行合理的組織而起到了減少工作量的作用。不同的是HASH表和TRIE是利用數據形式的重新組織，而預排序＋二分查找是通過對數據順序的重新組織來達到優化算法的目的的。我們組織數據，主要就是通過從“形式”和“順序”這兩個角度來考慮。事實上，這兩個方面在實際運用中往往不是獨立的，通常需要聯合運用。我們已經學習了很多經典的數據結構，它們都是合理組織數據的表現。在優化算法中有很好表現。對數據組織的合理化，不僅在我們設計算法時能起到優化程序效率的作用，有時，我們在建立解題模型時，合理地組織數據可能給我們提供新的思考角度，從而優化解題模型，例一就是這樣的一個例子。勻［例肯一］拘金明剩的預瘡算方讀案及上其加楚強版使金明蒙的預薄算方叉案裝【題沃意描徑述】崇給出躬N沃個物割品，夏每個騰物品太都有嶺一個構權值旬(<都50哭00逼0)叫和一憂個價笑格取(<愿10燙00司0)死。我炭們稱酬可以宅直接鏈被購海買的稼物品京為主病件，沫稱不三能被琴直接匠購買辰的物森品為固附件恨，附挖件只殖有當咽其主濕件被鐵購買域了才遣能被聯購買停，一元個主駐件最憑多有魚兩個洞附件盒，附術件沒困有下屢一級科附件激。母任務零臘購買盤一些省物品陣，總廣價格根不超暮過M和，使是得被辯購買寇的物朽品的斜權值忍之和奴最大鉆。字N<濁32巷00桶M世<6蜘0知【卵簡要撲分析蠻】綱我們榆很容媽易聯孫想到非經典嚷的動炮態規裁劃之時0濱-膛1背書包問古題。羅但是得題目假與背扔包卻陳有一醬些差此別：件附件螺不能探被直房接購秧買。煎【糾對數莫據的乓初步尸組織姥】弱主件顯與附悉件之察間是弦樹形喜的關授系。蕉組織勁一下單數據秧，如蝦下圖勸：以（圖模1）止如圖史所示婚：誠主件使1沒蛋有附職件，惱主件縣2有畫兩個士附件幻，主所件3舞只有被一個羽附件屢。壇【梳數據膚組織邁方案層一杏】勞假設慕我們康忽略圾數據饅的特暑殊性際，單鎖從樹勿結構轎考慮恭，我飄們容第易想昏到的際一個族算法記是：姓給所戒有主凍件加漠上一訓個賺“睬級超玉主件娘”聯，把例原來步的所勁有主栽件都袖變成電“嚇超級野主件顏”鬧的附費件，犯如下奪圖：宋(沾圖2咬)蠻【痰算法麗一玻】丹這樣雞，在休這棵屯樹上塵，我剩們可蟲以設泛計一下個動古態規揀劃算掉法：吵免定義受：僚co醉st己[a爹]表如示a丑節點餡所代愛表的車物品預的價具格顆sc徐or拐e[慨a]興表示纏a節鄰點所能代表警的物扒品的諒得分提狀態仰f[鉛a]沾[b稱]表文示以壞節點介a為休根的潮子樹斷，總卡共花棒費不書超過歌b元朋的最援多得際分。矛狀態際轉移計方程氏：倘f[栽a]免[b術]=木Ma層x{禁f[勸c1賽][搬b1徐]+博f[戴c2島][費b2衫]+壤f[策c3連][兵b3侄].織..益f[玉c技k]動[b員k]維}+殘sc傅or帥e[傾a]北;堅其中候ci艷為a澡的子趟節點緞；選∑玩bi青=b圍-c慨os博t[檢a]污;須這樣臟枚舉裁的效輪率顯乖然不嶼高！疑我們銅可以循用左拖兒子完右兄競弟表禽示法夸來表植示這麗一棵半樹，懼將原嘴樹轉豎化成絡二叉池樹，筑則我歸們在悲進行至狀態令轉移蕉的時滔候只爐用考照慮給殼左兒警子分忍配多厭少錢歷。脅le火ft唇[a玉]表資示a君的左難兒子銷ri謊gh憲t[性a]墻表示和a的筍右兒欺子暑f[加a]系[b改]=互Ma揚x{趁Ma蝕x{鑄f[荒le也ft舍[a步]]臘[b諷le徑ft昂]+夢f[旬ri有gh殼t[弓a]豈][遍b-襯co習st忙[a桐]-姻bl敲ef肯t]咳}+躁sc呀or妥e[首a]夫,f憑[r滿ig索ht火[a鋤]]賤[b安]}傅這樣什我們芒可以滿得到殃一個筍理論參見《算法藝術與信息學競賽》貪食的九頭龍中對算法復雜度的分析萬復雜指度為枝O(站NM衛2纖)怪的算需法，桐但是省對于升本題躺的數板據范閥圍卻來說幸，這筋個復掀雜度承并不福太心參見《算法藝術與信息學競賽》貪食的九頭龍中對算法復雜度的分析墳【牛數據素組織對方案瞧二幻】謙上面懸我們吩把本士題同郊0墳-洲1背仰包進狹行了斯類比勇。發類現兩封道題城之間枕的差到別：董附件槳不能燦被直童接購崖買。疏顯然鮮，如茅果題怖目中方沒有爪附件第，那監么本礙題即艷為標陷準的岔01坐背包卡問題蛾。沒我們隙回到點題目占并考礦慮其辣特殊同性：永1.輝附件罰沒有怖附件埋。恰2.齡每個但主件敲最多道只有伏2個虎附件慰。痰這樣耕，顯工然對把于（央圖一波）中浪每一臘組（產主件貫＋附昆件）裂，可矛以作添為整善體考高慮。斑對于仆每一木組，雷可能勻的購鬼買方納案最勇多只譜有：欣1.稍什么舉都不讀買往2.清只購耍買主周件劫3.許購買拔主件戒和附舟件1情4.訓購買治主件加和附泛件2硬5.糊購買籌主件略和兩龍個附屠件肝這樣籠，我虛們呀可以賞借鑒引經典懸的0調1安背包駝動態幅規劃徒，把箏每一地組看虎作一虛個對賭象，趁取值鑰和花刮費對蕉應側最多躲五種佛。動【熊算法仗二異】暖co缸st餃[i政][繼k]勺表示輝分組儀后第信i個加對象無的第埋k種蔥購買計方案顏的花妥費。兼we扁ig療ht密[i漢][旬k]絕表示憲分組各后第蠻i個土對象淺的第蠶k種青購買附方案確的總詞權值華。拒F[餡i]些[j爬]表檢示前跳i個鳥對象遮最多著花費晌j元助，能奮得到識的最康大權洽值。為F[堡i]壺[j謀]=辨ma晴x(百F[貓i-毛1]瞧[j披-c晝os咽t[凈i]飄[k六]]絡+w虛ei鑄gh病t[遲i]滿[k禮])窗;雕其中攜1<躁=k蘋<=非5稍且番co揮st忍[i煉][輕k]命<=笑j湯助狀態旨總數湖：O褲(N障M)圓轉移邪代價寺：O屬(1飾)求這樣居，我夫們得加到了謠一個快時間身復雜柏度為慘O(怠NM圍)的膝優秀慌算法奴。律郁悶液的金切明耀【婦題意談描述換】罩給出粉N個襖物品今，可漿以直感接被膊購買跪的稱罷為主錢件，習而不扯能直浴接被鞏購買缺的稱滴為附巷件，鄰附件傻只有倆當其至主件監被購該買了愁才能酬被購及買，晚一個扒主腿件可孔以有佛任意羽多個刺附件菌，附具件沒聯有下胃一級扒附件違。每弦個物林品都晉有一同個權槽值(花<5慘00羊00糟)。債任務慢洋購買慌一些挎物品墾，總剃價格棗不超毀過M雜，使忘得被膜購買雞的物犧品的紛權值忌之和爐最大事。全N<恒60芝M<見32杠00己【胡問題涌分析闖】預題目坡放寬咱了富“捧一個膠主件寒最多蝶可以校有兩仔個附遺件做”攪這個枕限制奧，其貨它條窩件不成變。陳自然燒，我思們山當然駕嘗試夢用原其題中白的算幫法來計套本卡題。作實際培上，放這時像候原杰來的掀算法陳1依牽然適筋用，復復雜去度仍評為O苗(N昏M掩2獄)。今但是恭對于凈利用晉原題劍條件蜓特殊姻性的兔算法鈔2，嫌一個散對象激的取橫值可漁能達資到N道的組屠合級土別，扒所以晶我們政大可輩放棄究對于喬算法海2的動討論凍。包我們涉是否圈有合往理的歐組織量數據聲的辦押法呢陪？左【秩數據趴組織慚方案估三覆】有重新盛安排棵這些負物品低的順焰序，舉使得雷每個鞭附件緊都緊栽跟其斥主件繡，保炭證其鮮左邊蟲的第維一個研主件懇就是桑它附發屬的膊主件混。銀如下彈圖：燭這樣研做的蒜好處才是：桂一個捎附件臨能被光購買艙的必籮要條材件就攝是在枕其前漁面的剩最近忌的主杠件被族購買懂了。賴看似客和原靜來的襲條件亦沒有端什么殲變化判，但而是崇實際爐上闊我們蹤給節診點的施位置南已經凳加上行了一掙個限狼制。夏原本閘樹上飄的問伐題經項過我漏們嚇“晶合理介地組膊織數檔據以鵝后棒”精，成錯功地返轉化飼成了灑一個絨序列日上的廉問題宗。礦【錄算法術3炊】禽這樣專組織給數據忙以后濟，我沿們利吹用前著面提騎到的扶條件勇“緒一個最附件鑒能被法購買醉的必膨要條桐件是渠其前漫面的速最近飽的主逗件被低購買猾了員”勉，可副以輕耕松地部設計陜動態陵規劃處算法檢：昌定義困：籃co柿st籌[i羽]表啦示第近i個環物品齡的價緞格嘗we子ig母ht承[i序]表蛙示第劈i個遼物品棉的權妻值鈴F[應i]愛[j贊][榆k]荷表示局從第碧i個諒物品爽到第掘n個請物品銅，最韻多花真費j或元，載第i艷個物雪品前座的主銀件有主(k按=1腔)沒鑼有(壩k=對0)構被購滔買。些分情巾況進拴行狀綿態轉告移：城情況終I：流第i麻個物習品是轟主件蟻F[旋i]撈[j垮][郵k]蘇=M心ax價{F統[i鐮+1搶][怠j-私co盟st柱[i秒]]會[1陣]福+w虎ei濟gh水t[臂i]喉攏(j參>=續co撈st福[i服]煮)抄,F棋[i言+1番][朵j]主[0何]}培情況匙II腹：第搬i個騎物品電是附阿件堂密如僻果晉k=準1冤F碌[i吳]鄙[j裁][雁k]言=事Ma劣x{肚F[杜i+怠1]帳[j楊-c跟os問t[剃i]狡][淋1]猴+w敬ei躁gh塊t[馬i]撞鏟(j鈴>=儀co里st逆[i陸])收,F激[i國+1既][著j]義[1虧]}弦汁責如果稅k=曾0削F多[i稻][巧j]北[k替]=蒜F判[i洪+1藝][鎮j]輪[0才]答狀態粱總數念：O瓦(N熟M)昆轉移散代價滅：O慢(1街)交時間痛復雜彈度同蔥樣是呆O(塵NM撥)。廳很郁芬悶島的金煉明佛【征題意治描述撞】隆給出涌N個驢物品擱，可嬸以直隱接被衣購買兼的稱脅為主若件，蜜而不撇能直挎接被趕購買尖的稱而為附瓣件，且附件勉只有水當其棒主件失被購缺買了蹄才能層被購販買，陵一個雨主件翼可以唉有任病意多小個附候件，飛附件廢可以照有多片級，閑也就酒是說旁如果誠某個決物品艇是附瘦件，玻那么泉它還盆有可枯能有叼附屬邁于它洗的下饑一級拔附件售。籍每個傳物品測都有賢一個戶權值波(<卷5監00童00撫)。溝任務捆百購買舍一些刻物品癢，總垃價格研不超羽過M師，使椅得被添購買嗎的物膜品的磚權值紋之和饑最大辨。減N<辟60唱M<挨32痛00碼【壩問題勁分析末】流現在上題目思在原蛇題的君基礎廚上不育僅放藏寬了巧附件筍的個收數，精還放喂寬了其附件櫻的層窄數類，圓如圖蔽所示份：監從上爐圖中版，我蛛們可通以對洋本題零有一獲個感鋪性甜的認遷識男：兔關系券又疑“舞寬泄”罰又污“艙深遺”困。干我們應依然片試著范從前弊面的抖題目踏中尋精找算挑法：托我們遙可以套直接峽套用伴算法蘆1，基因為具該算煙法正嗚好將留數據繼作為瓦樹結繩構來遭進行儲處理衣。而虎利用咸了題蔬目特襖殊條刻件的盲算法支2和利算法片3，誕直接沉套用巖算法印肯定驕是行局不通格的。源但是階他們萬都很妻有語啟發漿性：矛拋棄蓮樹形搶的結唱構，朱重新塌組織容成線昏形。辟現在糊的題亮目是老不是急也可粗以類雹似解段決呢霜？字【曉組織千數據墊方案綱四誰】錄算法唉3相趁對來旦說比漸較算變法2癢更加常一般藥，所茶以曠現在汪我們而再回凈過頭瓶來研述究一鴨下算省法3防，希錢望在溝分析遷過程畝中找胖到一駐些靈揪感葬。撫回憶身算法裙3的汗思路逮：斷把同旺在一廳個組乳的主柄件放煎在附險件的警前面末，利斧用動援態規振劃睡“棵加一境維岔”剝的思躲想，副順利渠地實需現了倆將問摘題轉摟化到攤序列籮上來凝。固關鍵昏字：弄主件味在前建序灑列麻動態陵規劃減我們避聯行想到映利用盤樹的謙先根萬遍歷嶄序，洪而且滲正好使滿足鳴上面宣的關悠系。朱但是承這樣閥有什幻么好青處嗎皆？還行能進凡行動郵態規禍劃嗎絨？深怎樣哄設計覽狀態田才能悟傳遞肝父敬節點賭的狀繳態呢摸？敵我們腹再回窗過去研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主維件鋼

朗附件肌

電曠腦客

打構印機崗，掃緞描儀返

書趁柜灰

圖骨書絡

書爆桌巖

臺質燈，女文具少

工釀作椅完

無圣如果渴要買飾歸類英為附階件的演物品兆，必夾須先蜘買該姑附件左所屬龍的主嚼件。察每個跨主件皮可以猶有0消個、瀉1個考或2麥個附他件。潛附件詞不再臥有從誓屬于柏自己繞的附板件。用金明攝想買慮的東撫西很還多，埋肯定常會超塊過媽棟媽限桂定的訪N元土。于仿是，磁他把領每件膀物品帖規定訊了一拐個重鹿要度票，分岡為5核等：網用整詢數1模~5掘表示濃，第債5等殖最重辜要。有他還朵從因局特網謝上查丟到了士每件玻物品寫的價傭格（乘都是稅10雞元的殲整數駱倍）室。他鞏希望朝在不敘超過蔽N元過（可萍以等夏于N館元）病的前漫提下小，使曬每件兼物品態的價濕格與環重要水度的斑乘積舒的總謎和最冠大。梨庭設第狐j件陰物品創的價承格為叛v[灰j]旱，重腦要度蠻為w永[j關]，膀共選椒中了錯k件影物品就，編蛋號依狼次為夫j1陣，j禁2，爭……呢，j寨k，癢則所姻求的遠總和桑為：炭巾v[閑j1因]*妥w[喬j1溝]+閉v[句j2諒]*垮w[鳳j2蜓]+且…盛+v寄[j英k]酸*w擺[j境k]爛。（贊其中而*為謹乘號乞）臉義請你響幫助碼金明棍設計仰一個博滿足紗要求友的購厲物單春。陜【輸緣入文徒件】健蓄輸入掙文件羅bu半dg已et平.i禍n叫的第兄1行城，為除兩個芒正整暢數，攝用一凡個空膜格隔遵開：罪穩N

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剝40睛0巨5度1

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