第四章靜態場的邊值問題第一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五5.1電位微分方程已知，電位

與電場強度E的關系為

對上式兩邊取散度，得對于線性各向同性的均勻介質，電場強度E的散度為

第二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五那么，線性各向同性的均勻介質中，電位滿足的微分方程式為該方程稱為泊松方程。

對于無源區，上式變為上式稱為拉普拉斯方程。

例求同軸電纜在空間任意一點的E。第三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五

例已知同軸線的內導體半徑為a，電位為V，外導體接地，其內半徑為b。試求內外導體之間的電位分布函數以及電場強度。

解

對于這種邊值問題，鏡像法不適用，只好求解電位方程。為此，選用圓柱坐標系。由于場量僅與坐標r

有關，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標系中的展開式只剩下包含變量r的一項，即電位微分方程為求得VbaO第四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五利用邊界條件：求得最后求得第五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五數學物理方程是描述物理量隨空間和時間的變化規律。對于某一特定的區域和時刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統稱為該方程的定解條件。靜電場的場量與時間無關，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據給定的邊界條件求解空間任一點的電位就是靜電場的邊值問題。通常給定的邊界條件有三種類型：第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向導數值，這種邊值問題又稱為諾依曼問題。第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向導數值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄利克雷問題。第六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五對于任何數學物理方程需要研究解的存在、穩定及惟一性問題。泊松方程及拉普拉斯方程解的穩定性在數學中已經得到證明。可以證明電位微分方程解也是惟一的。由于實際中定解條件是由實驗得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩定性具有重要的實際意義。解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。解的穩定性是指當定解條件發生微小變化時，所求得的解是否會發生很大的變化。解的存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。靜電場是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。第七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五靜電場的邊界通常是由導體形成的。此時，若給定導體上的電位值就是第一類邊界。已知導體表面上的電荷密度與電位導數的關系為，可見，表面電荷給定等于給定了電位的法向導數值。因此，給定導體上的電荷就是第二類邊界。

因此，對于導體邊界的靜電場問題，當邊界上的電位，或電位的法向導數給定時，或導體表面電荷給定時，空間的靜電場即被惟一地確定。這個結論稱為靜電場惟一性定理。第八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五5.2鏡像法

實質:是以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。依據：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。關鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。

局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。

第九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五（1）點電荷與無限大的導體平面

介質導體qrP介質qrPhh介質以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數為的空間，則空間任一點P的電位由q

及q'

共同產生，即考慮到無限大導體平面的電位為零，求得第十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。由此可見，電場線處處垂直于導體平面，而零電位面與導體表面吻合。電場線等位線

z第十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五電荷守恒：當點電荷q

位于無限大的導體平面附近時，導體表面將產生異性的感應電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導體表面上的感應電荷。可見，上述鏡像法的實質是以一個異性的鏡像點電荷代替導體表面上異性的感應電荷的作用。根據電荷守恒原理，鏡像點電荷的電量應該等于這些感應電荷的總電量，讀者可以根據導體表面電荷密度與電場強度或電位的關系證明這個結論。半空間等效：上述等效性僅對于導體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。第十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五q

對于半無限大導體平面形成的劈形邊界也可應用鏡像法。但是僅當這種導體劈的夾角等于

的整數分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為的導電劈需引入

5

個鏡像電荷。

/3/3q連續分布的線電荷位于無限大的導體平面附近時，根據疊加原理得知，同樣可以應用鏡像法求解。第十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五fqo（2）點電荷與導體球

Padrq若導體球接地，導體球的電位為零。為了等效導體球邊界的影響，令鏡像點電荷q'位于球心與點電荷q的連線上。那么，球面上任一點電位為可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為第十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值對于球面上任一點均具有同一數值。由上圖可見，若要求三角形△OPq

與△

OqP相似，則常數。由此獲知鏡像電荷應為鏡像電荷離球心的距離d應為這樣，根據q及q'

即可計算球外空間任一點的電場強度。fqOPadrq第十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五若導體球不接地，則位于點電荷一側的導體球表面上的感應電荷為負值，而另一側表面上的感應電荷為正值。導體球表面上總的感應電荷應為零值。因此，對于不接地的導體球，若引入上述的鏡像電荷q'后，為了滿足電荷守恒原理，必須再引入一個鏡像電荷q"，且必須令顯然，為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷q“必須位于球心。事實上，由于導體球不接地，因此，其電位不等零。由q及q‘在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個鏡像電荷q“

以提供一定的電位。第十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五

（3）點電荷與無限大的介質平面。E

1

1qr0E'EtEnq'

2

2q"E"

1

2qeten=+為了求解上半空間的場可用鏡像電荷q'等效邊界上束縛電荷的作用，將整個空間變為介電常數為1

的均勻空間。對于下半空間，可用位于原點電荷處的q"等效原來的點電荷q

與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變為介電常數為2

的均勻空間。第十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向分量保持連續，電位移的法向分量應該相等，即

已知各個點電荷產生的電場強度分別為代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：第十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五Xhyx

=

0IO例

設一根載有恒定電流I的無限長導線與無限大的理想導磁平面平行放置，如圖示。導線與平面間的距離為h

，試求上半空間任一點磁場強度。

第十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五Xhyx

=

0IOr'hhPyx

0IH1H2H1H2HOrI''

0解

采用鏡像法。設在鏡像位置放置一根無限長的恒定電流I

，那么上半空間任一點合成磁場強度為

理想導磁體表面的磁場強度的切向分量必須為零，為了滿足這個邊界條件必須要求I=I′。第二十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五因此合成磁場為對于邊界上任一點，y=0，得由此可見，所得結果滿足前述的邊界條件，即磁場強度垂直于理想導磁體邊界。

第二十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五例

一根無限長的電流為

I的線電流，位于兩種媒質形成的無限大的平面邊界附近，兩種媒質的磁導率分別為1

及2

，試求兩種媒質中的恒定磁場。I21=+解

設電流I位于媒質②中，如下圖示。IH2I'H'e'e1I"eH"第二十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五I21=+IH2I'H'e'e1I"eH"根據惟一性定理，場是由源及其邊界條件共同決定的。現在這樣假定后，上半空間仍為有源區，下半空間仍為無源區。為了維持邊界條件不變，求出的上半空間及下半空間的場在邊界上應滿足恒定磁場的邊界條件，即。由此求得第二十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五那么此時，鏡像電流。這些結果與前例完全相同。

由此可見，若媒質①為理想導磁體，即，則

第二十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五

由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過程中出現的積分常數，選擇適當的坐標系是非常重要的。對于平面邊界，圓柱邊界及圓球邊界必須分別選用直角坐標系、圓柱坐標系及球坐標系。

此外，由于同軸線中的電位函數僅與一個坐標變量r有關，因此原先的三維拉普拉斯方程簡化為一維微分方程，因而可采用直接積分方法求解這類邊值問題。但一般說來，靜電場的邊值問題與空間三個坐標變量有關。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法。分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨立的常微分方程，從而使求解過程比較簡便。分離變量法對于11種坐標系都是行之有效的。第二十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五5.3分離變量法

1.直角坐標系：無源區中電位滿足的拉普拉斯方程在的展開式為令代入上式，兩邊再除以X(x)Y(y)Z(z)，得

顯然，式中各項僅與一個變量有關。因此，將上式對變量x求導，第二項及第三項均為零，求得第一項對x

的導數為零，說明了第一項等于常數。同理，再分別對變量y

及z求導，得知第二項及第三項也分別等于常數。令各項的常數分別為，分別求得第二十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五式中kx，ky，kz稱為分離常數，它們可以是實數或虛數。顯然，三個分離常數并不是獨立的，它們必須滿足下列方程由上可見，經過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結構，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量x

的常微分方程的通解為或者式中A,B,C,D為待定常數。第二十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五分離常數也可為虛數。當kx

為虛數時，令，則上述通解變為或者含變量x

或y的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的邊界條件。解中各個待定常數也取決于給定的邊界條件。

第二十八頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五例

兩個相互平行的半無限大接地導體平面，間距為d

，其有限端被電位為0

的導電平面封閉，且與無限大接地導體平面絕緣，如圖所示。試求三個導體平面形成的槽中電位分布。

Odxy

=0

=0

=0解

選取直角坐標系。由于導電平面沿z

軸無限延伸，槽中電位分布函數一定與z無關，因此，這是一個二維場的問題。電位所滿足的拉普拉斯方程變為第二十九頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五應用分離變量法，令根據題意，槽中電位應滿足的邊界條件為為了滿足及邊界條件，應選Y(y)的解為因為y=0

時，電位

=0，因此上式中常數B=0。為了滿足邊界條件，分離常數ky

應為第三十頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五求得已知，求得可見，分離常數kx為虛數，故X(x)

的解應為因為x=0

時，電位，因此，式中常數C=0，即那么，式中常數C=AD。第三十一頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五由邊界條件獲知，當x=0

時，電位

=0，代入上式，得上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電位方程的解，即為了滿足x=0，

=0

邊界條件，由上式得第三十二頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五上式右端為傅里葉級數。利用傅里葉級數的正交性，可以求出系數Cn為最后求得槽中電位分布函數為式中。0dxy

=0

=0

=0電場線等位面電場線及等位面分布如右圖示：第三十三頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五2.圓柱坐標系中的分離變量法

電位微分方程在圓柱坐標系中的展開式為令其解為代入上式求得上式中第二項僅為變量

的函數，而第一項及第三項與無關，因此將上式對

求導，得知第二項對的導數為零，可見第二項應為常數，令

第三十四頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五即式中k

為分離常數，它可以是實數或虛數。通常變量

的變化范圍為，那么此時場量隨

的變化一定是以2

為周期的周期函數。因此，上式的解一定是三角函數，且常數k一定是整數，以保證函數的周期為2。令，m為整數，則上式的解為式中A,B為待定常數。

考慮到，以及變量的方程式，則前述方程可表示為第三十五頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五上式左邊第一項僅為變量r的函數，第二項僅為變量z

的函數，因此按照前述理由，它們應分別等于常數，令

即式中分離常數kz

可為實數或虛數，其解可為三角函數，雙曲函數或指數函數。當kz

為實數時，可令式中C,D

為待定常數。將變量z方程代入前式，得第三十六頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五若令，則上式變為上式為標準的柱貝塞爾方程，其解為柱貝塞爾函數，即

至此，我們分別求出了R(r)

,(),Z(z)

的解，而電位微分方程的通解應為三者乘積，或取其線性組合。式中E,F為待定常數,為m階第一類柱貝塞爾函數，為m階第二類柱貝塞爾函數。根據第二類柱貝塞爾函數的特性知，當r=0

時，。因此，當場存在的區域包括

r=0

時，此時只能取第一類柱貝塞爾函數作為方程的解。

第三十七頁，共四十三頁，編輯于2023年，星期五若所討論的靜電場與變量z無關，則分離常數。那么電位微分方程變為此方程的解為指數函數，即若所討論的靜電場又與變量無關，則m=0。那么，電位微分方程的解為

考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形