集合、常用邏輯用語(yǔ)、三角函數(shù)、解三角形

一、集合與常用邏輯用語(yǔ)

（2021屆南京期初調(diào)研調(diào)研1）已知集合4={3%2—萬(wàn)一2<0},B^{x\l<x<3},則AC8=

A.{x|-l<x<3}B.{x|-l<x<l）C.{xll<x<2}D.{x|2<x<3}

答案：C

（2021南京三模1）已知集合4=32*<4},B={x|『一2x—3W0},則AUB=

A.[-1,2）B.（2,3]C.（-1,3]D.（-°°,3]

答案：D

（2021南京一模2）已知函數(shù)y=lg（—x+2）的定義域?yàn)榧螹,函數(shù)y=siar的值域?yàn)镹,

則MAN=

A.0B.（-2,1]C.[-1,1）D.[-1,1]

答案：C

（2021屆南京二模2）設(shè)集合A,8是全集U的兩個(gè)子集，貝iJ“AAB=”是“AC4”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：C

（2021南京一模10）下列選項(xiàng)中，關(guān)于x的不等式加+5一1次一2>0有實(shí)數(shù)解的充分不必要

條件的有

A.a=0B.”2-3+2^\/5

C.a>0D.aW—3~~2亞

答案：AC

（2021南京一模4）一次競(jìng)賽考試，老師讓學(xué)生甲、乙、丙、丁預(yù)測(cè)他們的名次.學(xué)生甲說(shuō)：

丁第一；學(xué)生乙說(shuō)：我不是第一；學(xué)生丙說(shuō)：甲第一；學(xué)生丁說(shuō)：甲第二.若有且僅有

一名學(xué)生預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則該學(xué)生是

A.甲8.乙C.丙D.T

答案：C

二、三角函數(shù)與三角恒等變換

（2021屆南京二模6）密位制是度量角的一種方法.把一周角等分為6000份，每一份叫做1

密位的角.以密位作為角的度量單位，這種度量角的單位制，叫做角的密位制.在角的密位

制中，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，單位名稱密位二字可以省去不寫.密位的寫法是在百位

數(shù)與十位數(shù)字之間畫一條短線，如7密位寫成“0-07”，478密位寫成“4一78”.1周角等于

6000密位，記作1周角=60—00,1直角=15—00.如果一個(gè)半徑為2的扇形，它的面積為

木，則其圓心角用密位制表示為

A.12-50B.17-50C.21-00D.35—00

答案：B

(2021南京一模13)若函數(shù)犬x)=sin(2x+(p)為偶函數(shù)，則中的一個(gè)值為.(寫出一個(gè)

即可)

答案：l+kn,%ez(寫一個(gè)即可)

jr

(2021屆南京期初調(diào)研10)將函數(shù)兀r)=sinZr的圖象向左平移/個(gè)單位后，得到函數(shù))，=g(x)

的圖象，則

A.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線尸聲對(duì)稱B.函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)60)對(duì)稱

C.函數(shù)g(x)在區(qū)間(一,，一奇上單調(diào)遞增D.函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,3上有2個(gè)零點(diǎn)

答案：ACD

⑵)21屆南京二模11)已知函數(shù)［(x)=Wsinx|+Mcosx|,則

A./(x)是周期函數(shù)B./(x)的圖象必有對(duì)稱軸

C.F(x)的增區(qū)間為囪r,癡+與，kwzD/(x)的值域?yàn)椤埃?/p>

答案：ABD

(2021南京三模12)已知函數(shù)於)=3sin2x+4cos2x,g(x)=J(x)+\j(x)\.若存在對(duì)任

意無(wú)eR,y(x)2/(xo),則

A.任意x?R,f(x+xo)=/(x—xo)

B.任意x@R,f(x)W/(xo+今

C.存在6>0,使得g(x)在(xo,xo+8)上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

D.存在e>一居，使得g(x)在(xo—mXo+G)上單調(diào)遞減

答案：BD

(2021南京一模5)化筒sin端一a)—sin26+a)可得

A.cos(2a+^)B.—sin(2a+g)C.cos(2a—7)D.sin(2a—

答案：B

(2021南京三模5)已知cos(a—?jiǎng)tsin(2a+^)+cos2(4多的值為

O4OZ1Z

4?14?o?12cr3^g7u?1

答案：D

（2021屆南京二模5）計(jì)算2cos10"力也0所得的結(jié)果為

cos20

A.1B.巾C.小D.2

答案：C

2

（2021屆南京期初調(diào)研17）已知向量m=（2COM,-1）,〃=N§sinx,2COSX),XGR.設(shè)函數(shù)

J(x)=mn+1.

(1)求函數(shù)人x)的最小正周期；

(2)若adg,笥,且加)=,求cos2a的值.

解：因?yàn)镴M=(2COSX,—1),〃=(4§situs2cos2%),

所以凡x)=m〃+1=26sinxcosx—2cos2無(wú)+1

=^/3sin2x-cos2x=2sin(2x-^)......................................4分

(1)丁=爹=心..................5分

o7r4

(2)由得sin(2a—z)=《.

D0J

由aG序卷I，得,<2a一襲Wn,

所以cos(2a—^)=—sin2(2a—^)=—^2=—5.............................1分

從而cos2a=cos[(2a+7]=cos(2a_7)cos?-sin(2a-?)sin5

oo66oo

__3吏_41一一4一3小

-5X25義2-10................................10分

三、解三角形

（2021屆南京期初調(diào)研5）在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c.若2/?cosCW2a

一c,則角B的取值范圍是（）

A.（0,B.（0,yjC.n）D.[y,乃）

答案：A

（2021南京一模18）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,A=B+3C.

(1)求sinC的取值范圍；

(2)若c=6b,求sinC的值.

解：(1)由A=B+3C及A+B+C=%,得28+4C=zr,

所以8=]—2C,所以A=1+C.......................................................................................2分

0<1+C<^,

0<A<7T,

由<0V8V江,得，O<^-2C<7V,

,0<C<7Tf

、0<C<z,

得故sinC的取值范圍為（0,乎）.

..............................................................5分

(2)若c=6b,由正弦定理有sinC=6sin'①

由⑴知B=^—2C,則sinB=sin(^—2Q=cos2C.②.............................................7分

由①②得4sinC=cos2c=1—Zsi/C,所以IZsiifC+sinC—6=0,

23

解得sinC=1或sinC=一不..............................................10分

又sinCG(0,乎)，所以sinC=1.......................................................................................12分

(2021南京三模17)已知四邊形A3CO中，AC與BD交于點(diǎn)E,AB=2BC=2CD=4.

(1)若NAOC=會(huì)，AC=3,求cosNCAD；

(2)若AE=CE,BE=2?求△ABC的面積.

ACCD

解：⑴在△ACC中，由正弦定理，得目反=缶為

所以$出/0￡>=6能.℃=2：3邛..........................................................2分

7T

因?yàn)?</CA￡><w，

因此cosNCAD=yl1-sin?NCAD=N1-(坐/=羋.......................4分

(2)方法1

設(shè)4E=CE=x,NAEB=a.

在△A8E中，8+x2—4啦疣osa=16.①

在△BCE中，8+x2—4-\/2xcos(^—<z)=4,即8+/+4*\/^8$01=4.②....................6分

①②相加，解得彳=6，即AE=CE=#.................................................................8分

a

將x=y/2代入①，解得cosa=一7

因?yàn)?<夕<不，所以sina=-^1—cos2a=^,

所以△ABC的面積S^ABC=2S^ABE=2X^AEXBEXsince

=2X()X也X2啦乂斗)=市......................10分

方法2

因?yàn)锳E=CE,所以前'=/函+瑟)，

兩邊平方得4BE2=BA2+BC2+21BA\-\BC\cosZABC,

即32=16+4+2X4X2cosZABC,

得cosZABC=1,又0<NABC<兀,

所以sin/A8C=、l-cos2/A8C=*..........................................................................8分

所以△ABC的面積5M灰：=夕8劣0sin/ABC=；X4X2X*=市..........10分

(2021屆南京二模17)在①人=小“；②"=3cosB；③〃sinC=1這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充

在下面問(wèn)題中.若問(wèn)題中的三角形存在，求該三角形面積的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，

說(shuō)明理由.

問(wèn)題：是否存在△A8C,它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且sinB-sin(A—

C)=y[3sinC,c=3,?

解：在△ABC中，B=〃一(A+C),所以sinB=sin(4+C).

因?yàn)閟inB—sin(A-O=V5sinC,所以sin(A+0—sin(A—C)=^sinC,.................2分

即sinAcosC+cosAsinC—(sinAcosC—cosAsinC)=q§sinC,

所以2cosAsinC=SsinC..................................................................................................4分

在△ABC中，sinCWO,所以cosA=￥-.

因?yàn)?<A</,所以A弋................................................6分

選擇①

方法1

因?yàn)锳=光，所以a2=h2+c2—2hccosA=h2+9—3y[3h.

又因?yàn)閎=小“，所以2/一外傳b+27=0,解得6=3小，或6=乎，

此時(shí)△ABC存在.........................................................8分

當(dāng)時(shí)，△ABC的面積為SAABC=3csiM=/x3于X3X￡=￥.

當(dāng)人=邛^時(shí)，/XABC的面積為SA4BC=/csinA=；x￥^X3xg=￥^..............10分

方法2

因?yàn)閎=y[3a,由正弦定理，得sinB=SsinA=，§sin%=￥-.

因?yàn)?<8<不，所以8=率或8=羊此時(shí)△ABC存在.....................8分

當(dāng)3=飄*,C=^,所以b=ccosA=^乎，

所以△A3C的面積為S^BC=\bcs\nAXX3X

ZLLZO

...八2兀Q-7tdLi、i,csinB-r-

當(dāng)8=與"時(shí)，C=d，所以"=7^=34，

所以AABC的面積為SAA8c=/csinA=T><3小X3X3=￥.............................10分

選擇②

層+9—tr

因?yàn)镼=3COS3,所以。=3X-----笈---,得儲(chǔ)+/=9,

所以。=看此時(shí)△A8C存在.............................................8分

因?yàn)锳=*所以b=3><cos*=3^,cz=3Xsin^=|,

所以△ABC的面積為&ABC=J浴=￥..................................10分

Zo

選擇③

(Ic3

由而=菽'得"sinC=csinA=》......................................8分

這與〃sinC=l矛盾，所以△ABC不存在..................................10分

復(fù)數(shù)

(2021南京期初2)已知(3-4i)z=l+i,其中i為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：B

（2021南京一模1）若萬(wàn)17為實(shí)數(shù)，其中，為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值為

A.2B.—2C.2D.—2

答案：B

（2021南京二模2）設(shè)復(fù)數(shù)zi,Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，zi=3+4i,則Z|Z2=

A.25B.-25C.7-24/D.-7-24/

答案：A

（2021南京三模2）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=；+乎i,則復(fù)數(shù):的虛部為

AB亞C-AD亞i

答案:A

數(shù)列

（2021南京期初15）已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S”且2s“=%如+i，（GN’,

則的=▲;若0=2,則$20=▲.（本題第一空2分，第二空3分）

答案：4；220

解析：根據(jù)2S“=a"a,用①，得2S“T=a“a,I②，①-②得用一41T=2,

故%=4+2=4；當(dāng)q=2,可得該數(shù)列滿足。2*一1="2…且｛?2卜1｝與｛。2*｝均為

公差為2的等差數(shù)列，即可求得$20=220.

（2021南京二模16）牛頓迭代法又稱牛頓一拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)

數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下：設(shè)/?是函數(shù)y=/（x）的一個(gè)零點(diǎn)，

任意選取xo作為r的初始近似值，過(guò)點(diǎn)（須，/（確））作曲線），=/（x）的切線八，設(shè)/i與x軸

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為，并稱M為r的1次近似值；過(guò)點(diǎn)出，/（?））作曲線y=/（x）的切線6,

設(shè)/2與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X2,并稱X2為，?的2次近似值.一般的，過(guò)點(diǎn)（X,”f（%?））（?

GN）作曲線）=f（x）的切線ln+i，記In”與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x”+i，并稱從+i為/"的〃

+1次近似值.設(shè)f（x）=/+x—1（x20）的零點(diǎn)為〃取沏=0,則廠的2次近似值為

▲;設(shè)斯=2；可f'〃GN*，數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)積為T；.若任意“GN*,7；,<2

恒成立，則整數(shù)2的最小值為▲.

答案：:，2

（2021南京期初18）已知數(shù)列｛斯｝是公比為2的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“.

（1）在錯(cuò)誤!未找到引用源。$+S3=2S2+2,錯(cuò)誤!未找到引用源。S3=j,錯(cuò)誤!未找到引用

源。“243=444這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上述題干中.求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式，并判斷

此時(shí)數(shù)列｛斯｝是否滿足條件P:任意〃7,“GN*,即小均為數(shù)列｛斯｝中的項(xiàng)，說(shuō)明理由；

（2）設(shè)數(shù)列｛兒｝滿足兒=〃（等）"一，"GN",求數(shù)列｛仇｝的前"項(xiàng)和7”.

解：（1）選錯(cuò)誤味找到引用源。，

因?yàn)?1+53=28+2,

所以$3—Si=S?—Si+2,即2=42+2,

又?jǐn)?shù)列｛斯｝是公比為2的等比數(shù)列，

所以44|=241+2,解得ai=l,

因此％=lX2"r=2"r.............................4分

lm+2

此時(shí)任意加，n￡N\an,all=2"''-2"~'=2"~,

由于〃?+〃-1WN*,所以a,”丁是數(shù)列｛為｝的第1項(xiàng)，

因此數(shù)列｛斯｝滿足條件P.............................7分

選錯(cuò)誤!未找到引用源。，

77

因?yàn)镾3=],即ai+a2+“3=W，

又?jǐn)?shù)列｛%｝是公比為2的等比數(shù)列，

71

所以G+241+441=1,解得0=5，

因此為=：X2"-i...........................4分

2

此時(shí)即不為數(shù)列｛。〃｝中的項(xiàng)，

因此數(shù)列｛〃〃｝不滿足條件P...........................7分

選錯(cuò)誤!未找到引用源。，

因?yàn)椤?〃3=4。4，

又?jǐn)?shù)列｛斯｝是公比為2的等比數(shù)列，

所以2?X4al=4X8ai,又的￥0,故m=4,

因此小=4X=2〃+】,..........................4分

m+in+n+n+2

此時(shí)任意加，〃GN*,aman=2-2'=2',

由于，〃+〃+ieN*,所以a,“。”是為數(shù)列｛%｝的第，〃+〃+1項(xiàng)，

因此數(shù)列｛處｝滿足條件P..............................7分

（2）因?yàn)閿?shù)列｛〃“｝是公比為2的等比數(shù)列，

所以詈1=2,因此乩=〃又2廣|.

所以7；,=lX20+2X2l+3X22+...+nX2,,_|,

則23lX21+2X22+...+(n-l)X2n-1+nX2",

兩式相減得一7=1+21+2?+…+2"T-"X2"..................10分

=(1一〃)2"—1,

所以北=(〃-1)2"+1.............................12分

2

（2021南京一模17）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S.，2Sn=an+an.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

〃11

（2）求證：￡———<-.

解：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，由2sA=。/+斯,得31—1）=0.

因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列，所以0>0,所以0=1.

2

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，2Sn=an+an9....................①

所以當(dāng)〃22時(shí)，25〃-1=斯-/+斯_],................②

=22

①一②，得2Sn—2Sn-1?7?~an-\+an~an-\，

2

即2a,i=a｝—an-i+an-arl-\,

所以（in+斯一i-（如+1）3〃斯-1）?

因?yàn)閿?shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均正，所以小+斯7>0.

所以當(dāng)時(shí)，an—an-i=l.

故數(shù)列｛〃〃｝是公差為1的等差數(shù)列.

故數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為an=n.

Q）因?yàn)榧?-1=產(chǎn)+?+]）2-1=2舊+1）=E（7-ITT），

故￡^^=捕e）+&T+…+（>由同a一^）</

（2021南京二模18）

已知等比數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和S?=2"+r,其中r為常數(shù).

⑴求r的值；

(2)設(shè)d=2(1+10g24“)，若數(shù)列｛兒｝中去掉數(shù)列｛斯｝的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成數(shù)

列｛C"｝，求求Cl+c2+C3+-+ciOO的值.

解：⑴方法1

因?yàn)镾”=2"+r,

所以當(dāng)”=1時(shí)，Si=4i=2+r.

當(dāng)”=2時(shí)，S2=m+a2=4+r,故“2=2.

當(dāng)”=3時(shí)，53=41+。2+。3=8+廠，故03=4.

因?yàn)椋鸻n｝是等比數(shù)列，所以“22=4?，化簡(jiǎn)得2+r=l,解得r=-1,........3分

此時(shí)S“=2"-l.

當(dāng)時(shí)，小=%一斗-1=2"—1-2"-1—1=2"7,

當(dāng)”=1時(shí)，。1=0=1,an—2"~',

所以r=-1滿足題意....................................................5分

方法2

因?yàn)镾“=2"+r,所以當(dāng)“=1時(shí)，Si=m=2+r.

當(dāng)時(shí)，a“=S"_SLi=2"+r—2"T-r=2"T...........................3分

因?yàn)椋鸻“｝是等比數(shù)列，所以2+r=l,解得廠=-1...........................5分

(2)因?yàn)樗?2"T,所以乩=2(l+log2a”)=2〃...............................7分

因?yàn)?=1,02=2—b\,。3=4=方2，〃4=8=匕4，。5=16=匕8，。6=32=/?|6，

07=64=^32，〃8=128=/764，49=256=歷28，...........................9分

所以C|+c2+c3+“+clOO

=(6+歷+/>3+…+歷07)-32+43+44+45+46+47+48)11分

107X(2+214)2(1-27)

11302.12分

（2021南京三模18）已知等差數(shù)列｛斯｝滿足：0+3,。3,44成等差數(shù)列，且0，。3,。8成等比

數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛小｝的通項(xiàng)公式；

（2）在任意相鄰兩項(xiàng)以與4+#=1,2,…）之間插入2"個(gè)2,使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成

一個(gè)新的數(shù)列｛兒｝.記S,為數(shù)列｛兒｝的前"項(xiàng)和，求滿足S“V500的〃的最大值.

解：（1）設(shè)數(shù)列｛小｝的公差為“，

因?yàn)椤?+3,。3,44成等差數(shù)列，所以2a3=ai+3+fl4,即2(ai+2或=ai+3+ai+3d,

解得4=3,..........................................................................................................................2分

因?yàn)榧?3,48成等比數(shù)列，所以壯二外小，即51+6)2=4((11+21),

解得0=4,.........................................................................................................................4分

所以a”=4+3("-1)=3"+1............................................................................................5分

(2)因?yàn)榕c＞0,所以｛SJ是單調(diào)遞增數(shù)列...................................6分

因?yàn)樗?i前的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為k+2'+22+...+2k^k+2k+'-2,

所以5女+2*+1_2=(0+42+…+以)+2(21+22+...+2*)

M4+3Z+1),八，2(1-2&)3F+5k,

=2+2X-T^-=^—+

當(dāng)女=6時(shí)，Si32=321V500；當(dāng)氏=7時(shí)，S26i=599>500.....................................10分

令Si32+s+2(〃-133)V500,即321+22+2(〃―133)<500,解得“<211.5.

所以滿足S.V500的〃的最大值為211.......................................................................12分

統(tǒng)計(jì)概率

(2021南京期初19)為調(diào)查某校學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了該校100名學(xué)生(男生60

人，女生40人)，統(tǒng)計(jì)了他們的課外閱讀達(dá)標(biāo)情況(一個(gè)學(xué)期中課外閱讀是否達(dá)到規(guī)定時(shí)間),

結(jié)果如下：

否達(dá)標(biāo)

不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)

性別X.

男生3624

女生1030

(1)是否有99%的把握認(rèn)為課外閱讀達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)?

附./=_____n(ad—bc乎______

(a+b)(c+d)(a+c)@+:

皈2)0.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

(2)如果用這100名學(xué)生生中男生和女生課外閱讀“達(dá)標(biāo)”的頻率分別代替該校男生和女

生課外閱讀"達(dá)標(biāo)''的概率，且每位學(xué)生是否“達(dá)標(biāo)”相互獨(dú)立.現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人

(2男1女)，設(shè)隨機(jī)變量X表示“3人中課外閱讀達(dá)標(biāo)的人數(shù)”，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解：(1)假設(shè)“0：課外閱讀達(dá)標(biāo)與性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表，求得

2.100X(36X30—24X10)2_2450一

/一(36+24)X(10+30)X(36+10)X(24+30)—207~'

因?yàn)楫?dāng)H)成立時(shí)，/26.635的概率約為0.01,

所以有99%以上的把握認(rèn)為課外閱讀達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).....................4分

(2)記事件4為：從該校男生中隨機(jī)抽取1人，課外閱讀達(dá)標(biāo);

事件B為：從該校女生中隨機(jī)抽取1人，課外閱讀達(dá)標(biāo).

24?302

由題意知：尸5)=而=§,尸(3)=前=1...................6分

隨機(jī)變量X的取值可能為0,1,2,3.

P(X=0)=(l-|)2X(1—科卷

尸(X=D=GX]X(I_|)X(T+1X(I_|)2=^,

P(X=2)=(1)2X(1一點(diǎn)+GX|X(1一|)XAI，

P(X=3)=(#X尸文.

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123

93923

PTooToo525

....................10分

期望E(X)=0X焉+1X儡+24+3X余=1.55.........................12分

(2021南京一模20)某市為創(chuàng)建全國(guó)文明城市，市文明辦舉辦了一次文明知識(shí)網(wǎng)絡(luò)競(jìng)賽，全

市市民均有且只有一次參賽機(jī)會(huì)，滿分為100分，得分大于等于80分的為優(yōu)秀.競(jìng)賽結(jié)束

后，隨機(jī)抽取了參賽中100人的得分為樣本，統(tǒng)計(jì)得到樣本平均數(shù)為71,方差為81.假設(shè)

該市有10萬(wàn)人參加了該競(jìng)賽活動(dòng)，得分Z服從正態(tài)分布N(71,81).

(1)估計(jì)該市這次競(jìng)賽活動(dòng)得分優(yōu)秀者的人數(shù)是多少萬(wàn)人？

(2)該市文明辦為調(diào)動(dòng)市民參加競(jìng)賽的積極性，制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：所有參加競(jìng)賽活

動(dòng)者，均可參加“抽獎(jiǎng)贏電話費(fèi)”活動(dòng)，競(jìng)賽得分優(yōu)秀者可抽獎(jiǎng)兩次，其余參加者抽

獎(jiǎng)一次.抽獎(jiǎng)?wù)唿c(diǎn)擊抽獎(jiǎng)按鈕，即隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)兩位數(shù)(10,11,99),若產(chǎn)生

的兩位數(shù)的數(shù)字相同，則可獎(jiǎng)勵(lì)40元電話費(fèi)，否則獎(jiǎng)勵(lì)10元電話費(fèi).假設(shè)參加競(jìng)

賽活動(dòng)的所有人均參加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，估計(jì)這次活動(dòng)獎(jiǎng)勵(lì)的電話費(fèi)總額為多少萬(wàn)元?

參考數(shù)據(jù)：若Z~NR,ct2),則尸(口一0<2<日+6Q0.68.

解：(1)因得分Z~N(71，81),所以標(biāo)準(zhǔn)差。=9,所以優(yōu)秀者得分

由P(N-o<Z<n+b)場(chǎng)0.68得，P(Z>M+O)^0.16.

因此，估計(jì)這次參加競(jìng)賽活動(dòng)得分優(yōu)秀者的人數(shù)為10X0.16=1.6(萬(wàn)人)......4分

(2)方法一

設(shè)抽獎(jiǎng)一次獲得的話費(fèi)為X元，

91Q

則P(X=40)=旃=正，P(X=10)=記，...................................6分

19

所以抽獎(jiǎng)一次獲得電話費(fèi)的期望值為E(X)=^X40+京X10=13............8分

又由于10萬(wàn)人均參加抽獎(jiǎng)，且優(yōu)秀者參加兩次，

所以抽獎(jiǎng)總次數(shù)為10+10X0.16=11.6萬(wàn)次................................10分

因此，估計(jì)這次活動(dòng)所需電話費(fèi)為11.6X13=150.8萬(wàn)元..................12分

方法二

設(shè)每位參加活動(dòng)者獲得的電話費(fèi)為X元，則X的值為10,20,40,50,80.

且P(X=10)=(1—0.16)X^Q=IQQQ'

P(X=20)=0.16X,

984

P(X=40)=(l-0.16)X^=y^0，

Qi9288

P(X=50)=0.16X(礪)X(麗)X2=

916

P(X=80)=0.16X(,=y^...........................................9分

所以E(X)=10Xy^+20X而麗+40"而尹50義而髭+80X麗通=15.08.11分

因此，估計(jì)這次活動(dòng)所需電話費(fèi)為10X15.08=150.8(萬(wàn)元).................12分

(2021屆南京二模19)某公司對(duì)項(xiàng)目A進(jìn)行生產(chǎn)投資，所獲得的利潤(rùn)有如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:

項(xiàng)目A投資金額x

12345

(單位：百萬(wàn)元)

所獲利潤(rùn)y

0.30.30.50.91

(單位：百萬(wàn)元)

(1)請(qǐng)用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，并用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;

(2)該公司計(jì)劃用7百萬(wàn)元對(duì)A,8兩個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行投資.若公司對(duì)項(xiàng)目8投資x

(1WXW6)百萬(wàn)元所獲得的利潤(rùn)y近似滿足：y=0.16x-始+0.49,求對(duì)A,B兩

個(gè)項(xiàng)目投資金額分別為多少時(shí)，獲得的總利潤(rùn)最大?

附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)出，yD，(M，j2)，???，(xn9%),其回歸直線方程的斜率

vn一一

；=1

和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：》=a=y~bx.

￡X/2—/IX2

1=1

2,xtyj-nx-y

②線性相關(guān)系數(shù)「=.一般地，相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值

(￡X/2—nx2)(￡yp—ny2)

i=li=l

在0.95以上(含0.95)認(rèn)為線性相關(guān)性較強(qiáng)；否則，線性相關(guān)性較弱.

參考數(shù)據(jù)：對(duì)項(xiàng)目4投資的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表中產(chǎn)=n,自―E-

解：(1)對(duì)項(xiàng)目4投資的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，有彳=3,歹=0.6,gx『=55.

i=1

Vn——

Z，Xiyi-nx-y/

/=1??11-5X3X0.6

所以》=55—5義32=02■4分

￡xp-nx2

白=》一方1=0.6—0.2義3=0,

所以回歸直線方程為：$=0.2x.6分

n

Z，Xiyi—nx-y

i=l11-5X3X0.6

線性相關(guān)系數(shù)r=

U(￡/_”/)(￡寸_好「比55—5X32)(2.24—5X0.62)

\li=li=l

2__________

=^=^0.9524>0.95

這說(shuō)明投資金額x與所獲利潤(rùn)y之間的線性相關(guān)關(guān)系較強(qiáng)，用線性回歸方程9=0.%對(duì)

該組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合合理.8分

(2)設(shè)對(duì)8項(xiàng)目投資x(lWxW6)百萬(wàn)元，則對(duì)A項(xiàng)目投資(7-x)百萬(wàn)元.

049

所獲總利潤(rùn)y=0.16x—幣+0.49+0.2(7一%)10分

049/049

=1.93-[0.04(A-+1)+^TJ]W1.93—2'/0.04(x+1)X帚■=1.65,

049

當(dāng)且僅當(dāng)0.04(x+D=幣，即x=2.5時(shí)取等號(hào),

所以對(duì)A,B項(xiàng)目分別投資4.5百萬(wàn)元，2.5百萬(wàn)元時(shí)，獲得總利潤(rùn)最大............12分

(2021南京三模20)某乒乓球教練為了解某同學(xué)近期的訓(xùn)練效果，隨機(jī)記錄了該同學(xué)40局接

球訓(xùn)練成績(jī)，每局訓(xùn)練時(shí)教練連續(xù)發(fā)100個(gè)球，該同學(xué)接球成功得1分，否則不得分，且每

局訓(xùn)練結(jié)果相互獨(dú)立，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)若同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，

①求該同學(xué)40局接球訓(xùn)練成績(jī)的樣本平均數(shù)1；

②若該同學(xué)的接球訓(xùn)練成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布100),其中〃近似為樣

本平均數(shù)求P(54＜XV64)的值;

(2)為了提高該同學(xué)的訓(xùn)練興趣，教練與他進(jìn)行比賽.一局比賽中教練連續(xù)發(fā)100個(gè)球,

該同學(xué)得分達(dá)到80分為獲勝，否則教練獲勝.若有人獲勝達(dá)3局，則比賽結(jié)束,

記比賽的局?jǐn)?shù)為Y.以頻率分布直方圖中該同學(xué)獲勝的頻率作為概率勵(lì)(為.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量CNQ,a2),則尸(//一＜7＜。＜"+＜7)=0.6827,0.045

P(M-2CV《V"+2(T)=0.9545,尸(//一30〈《〈"+3加0.9973.

0.020

0.010

0.005

O5060708090100分婁

解：(l)?x=55X0.1+65X0.2+75X0.45+85X0.2+95X0.05=74.……2分

(第20題圖)

②由⑴得〃=1=74,所以X~N(74,100),

得「(54VX<94)^0.9545,P(64<X<84)心0.6827,■4分

0.9545-0.6827

所以P(54VX<64)=0.1359.6分

2

(2)記“該同學(xué)每局獲勝”為事件A,則P(A)=(0.02+0.005)X10=；...........7分

丫的可能取值為3,4,5,

137

P(y=3)=(4)3+(4)...............................................8分

P(r=4)=dx(|)2x|x1+dx(1)2x|x|=-^,.........................9分

p(y=5)=d*(1)2x(|)2x1+dx(|)2x(|)2x1=^......................io分

因此E(y)=3X^+4X魯+5義系=糕................................12分

IO1ZO1ZoIZo

（2021南京期初9）5G時(shí)代已經(jīng)到來(lái)，5G的發(fā)展將直接帶動(dòng)包括運(yùn)營(yíng)、制造、服務(wù)在內(nèi)的通

信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進(jìn)而對(duì)GDP增長(zhǎng)產(chǎn)生直接貢獻(xiàn)，并通過(guò)產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，

間接帶動(dòng)國(guó)民經(jīng)濟(jì)各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟(jì)增加值.如圖，某單位結(jié)合近年數(shù)

據(jù)，對(duì)今后幾年的5G經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出做出預(yù)測(cè).

2020202120222023202420252026202720282029

□運(yùn)營(yíng)商?信息服務(wù)商■設(shè)備制造商

由上圖提供的信息可知

A.運(yùn)營(yíng)商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出逐年增加

B.設(shè)備制造商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出前期增長(zhǎng)較快，后期放緩

C.設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位

D.信息服務(wù)商與運(yùn)營(yíng)商的經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢(shì)

答案：ABZ）

（2021南京一模6）某詞匯研究機(jī)構(gòu)為對(duì)某城市人們使用流行語(yǔ)的情況進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了

200人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)得下方的2X2列聯(lián)表.則根據(jù)列聯(lián)表可知

年輕人非年輕人總計(jì)

經(jīng)常用流行用語(yǔ)12525150

不常用流行用語(yǔ)351550

總計(jì)16040200

A.有95%的把握認(rèn)為“經(jīng)常用流行用語(yǔ)”與“年輕人”有關(guān)系

B.沒(méi)有95%的把握認(rèn)為“經(jīng)常用流行用語(yǔ)”與“年輕人”有關(guān)系

C.有97.5%的把握認(rèn)為“經(jīng)