機密★啟用前〔考試時間：2022年12月27日下午3：00—5:00］

樂山市高中2023屆第一次調(diào)查研究考試

理科數(shù)學(xué)

（本試卷共4頁，滿分150分。考試時間120分鐘）

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在

本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合A={川-2<丈<2},5={2|（工+3）0—1）〈0},則八（"|3=

A.{x|—3<x<_2}B.{x|—3<x<l}

C.{JC\—2<x<l}D.{x|——1}

2.為了了解樂山大佛景區(qū)暑假游客年齡情況，大佛管委會對不同年齡段的游客人數(shù)進行了統(tǒng)

計,并整理得到如下的頻率分布直方圖.已知20歲到70歲的游客人數(shù)共約200萬,則年齡

在［50,60］的游客人數(shù)約為

A.6萬B.60萬

C.8萬D.80萬

3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=|z—3i\z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（z,y）,則

A.x=1B.>=1C.x=-1D.y=-1

4.（l+2z）（l+z）3的展開式中x2的系數(shù)為

A.4B.6C.9D.12

高三理科數(shù)學(xué)試題第1頁（共4頁）

5.青海省龍羊峽水電站大壩為重力拱壩（如圖1）,其形狀如同曲池（如圖2）.《九章算術(shù)》指出，

曲池是上下底面皆為扇環(huán)形狀的水池，設(shè)其上底面扇環(huán)的內(nèi)外弧長分別為c】，Q,內(nèi)外徑之

差為，下底面扇環(huán)的內(nèi)外弧長分別為4，4，內(nèi)外徑之差為高為人則曲池體積公式為

V=《［（2y+a2）仇+（2例+5）仇［晨其中幾=/2，8=女孑.已知龍羊峽水電站大壩

0ZZ

的上底面內(nèi)外弧長分別為360m和380m,內(nèi)外半徑分別為250m和265m；下底面內(nèi)外弧長

分別為50m和70m,內(nèi)外半徑差為80m,高為180m.則澆鑄龍羊峽大壩需要的混凝土約為

（結(jié)果四舍五人）

A.1.3X106m3B.1.4X106m3C.1.5X106m3D.1.6X106m3

n

6.已知等比數(shù)列｛a,｝的公比為g,前〃項和為S“,則"q>0”是"S"+S?+2>2S?+1的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

_____9

7.已知函數(shù)/（x）=lg（;+三，則函數(shù)fGr）的大致圖象為

X

9.已知10°"”%3,10°,3。1弋2,設(shè)乂=151°,則乂所在的區(qū)間為

A.(1O\1O10)B.(10lo,10H)C.(10n,1012)D.(10l2,1013)

—J?2|2T0

I",滿足/(a)</(—a)，則a的取值范圍是

xf2x,x<0

A.(-OO,-2)U(0,2)B.(—8,-2)U(2,+8)

C.(-2,0)U(0,2)D.(-2,0)U(2,+oo)

11.已知z+y=l,zW0,y>0,則擊+碧的最小值為

A.2B.C.D.

12.已知a—sinO.1tb—O.09,c=[ln，則

A.c>a>bB.a>cZ>bC.b>c>aD.a>b>c

高三理科數(shù)學(xué)試題第2頁（共4頁）

二、填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.

13.拋物線式=2.(力>0)上一點M(2,小到焦點F的距離|MF|=5,則拋物線的方程

為.

14.若向量”,》滿足|￡!=1,防|=2,。與8的夾角為120°，則。?(2b-a)=.

15.函數(shù)/(x)=?~—COSTCO在1—1,3］上所有零點之和為.

16.在平面四邊形ABCD中,八8=8。=。。=々,8?=八。=2,沿BD將△ABD折起，使得

△ABC與△BAO全等.記四面體ABCD外接球球心到平面ABC的距離為小，四面體

ABCD的內(nèi)切球球心到點A的距離為外，則2的值為.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或推演步驟.

17.(本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列的前三項和為15,等比數(shù)列｛兒>的前三項積為64,且心=仇=2.

(1)求｛%｝和｛6“｝的通項公式；

，a,72為/類｛

(2)設(shè)。=4，求數(shù)列｛c,｝的前20項和.

為偶數(shù)

18.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù),/'(j：)=cos(2x+^-)+sin2j：.

(D求函數(shù)八丈)的最大值和最小正周期；

(2)在銳角△板中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積.若/(y)=-^

且占=居，求VIcosAcosC+S的最大值.

19.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAJ_平面ABCD,底面ABCD滿足AD〃BC,且A￡>=y,

PA=AB=BC=1,三角形PAC的面積為華.除、

⑴畫出平面PAB和平面PCD的交線，并說明理由；>c

(2)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.

1~I)

高三理科數(shù)學(xué)試題第3頁(共4頁)

20.（本小題滿分12分）

“雙十一''期間，某大型商場舉行了“消費領(lǐng)獎”的促銷活動，在規(guī)定的商品中，顧客消費滿200

元（含200元）即可抽獎一次，抽獎方式有兩種（顧客只能選擇其中一種）.

方案一:從裝有5個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球1個，黑球4個）的抽獎盒中，有放

回地摸出2球,每摸出1次紅球，立減100元.

方案二:從裝有10個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球2個，黑球8個）的抽獎盒中，不

放回地摸出2個球,中獎規(guī)則為:若摸出2個紅球，享受免費優(yōu)惠;若摸出1個紅球，1個黑球，則

打5折;若摸出2個黑球，則抵扣現(xiàn)金50元.

（1）某顧客恰好消費200元，選擇抽獎方案一，求他實付現(xiàn)金的分布列和期望；

（2）若顧客消費300元,試從實付金額的期望值分析顧客選擇哪一種抽獎方式更合理？

21.（本小題滿分12分）

若函數(shù)g（2）=ze聶一e'+l.

（D證明：當z>0時,g（z）V0;

（2）設(shè)N?，證明：——'—

請考生在第22—23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.（本小題滿分10分）

以坐標原點為極點,才軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為p=2sinft

（1）求曲線C的直角坐標方程；

⑵若P是C上一動點,4（1,與），8（24）,作線段BP的中垂線交直線AP于點Q,求點Q

L0

的軌跡方程.

23.（本小題滿分10分）

已知函數(shù)/（工）=2|工+1一|2工十3|.

（1）求/（工）的最大值m；

（2）若正數(shù)a,b,c滿足a加=??,證明：!一4+工》行+/一標

abc

高三理科數(shù)學(xué)試題第4頁（共4頁）

樂山市高中2023屆第一次調(diào)查研究考試

理科數(shù)學(xué)參考答案及評分意見

2022.12

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

CBBCCBAACDBA

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.y~~12x；14.—3；15.4；16..

10

三'解答題：本大題共6小題，共70分.

17.解：（1）;等差數(shù)列｛4｝滿足q+%%=5..............................1分

q=2,d=a2—ci\=3,an—3n—\..............................3分

???等比數(shù)列｛a｝滿足6也4=64,.?.仇=4..............................4分

b,一

?.*=2,.?.q=f=2,/.A=2"..............................6分

瓦

(2)由題知｛%｝的前20項

aJra

^20~\3^----bai9+y[b^+y[i\------...................................................................................8分

=2±9.10+21竺二12=2336..............................12分

22-1

71.7

18.解：(1)f(x)=cos(2x4-y)4-sinx

c九.A.兀1-cos2x

=cos2xcos----sin2xsin—+-------------

332

=---sin2x.............................4分

22

二函數(shù)/(X)的最大值為匕無，最小正周期為".................6分

2

(2)V/-(-)=l-2/lsin5=_L,.-.sin5=^i..............................7分

22242

乃

???8為銳角，???8二—.................8分

3

sinZsinCsin5

/.a=2sinA,c=2sinC.

iH

5=—acsinB-——ac=V3sinJsinC?.............................io分

24

V3cosJcosC+5=-^(cosAcosC+sinJsinQ=/cos(4-C)..........................11分

當/=C=工時，原式有最大值百.12分

3

19.解：（1）延長A4、CD交于點E，連接EP，則EP為平面P48和平面PC。的交線.

3分

,：EwAB，ZBu平面/MB,

/?Ee平面PAB.

同理可得Ew平面尸CO.

???Ee平面PABA平面PCD.

平面「48，Pe平面尸CO,

；?0e平面PABA平面PCD.

???E尸為平面尸Z8和平面PC。的交線.................6分

（2）?.?尸/_1平面/8。。，二尸/_1/。，PA工AB

?.?三角形尸/C的面積為"，PA=l,

2

：.LpAxAC=旦,解得/C=J5.從而PC=JJ.

22

又在直角三角形尸Z8中，PA=AB=\,：.PB=6.

在△PBC中,PB=也,BC=\,PC=￡，

：.PB2+BC2=PC2，PBIBC.

?：BCVPA,

BC1平面PAB..............................8分

設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳二面角為0,

：.△PCD在平面PAB上的投影為4PAB,

；45CZ）為直角梯形，由45=3C=1,AD=-,/.f）c=-1

22

;在直角三角形尸4。中，PA=1,AD^-,：.PD=—,

22

?.?在三角形PC。中，由。。=?。=好，PC=V3??,?SAPrD=—.

24

1

,cos3-S*PAB=_2^=2^.

S△0cz），63

彳

二平面PN8與平面PCD所成銳二面角的余弦值為逅.................12分

3

（注：建立空間直角坐標系也可以求解，未說明扣2分.）

20.解：（1）設(shè)實付金額為X元，則X可能取值為0，100,200...............1分

貝1JP（X=O）=（；）2=2,

==1。。）=明）咱=看

尸（X=2OO）=（§2=3，..............4分

則X的分布列為

X0100200

1816

p

252525

1o1zr

E（X）=0x—+100x—+200x—=160（元）................5分

252525

（2）若選方案一，設(shè)摸到紅球的個數(shù)為y,實付金額為夕，則9=300-100丫，

112

由題意得丫~8（2,《），故E（y）=2x1=《.

E（（p）=￡（300-1007）=300-100￡（7）=300-40=260（元）7分

若選方案二，設(shè)實付金額為則J得可能取值為0,150,250.

C21

則尸(4=0)=m=77

45

^=150)=-^^=—,

。45

尸(J=250)=g=里.

10分

%45

則〈的分布列為

0150250

11628

P

454545

=0x—+150x—+250x—?208.9(元)................11分

454540

■E(<p)>E化),

選擇方案二更合理.................12分

21.解:(1),：g(x)=xe2-ex+1,

]-xL]l

g(x)=(—x+l)e^-ex=e^(—x+l-e^x)...............[分

1-x,iL

h(x)=-x+l-e2,則力(x)=5(1_e2)...............2分

,1-X

當x>0口寸，A(x)=-(l-e2)<0...............3分

A(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，故//(x)<//(0)=0...............4分

L,Lik

Ve2>0,g(x)=e2(—x+l-e2)<0.

/.g(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，故g(x)<g(0)=0.

???當x>0時，g(x)<0.5分

2

(2)由(l)可知，當x>0時，xer-er+l<0.

\_

令”>">1,則上式化為20n/—?+1<0

…1,

2In/<t—,t>1.7分

令t=J蟲得

z+1i_1

/.2In說—業(yè)+1).

/.1nt,ieN*.

/1…9分

i+

z+11234n〃+11Z

?.?〉in---=In------------------=ln(〃+1).