2024屆中衛市重點中學高二數學第一學期期末質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標是（）A. B.C. D.2．已知m是2與8的等比中項，則圓錐曲線x2﹣＝1的離心率是（）A.或 B.C. D.或3．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－194．在等差數列中，若，且前n項和有最大值，則使得的最大值n為（）A.15 B.16C.17． D.185．若集合，，則A. B.C. D.6．已知定義在R上的函數滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.7．已知雙曲線的右焦點為，以為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若(為坐標原點)，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.8．早在古希臘時期，亞歷山大的科學家赫倫就發現:光從一點直接傳播到另一點選擇最短路徑，即這兩點間的線段.若光從一點不是直接傳播到另一點，而是經由一面鏡子(即便鏡面是曲面)反射到另一點，仍然選擇最短路徑.已知曲線，且將假設為能起完全反射作用的曲面鏡，若光從點射出，經由上一點反射到點，則（）A. B.C. D.9．已知直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，與C交于A，B兩點，P為C的準線上一點，若的面積為36，則等于（）A.36 B.24C.12 D.610．世界上最早在理論上計算出“十二平均律”的是我國明代杰出的律學家朱載堉，他當時稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它前一個單音的頻率的比都相等，且最后一個單音是第一個單音頻率的2倍.已知第十個單音的頻率，則與第四個單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.22011．根據如下樣本數據，得到回歸直線方程，則x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0A. B.C. D.12．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待18秒才出現綠燈的概率為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為坐標原點，、分別是雙曲線的左、右頂點，是雙曲線上不同于、的動點，直線、與軸分別交于點、兩點，則________14．已知數列滿足，定義使（）為整數的k叫做“幸福數”，則區間內所有“幸福數”的和為_____15．在數列中，若，則該數列的通項公式__________16．已知等差數列中，，，則______________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的首項，且滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）求數列的前n項和.18．（12分）如圖，正方體的棱長為2，點，分別在棱，上運動，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當，分別是棱，的中點時，求平面與平面的夾角的正弦值.19．（12分）已知等差數列中，，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和的最大值.20．（12分）如圖，已知正四棱錐中，O為底面對角線的交點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.21．（12分）已知是各項均為正數的等比數列，且，.（1）求數列的通項公式；（2）數列通項公式為，求數列的前n項和.22．（10分）已知函數在處有極值.（1）求常數a，b的值；（2）求函數在上的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據空間里面點關于面對稱的性質即可求解.【題目詳解】在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點的坐標是.故選：C.2、A【解題分析】利用等比數列求出m，然后求解圓錐曲線的離心率即可【題目詳解】解：m是2與8的等比中項，可得m＝±4，當m=4時,圓錐曲線為雙曲線x2﹣＝1,它的離心率為：,當m=-4時，圓錐曲線x2﹣＝1為橢圓，離心率：，故選：A3、C【解題分析】將所求進行變形可得，根據二項式定理展開式，即可求得答案.【題目詳解】由題意得所以.故選：C4、A【解題分析】由題可得，則，可判斷，，即可得出結果.【題目詳解】前n項和有最大值，，，，，，，使得的最大值n為15.故選：A.【題目點撥】本題考查等差數列前n項和的有關判斷，解題的關鍵是得出.5、A【解題分析】通過解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關系示意圖，可得出選項.【題目詳解】因為，解不等式即，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【題目點撥】本題考查集合間的交集運算，屬于基礎題.6、A【解題分析】構造，應用導數及已知條件判斷的單調性，而題設不等式等價于即可得解.【題目詳解】設，則，∴在R上單調遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A7、A【解題分析】設雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由，可知為的三等分點，用兩種方式表示，可得關于的方程組，結合即可得到雙曲線的離心率.【題目詳解】設雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由到漸近線的距離為，所以，又，所以，因為，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.8、B【解題分析】記橢圓的右焦點為，根據橢圓定義，得到，由題中條件，確定本題的本質即是求的最小值，結合題中數據，即可求出結果.【題目詳解】記橢圓的右焦點為，根據橢圓的定義可得，，所以，因為，當且僅當三點共線時，，即；由題意可得，求的值，即是求最短路徑，即求的最小值，所以的最小值為，因此.故選：B.【題目點撥】思路點睛：求解橢圓上動點到一焦點和一定點距離和的最小值或差的最大值時，一般需要利用橢圓的定義，將問題轉化為動點與另一焦點以及該定點距離和的最值問題來求解即可.9、C【解題分析】設拋物線方程為，根據題意由求解.【題目詳解】設拋物線方程為：，因為直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，所以，又P為C的準線上一點，所以點P到直線AB的距離為p，所以，解得，所以，故選：C10、C【解題分析】依題意，每一個單音的頻率構成一個等比數列，由，算出公比，結合，即可求出.【題目詳解】設第一個單音的頻率為，則最后一個單音的頻率為，由題意知，且每一個單音的頻率構成一個等比數列，設公比為，則，解得：又，則與第四個單音的頻率最接近的是311,故選：C【題目點撥】關鍵點點睛：本題考查等比數列通項公式的運算，解題的關鍵是分析題意將其轉化為等比數列的知識，考查學生的計算能力，屬于基礎題.11、B【解題分析】作出散點圖，由散點圖得出回歸直線中的的符號【題目詳解】作出散點圖如圖所示．由圖可知，回歸直線＝x＋的斜率＜0，當x＝0時，＝＞0.故選B【題目點撥】本題考查了散點圖的概念，擬合線性回歸直線第一步畫散點圖，再由數據計算的值12、B【解題分析】由幾何概型公式求解即可.【題目詳解】紅燈持續時間為40秒，則至少需要等待18秒才出現綠燈的概率為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】求得坐標，設出點坐標，求得直線的方程，由此求得兩點的縱坐標，進而求得.【題目詳解】依題意，設，則，直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.故答案為：14、2036【解題分析】先用換底公式化簡之后，將表示出來，找出滿足條件的“幸福數”，然后求和即可.【題目詳解】當時，，所以，若滿足正整數，則，即，所以在內的所有“幸福數”的和為：,故答案為：2036.15、【解題分析】由已知可得數列是以為首項，3為公比的等比數列，結合等比數列通項公式即可得解.【題目詳解】解：由在數列中，若，則數列是以為首項，為公比的等比數列，由等比數列通項公式可得，故答案為：.【題目點撥】本題考查了等比數列通項公式的求法，重點考查了運算能力，屬基礎題.16、【解題分析】設等差數列的公差為，依題意得到方程，求出公差，再根據等差數列通項公式計算可得；【題目詳解】解：設等差數列的公差為，因為，，所以，所以，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）當為偶數時，；當為奇數時，.【解題分析】（1）根據等比數列的定義進行證明即可；（2）利用分組求和法，結合錯位相減法進行求解即可.【小問1詳解】由題知：所以又因為所以所以數列為以－1為首項，－1為公比的等比數列；【小問2詳解】由（1）知：，所以，，記，所以，當為偶數時，；當為奇數時，；記兩式相減得：，所以，所以，當偶數時，；當為奇數時，.18、（1）證明見解析（2）（3）【解題分析】(1)向量垂直的充要條件是內積為零，建立空間直角坐標系，計算向量內積；(2)利用一元二次函數，求解體積的最大值；(3)利用平面的法向量求二面角的正弦值.【小問1詳解】如下圖所示，以原點，，，所在直線分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，則，，因為，所以，即.【小問2詳解】因為，所以故的最大值為【小問3詳解】設平面的一個法向量，因為此時，，所以由得取，得，，又可取平面的一個法向量，所以故平面與平面的夾角的正弦值.19、（1）；（2）30.【解題分析】（1）設出等差數列的公差，由已知列式求得公差，進一步求出首項，代入等差數列的通項公式求數列的通項公式；（2）利用等差數列求和公式求和,再利用二次函數求得最值即可.【題目詳解】解：（1）由題意得，數列公差為，則解得：,∴（2）由（1）可得，∴∵，∴當或時，取得最大值【題目點撥】本題考查利用基本量求解等差數列的通項公式，以及前n項和及最值，屬基礎題20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解題分析】（1）根據給定條件，利用線面平行的判定推理作答.（2）利用正四棱錐的結構特征，結合線面垂直的判定推理作答.小問1詳解】在正四棱錐中，由正方形得：，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】在正四棱錐中，O為底面對角線的交點，則O是AC，BD的中點，而，，則，，因，平面，所以平面.21、（1）；（2）.【解題分析】（1）設的公比為，利用基本量運算求出公比，可得數列的通項公式；（2）利用錯位相減法計算出數列的前n項和【題目詳解】（1）設的公比為，由題意知：，.又，解得，，所以.（2）.令，則，因此，又，兩式相減得所以.【題目點撥】方法點睛：本題考查等比數列的通項公式，考查數列的求和，數列求和的方法總結如下：

公式法，利用等差數列和等比數列的求和公式進行計算即可；

裂項相消法，通過把數列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數列的和；

錯位相減法，當數列的通項公式由一個等差數列與一個等比數列的乘積