常微分方程初值問題的數值解法第一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日考慮一階常微分方程的初值問題/*Initial-ValueProblem*/:只要f(x,y)在[a,b]R1上連續，且關于y

滿足Lipschitz

條件，即存在與x,y無關的常數L

使對任意定義在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，則上述IVP存在唯一解。（1）第二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日對于問題(1),要求它的數值解第三頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日-----------(1)從(1)的表達式可以看出,求它的數值解的關鍵在于而數值微分或數值積分問題我們都已經學習過第四頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日要計算出解函數y(x)在一系列節點a=x0<x1<…<xn=b

處的近似值節點間距為步長，通常采用等距節點，即取hi=h

(常數)。第五頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日§1歐拉方法

/*Euler’sMethod*/

歐拉公式：x0x1向前差商近似導數記為亦稱為歐拉折線法

/*Euler’spolygonalarcmethod*/

第六頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日定義

在假設yi=y(xi)，即第

i

步計算是精確的前提下，考慮的截斷誤差Ri=y(xi+1)

yi+1稱為局部截斷誤差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該算法有p

階精度。

歐拉法的局部截斷誤差：歐拉法具有1階精度。Ri

的主項/*leadingterm*/第七頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日例1.解:由前進Euler公式第八頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日得依此類推,有

01.00000.10001.10000.20001.19180.30001.27740.40001.35820.50001.43510.60001.50900.70001.58030.80001.64980.90001.71781.00001.7848第九頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日

歐拉公式的改進：隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導數x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii第十頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日由于未知數yi+1

同時出現在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。一般先用顯式計算一個初值，再迭代求解。隱式歐拉法的局部截斷誤差：即隱式歐拉公式具有1階精度。

Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltruncationerrorofEuler’smethod?Seemsthatwecanmakeagooduseofit…第十一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日梯形公式/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：的確有局部截斷誤差，即梯形公式具有2

階精度，比歐拉方法有了進步。但注意到該公式是隱式公式，計算時不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。第十二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日方法顯式歐拉隱式歐拉梯形公式簡單精度低穩定性最好精度低,計算量大精度提高計算量大

Can’tyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?

Doyouthinkitpossible?

Well,callmegreedy…

OK,let’smakeitpossible.第十三頁，共十四頁，編輯于2023年，星期日改進歐拉法

/*modifiedEuler’smethod*/Step1:

先用顯式歐拉公式作預測，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦稱為預測-校正