2022-2023學(xué)年福建省南平市職業(yè)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知一組函數(shù)fn（x）=sinnx+cosnx，x∈[0，]，n∈N*，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①?n∈N*，fn（x）≤恒成立②若fn（x）為常數(shù)函數(shù)，則n=2③f4（x）在[0，]上單調(diào)遞減，在[，]上單調(diào)遞增．A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；簡易邏輯．【分析】①x∈[0，]，可得fn（x）=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=，即可判斷出正誤；②當(dāng)n=1時(shí)，f1（x）=sinx+cosx，不是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)n=2時(shí)，f2（x）=sin2x+cos2x=1為常數(shù)函數(shù)，當(dāng)n≠2時(shí)，令sin2x=t∈[0，1]，則fn（x）=+=g（t），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出正誤；③利用平方關(guān)系、倍角公式可得：f4（x）=+，即可判斷出其單調(diào)性．【解答】解：①∵x∈[0，]，∴fn（x）=sinnx+cosnx≤sinx+cosx=≤，因此正確；②當(dāng)n=1時(shí)，f1（x）=sinx+cosx，不是常數(shù)函數(shù)；當(dāng)n=2時(shí)，f2（x）=sin2x+cos2x=1為常數(shù)函數(shù)，當(dāng)n≠2時(shí)，令sin2x=t∈[0，1]，則fn（x）=+=g（t），g′（t）=﹣=，當(dāng)t∈時(shí)，g′（t）＜0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t∈時(shí)，g′（t）＞0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增加，因此函數(shù)fn（x）不是常數(shù)函數(shù)，因此②正確．③f4（x）=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣==+，當(dāng)x∈[0，]，4x∈[0，π]，因此f4（x）在[0，]上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈[，]，4x∈[π，2π]，因此f4（x）在[，]上單調(diào)遞增，因此正確．綜上可得：①②③都正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、倍角公式、平方公式、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2.若直線：被圓C：截得的弦最短，則直線的方程是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D3.若圓關(guān)于直線對稱，則雙曲線的漸近線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由題意得圓心在直線上,即所以雙曲線的漸近線方程為,選C.4.已知等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的公差d=(

）A．0

B．1

C．-1

D．2參考答案：B，，，可得，故選B.

5.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，在平面區(qū)域上取一點(diǎn)，則使取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是A.

B.

C.

D.參考答案：B垂直軸，取得最小值2，此時(shí)點(diǎn)，故選B.6.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A.

的圖像關(guān)于直線對稱

B.

的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱C.

把的圖像向左平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像D.

的最小正周期為，且在上為增函數(shù)參考答案：C7.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為

A．0.5小時(shí)

B．1小時(shí)

C．1.5小時(shí)D．2小時(shí)參考答案：D略8.三個(gè)數(shù)的大小順序是

(

）A．

B．C．

D．參考答案：A9.如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】異面直線的判定．【分析】利用一面直線的定義和正方體的性質(zhì)，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)中的2條直線的位置關(guān)系，把滿足條件的選項(xiàng)找出來．【解答】解：A中的PQ與RS是兩條平行且相等的線段，故選項(xiàng)A不滿足條件．B中的PQ與RS是兩條平行且相等的線段，故選項(xiàng)B也不滿足條件．D中，由于PR平行且等于SQ，故四邊形SRPQ為梯形，故PQ與RS是兩條相交直線，它們和棱交與同一個(gè)點(diǎn)，故選項(xiàng)D不滿足條件．C中的PQ與RS是兩條既不平行，又不相交的直線，故選項(xiàng)C滿足條件．故選C10.下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D根據(jù)奇偶性定義知，A、C為偶函數(shù)，B為奇函數(shù)，D定義域?yàn)椴魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為

.參考答案：12.已知拋物線有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的交點(diǎn)，且AF軸，則雙曲線的離心率為

．參考答案：13.根據(jù)如圖所示的偽代碼，最后輸出的的值為

.參考答案：略14.設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x|＋bx＋c，給出下列四個(gè)命題：①c＝0時(shí)，y＝f(x)是奇函數(shù)；②b＝0，c>0時(shí)，方程f(x)＝0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；③y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，c)對稱；④方程f(x)＝0最多有兩個(gè)實(shí)根．其中正確的命題是________(寫出序號(hào))．參考答案：①②③15.設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為______．參考答案：考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì).16.若關(guān)于，的不等式組（是常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的邊界是一個(gè)直角三角形，則

.參考答案：或先做出不等式對應(yīng)的區(qū)域，陰影部分。因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且不等式表示的區(qū)域在直線的下方，所以要使所表示的平面區(qū)域是直角三角形，所以有或直線與垂直，所以，綜上或。17.給出下列命題中

①向量的夾角為； ②為銳角的充要條件； ③將函數(shù)的圖象按向量平移，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為； ④若為等腰三角形； 以上命題正確的是

（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）參考答案：3;

4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，、分別是、的中點(diǎn)．（1）判定與是否垂直，并說明理由。（2）設(shè)，若為上的動(dòng)點(diǎn)，若面積的最小值為，求四棱錐的體積。參考答案：(1)---------------------------------------------------------1分

因?yàn)樗倪呅问橇庑危瑸榈冗吶切巍Ｒ驗(yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，-----------2分平面，---------3分

,且-----------------------------5分-------------------------------------------------------------6分（2）由（1），，為直角三角形，----------7分中，，當(dāng)最短時(shí)，即時(shí)，面積的最小-------8分此時(shí)，．又，所以，

所以．------------------10分--------------------------------------------12分略19.已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.參考答案：（I）由題意函數(shù)的定義域?yàn)椋遥院瘮?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即（II）令得（舍）列表：增極大值負(fù)綜上所述：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，無極小值.略20.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸為非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓C的普通方程與極坐標(biāo)方程；（2）若直線l的極坐標(biāo)方程為，求圓C上的點(diǎn)到直線l的最大距離.參考答案：解：（1）圓的圓心為，半徑，則普通方程為，其極坐標(biāo)方程為，即（2）由得，化為，即，圓心到直線的距離為，故圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為.

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）證明：當(dāng)，且時(shí)，．參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.即當(dāng)，且時(shí)，，所以當(dāng)，且時(shí)，．………………12分考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及求導(dǎo)法則的運(yùn)用,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析問題解決問題的能力．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和最值方面的運(yùn)用的問題,這類問題的設(shè)置重在考查導(dǎo)數(shù)的工具作用.解答這類問題是,一要依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值就切線的斜率;再一個(gè)就是切點(diǎn)既在切線上也在曲線上,這兩點(diǎn)是解決曲線的切線這類問題所必須掌握的基本思路.本題的第二問設(shè)置的是不等式的證明問題,求解時(shí)先將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再構(gòu)造函數(shù),然后通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)最值的分類研究,最后達(dá)到了證明不等式的目的.22.（14分）對于數(shù)列，定義為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中.（Ⅰ）若數(shù)列的通項(xiàng)公式，求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列的首項(xiàng)是1，且滿足.①設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②求的前n項(xiàng)和.參考答案：解析：(Ⅰ)依題意，∴