2021年河北省廊坊市霸州石城中學高三數學理聯考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“a=2”是“直線x+y=0與直線2x﹣ay=0互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡易邏輯．【分析】若直線垂直，斜率之積是﹣1，求出a的值，再結合充分必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：由直線x+y=0與直線2x﹣ay=0互相垂直，得：（﹣1）?=﹣1，解得：a=2，∴“a=2”是“直線x+y=0與直線2x﹣ay=0互相垂直”的充要條件，故選：C．【點評】本題考察了直線互相垂直的性質，考察充分必要條件，是一道基礎題．2.已知拋物線y2=2x上一點A到焦點F的距離與其到對稱軸的距離之比為9：4，且|AF|＞2，點A到原點的距離為（）A． B．4 C．4 D．8參考答案：B【考點】拋物線的簡單性質．【分析】設點A的坐標為（x1，y1），求出拋物線的準線方程，結合拋物線的定義建立方程關系進行求解，求得A點坐標，利用兩點之間的距離公式即可求得A到原點的距離．【解答】解：假設A在第一象限，A（x1，y1），（x1＞0，y1＞0），y12=2x1，拋物線y2=2x的準線方程為x=﹣，根據拋物線的定義，點A到焦點的距離等于點A到準線的距離，由|AF|=a+＞2，則a＞，則A到對稱軸的距離d=y1，∵點A到焦點F的距離與其到對稱軸的距離之比為9：4，∴=，∴解得：x1=，y1=，則點A到原點的距離丨OA丨===4，A到原點的距離4，故選：B．【點評】本題主要考查拋物線性質和定義的應用，利用拋物線的定義建立方程關系是解決本題的關鍵，考查計算能力，屬于中檔題．3.已知集合，，為實數集，則=(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.已知

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A5.經過曲線處的切線方程為A．x+2y一1=0

B．2x+y一1=0

C．x—y+1=0 D．x+y一1=0參考答案：D6.設命題p：若定義域為R的函數f（x）不是偶函數，則?x∈R，f（﹣x）≠f（x）．命題q：f（x）=x|x|在（﹣∞，0）上是減函數，在（0，+∞）上是增函數．則下列判斷錯誤的是（）A．p為假 B．￢q為真 C．p∨q為真 D．p∧q為假參考答案：C【考點】復合命題的真假．【分析】分別判斷出p，q的真假，從而判斷出復合命題的真假即可．【解答】解：函數f（x）不是偶函數，仍然可?x，使f（﹣x）=f（x），故p為假；f（x）=x|x|=在R上都是增函數，q為假；故p∨q為假，故選：C．【點評】本題考查了復合命題的真假，判斷函數的單調性．是一道基礎題．7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與雙曲線右支交于兩點（在第四象限），若是為直角頂點的等腰直角三角形，設該雙曲線的離心率為，則為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A8.已知函數則函數的零點個數是（

）A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：A略9.已知平面向量，，那么等于（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B10.已知f(x)=sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值為A，若存在實數x1、x2，使得對任意實數x總有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，則A|x1﹣x2|的最小值為（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】先化簡，得，根據題意即求半個周期的A倍．【詳解】解：依題意,，，，，的最小值為，故選C．【點睛】本題考查了正弦型三角函數的圖像與性質，考查三角函數恒等變換，屬中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設，，則

的值為

.參考答案：3略12.已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，則a與b的夾角為________．參考答案：13.命題的否定為__________參考答案：14.正三棱錐A－BCD內接于球O，且底面邊長為，側棱長為2，則球O的表面積為____

．參考答案：如圖3，設三棱錐的外接球球心為O，半徑為r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M為正的中心，則DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以.15.在的展開式中有項為有理數．參考答案：9【考點】二項式系數的性質．【分析】利用通項公式即可得出．【解答】解：通項公式：Tr+1==（﹣1）r××．當與都為整數且25為整數時，Tr+1為有理數，則r=0，6，12，18，24，30，36，42，48．∴展開式中有9項為有理數．故答案為：9．16.曲線在點處的切線方程為

.參考答案：5.已知ABC的內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，則角C的大小是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖,已知點，點P在圓C：上，點M在AP上，點N在CP上，且滿足AM=MP，NM⊥AP，設點N的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)過原點且斜率為k（k>0)的直線交曲線E于G、F兩點，其中G在第一象限，它在y軸上的射影為點Q，直線FQ交曲線E于另一點H，證明：GH⊥GF.參考答案：（Ⅰ）NM為AP的垂直平分線，∴|NA|=|NP|，又∵|CN|+|NP|=，∴|CN|+|NA|=>2.∴動點N的軌跡是以點，為焦點的橢圓，………3分且長軸長，焦距，∴，∴曲線E的方程為.…………5分（Ⅱ）設G(x1，kx1)，H(x2，y2)，則F(－x1，－kx1)，Q(0，kx1)，直線FQ的方程為y＝2kx＋kx1，將其代入橢圓E的方程并整理可得(2＋4k2)x2＋4k2x1x＋k2x12－2＝0.依題意可知此方程的兩根為－x1，x2，于是由韋達定理可得－x1＋x2＝，即.因為點H在直線FQ上，所以y2－kx1＝2kx2＝.…………9分于是＝(－2x1，－2kx1)，＝(x2－x1，y2－kx1)＝(，)．而等價于.…………………12分

略19.已知向量。（1）求的最小正周期和單調減區間；（2）將函數的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為，若，求的值.參考答案：（1）；（2）.試題分析：（1）由向量的數量積可得：.由此即可得其周期和單調減區間；

（2）將函數的圖象向右平移個單位，則將換成，所得函數為；將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，則將換成，所得函數為，即.由題設可求得；由題設可求得；又由正弦定理即可求得的值.試題解析：（1）..由得：，所以的單調減區間為：.（2）將函數的圖象向右平移個單位，所得函數為，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，所得函數為，即.由題設得：.又.由正弦定理得：.考點：1、向量及三角函數；2、正弦定理.20.以坐標原點O為極點，O軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ=2（sinθ+cosθ+）．（1）寫出曲線C的參數方程；（2）在曲線C上任取一點P，過點P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，求矩形OAPB的面積的最大值．參考答案：【考點】參數方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；坐標系和參數方程．【分析】（1）由極坐標化為標準方程，再寫出參數方程即可，（2）可設點P的坐標為（1+2cosθ，1+2sinθ），表示出矩形OAPB的面積為S，再設t=sinθ+cosθ，根據二次函數的性質即可求出答案．【解答】解：（1）由得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），所以x2+y2=2x+2y+2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故曲線C的參數方程（θ為參數）．（2）由（1）可設點P的坐標為（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈21.（本小題滿分12分）已知函數，且對于任意實數，恒有。（1）求函數的解析式；（2）已知函數在區間上單調，求實數的取值范圍；（3）函數有幾個零點？參考答案：（1）由題設得，，則，所以

所以對于任意實數恒成立.故…………..3分（2）由，求導數得，在上恒單調，只需或在上恒成立，即或恒成立，所以或在上恒成立…………………6分記，可知：，或……….8分（3）令，則.令，則，列表如下.01+0—0+0—遞增極大值遞減極小值1遞增極大值遞減時，無零點；或時，有兩個零點；時有三個零點；時，有四個零點…………12分22.（本小題滿分12分）已知函數f(x)＝ax2＋2x＋c(a、c∈N*)滿足：①f(1)＝5；②6<f(2)<11.(1)求a、c的值；(2)若對任意的實數x∈，都有f(x)－2mx≤1成立，求實數m的取值范圍.參考答案：解：(1)∵f(1)＝a＋2＋c＝5，∴c＝3－a.①又∵6<f(2)<11，即6<4a＋c＋4<11，②將①式代入②式，得－<a<，又∵a、c∈N*，∴a＝1，c＝2.(2)由(1)知f(x)＝x2＋2x＋2