高中導數題型總結高中導數題型總結

高中導數題型總結

題型一：求函數的導數(1)y5x4(2)y

(5)y2x33x5(6)yexcosx(7)y2x3lnx4(8)yxex

x23xlnxx2(9)yxlnx(10)y(11)ye(x1)(12)y

x1x1(3)yxx(4)y2sinx

題型二：求函數在某點處的導數

(1)求f(x)exx2在x0處的導數；(2)求y2lnx

(3)已知f(x)f(1)x2x3，則f(1)_________；(4)已知f(x)2f(3)lnxx，則f(3)_________.

題型三：導數的物理意義的應用

2已知物體的運動方程為s3t2（t是時間，s是位移），則物體在時刻t2時的速度為．

t題型四：導數與切線方程（導數的幾何意義的應用）

1.曲線yx3x2在點A(2,8)處的切線的斜率為______,切線方程是．2.若B(1,m)是yx3x2上的點，則曲線在點B處的切線方程是_________．3.若yx3x2在P處的切線平行于直線y7x1，則點P的坐標是_____．

x24.若y3lnx的一條切線垂直于直線2xym0，則切點坐標為______．

41在x1處的導數；x5.已知曲線yx1在(3,2)處的切線與axym0垂直，則a．x16.已知直線yxm與曲線yx3x21相切，則切點P的坐標為___________,m的值為_________．7.若曲線yh(x)在點（a,h(a)）處切線方程為2xy10，那么（）A．h(a)0B.h(a)0C.h(a)0D.h(a)的符號不定

8.曲線yx33x26x4的全部切線中,斜率最小的切線的方程是_____________．9.求曲線ylnx過點(0,1)的切線方程．10.求曲線yx2滿意下列條件的切線方程.(1)在點(1,1)處；(2)過點(1,0)處

題型四：導數與單調區間

1.函數f(x)x33x21的減區間為．2.函數yxex(x0)的單調遞增區間為．3.推斷函數yxcosxsinx在下面哪個區間內是增函數（）

3A.(,)B.(,)C.(,2)D.(0,)

22224.已知函數f(x)的導函數f(x)ax2bxc的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是()

題型五：導數與極值、最值

1.函數yx312x5在x時取得極大值；在x時取得微小值．2.函數f(x)x32x23在上的最大值是，最小值是．3.函數yxx(x0)的最大值為．4.函數yxex的最小值為．

5.函數f(x)x3ax24xb在x2時取得極值1,則a，b

6.已知f(x)2x36x2a(a為常數)在上有最大值是3,那么在上的最小值是．

7.若f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有微小值，求a的取值范圍為______________．

題型六:導數與零點，恒成立問題

1.推斷函數f(x)log2(x2)x在上是否存在零點？

42.已知x，且ax34x21恒成立，則a的最大值為．

36.已知函數yx32x2mx在區間(0,1)上為減函數,則m的取值范圍是___________．

7.已知函數ylnx2ax2在區間上為增函數,則a的取值范圍是___________

8.已知函數yx3ax2在區間上為減函數,則a的取值范圍是___________

9.已知函數yexx2ax在區間上為減函數,則a的取值范圍是___________

10.已知函數yax2lnx在區間上為增函數,則a的取值范圍是___________

111.已知函數f(x)x3x22xc，若對于x，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范圍．

212.若函數f(x)x33xa有3個不同的零點，求實數a的取值范圍．5.是否存在實數m，使得函數f(x)x28x與g(x)6lnxm的圖像有且只有三個不同的交點？若存在求出m的范圍，若不存在說明理由．

（備用）已知函數y3x32x21在區間(m,0)上為減函數,則m的取值范圍是__________．

題型七：綜合應用題

1.已知x1是函數f(x)mx33(m1)x2nx1(m0)的一個極值點,(1)求m與n的關系式；(2)求f(x)的單調區間；

(3)當x時,函數yf(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m,求m的取值范圍．

擴展閱讀：高中數學導數學問點歸納總結及例題

導數

考試內容：

導數的背影．導數的概念．多項式函數的導數．利用導數討論函數的單調性和極值．函數的最大值和最小值．考試要求：（1）了解導數概念的某些實際背景．（2）理解導數的幾何意義．（3）把握函數，y=c(c為常數)、y=xn(n∈N+)的導數公式，會求多項式函數的導數．（4）理解極大值、微小值、最大值、最小值的概念，并會用導數求多項式函數的單調區間、極大值、微小值及閉區間上的最大值和最小值．（5）會利用導數求某些簡潔實際問題的最大值和最小值．

14.導數學問要點導數的概念導數的幾何意義、物理意義常見函數的導數導數的運算法則函數的單調性函數的極值函數的最值導數導數的運算導數的應用1.導數（導函數的簡稱）的定義：設x0是函數yf(x)定義域的一點，假如自變量x在x0處有增量x，則函數值y也引起相應的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；假如極限xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數yf(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做limx0xx0xlim記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limyf(x)在x0處的導數，

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注：①x是增量，我們也稱為“轉變量”，由于x可正，可負，但不為零.

②以知函數yf(x)定義域為A，yf"(x)的定義域為B，則A與B關系為AB.2.函數yf(x)在點x0處連續與點x0處可導的關系：

⑴函數yf(x)在點x0處連續是yf(x)在點x0處可導的必要不充分條件.可以證明，假如yf(x)在點x0處可導，那么yf(x)點x0處連續.事實上，令xx0x，則xx0相當于x0.

1

于是limf(x)limf(x0x)lim

xx0x0x0limlimlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xxy|x|，當x＞0時，xx⑵假如yf(x)點x0處連續，那么yf(x)在點x0處可導，是不成立的.例：f(x)|x|在點x00處連續，但在點x00處不行導，由于yyy不存在.1；當x＜0時，1，故limx0xxx注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.

3.導數的幾何意義：

函數yf(x)在點x0處的導數的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為

yy0f"(x)(xx0).

4.求導數的四則運算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必需是可導函數.

②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不行導，則它們的和、差、

積、商不肯定不行導.例如：設f(x)2sinx22，g(x)cosx，則f(x),g(x)在x0處均不行導，但它們和xxf(x)g(x)sinxcosx在x0處均可導.

5.復合函數的求導法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.

6.函數單調性：

⑴函數單調性的判定方法：設函數yf(x)在某個區間內可導，假如f"(x)＞0，則yf(x)為增函數；假如f"(x)＜0，則yf(x)為減函數.⑵常數的判定方法；

假如函數yf(x)在區間I內恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數.

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必

2

要條件.

②一般地，假如f（x）在某區間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區間上照舊是單調增加（或單調削減）的.7.極值的判別方法：（極值是在x0四周全部的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數f(x)的極大值，微小值同理）

當函數f(x)在點x0處連續時，

①假如在x0四周的左側f"(x)＞0，右側f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②假如在x0四周的左側f"(x)＜0，右側f"(x)＞0，那么f(x0)是微小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側導數異號，而不是f"(x)=0.此外，函數不

①可導的點也可能是函數的極值點.當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比微小值小（函數在某一點四周的點不同）.

②注①：若點x0是可導函數f(x)的極值點，則f"(x)=0.但反過來不肯定成立.對于可導函數，其一點x0是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.例如：函數yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點.

②例如：函數yf(x)|x|，在點x0處不行導，但點x0是函數的微小值點.

8.極值與最值的區分：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區間上對函數值進行比較.注：函數的極值點肯定有意義.9.幾種常見的函數導數：

"I.C"0（C為常數）(sinx)cosx(arcsinx)"11x2

(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx(arccosx)"11x2

1"11"(arctanx)II.(lnx)(logax)logae

xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccotx)"III.求導的常見方法：①常用結論：(ln|x|)"1x21

(xa1)(xa2)...(xan)1.②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y兩

(xb1)(xb2)...(xbn)x邊同取自然對數，可轉化求代數和形式.

③無理函數或形如yxx這類函數，如yxx取自然對數之后可變形為lnyxlnx，對兩邊

y"1lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.求導可得yx3

導數中的切線問題

例題1：已知切點，求曲線的切線方程

曲線yx33x21在點(1，1)處的切線方程為（）

例題2：已知斜率，求曲線的切線方程

與直線2xy40的平行的拋物線yx2的切線方程是（）

留意：此題所給的曲線是拋物線，故也可利用法加以解決，即設切線方程為y2xb，代入yx2，得x22xb0，又由于0，得b1，故選Ｄ．

例題3：已知過曲線上一點，求切線方程

過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法．求過曲線yx32x上的點(1，1)的切線方程．

例題4：已知過曲線外一點，求切線方程

1求過點(2，0)且與曲線y相切的直線方程．

x4

練習題：已知函數yx33x，過點A(016)，作曲線yf(x)的切線，求此切線方程．看看幾個高考題

1.（201*全國卷Ⅱ）曲線yx在點1,1處的切線方程為2x122.（201*江西卷）設函數f(x)g(x)x，曲線yg(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y2x1，則曲線yf(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為

3.（201*寧夏海南卷）曲線yxe2x1在點（0,1）處的切線方程為。4.（201*浙江）（本題滿分15分）已知函數f(x)x(1a)xa(a2)xb(a,bR)．（I）若函數f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是3，求a,b的值；5.（201*北京）（本小題共14分）

設函數f(x)x3axb(a0).

（Ⅰ）若曲線yf(x)在點(2,f(x))處與直線y8相切，求a,b的值；

332x.1函數的單調性和導數

1．利用導數的符號來推斷函數單調性:一般地，設函數yf(x)在某個區間可導，

假如在這個區間內f(x)0，則yf(x)為這個區間內的；假如在這個區間內f(x)0，則yf(x)為這個區間內的。2．利用導數確定函數的單調性的步驟：

(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求出函數的導數；

(3)解不等式f(x)＞0，得函數的單調遞增區間；解不等式f(x)＜0，得函數的單調遞減區間．

5""

a)b)確定函數f(x)=2x3－6x2+7在哪個區間內是增函數，哪個區間內是減函數.

1．確定下列函數的單調區間(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x3

２．已知函數f(x)xlnx，則（）

A．在(0,)上遞增B．在(0,)上遞減

求證：yx1在(,0)上是增函數。

311ee32３．函數f(x)x3x5的單調遞增區間是_____________．

C．在0,上遞增D．在0,上遞減

6

函數圖象及其導函數圖象31.函數yf(x)在定義域(,3)內可導，其圖象如

2圖，記yf(x)的導函數為yf(x)，則不等式f(x)0的解集為_____________2.函數f(x)的定義域為開區間(//3,3)，導函數2yf(x)

3f(x)在(,3)內的圖象如圖所示，則函數f(x)2的單調增區間是_____________

3.如圖為函數f(x)ax3bx2cxd的圖象，f"(x)為函數

f(x)的導函數，則不等式xf"(x)0的解集為______

-3yo3x

4.若函數f(x)xbxc的圖象的頂點在第四象限，則其導函數f"(x)的圖象是（）

25.函數yf(x)的圖象過原點且它的導函數f"(x)的圖象是如圖所示的一

條直線，則yf(x)圖象的頂點在（）

A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限6.(201*年廣東佛山)設f(x)是函數f(x)的導函數,yf(x)的圖象如右圖所示，則yf(x)的圖象最有可能的是（）

yyy2yyf(x)

yO12xO12A

xO12B

xO1CxO12Dx7.設函數f(x)在定義域內可導，y=f(x)的圖象如下左圖所示，則導函數y=f(x)的圖象可能

為()

7

8.（安微省合肥市201*年高三其次次教學質量檢測文科）函數yf(x)的圖像如下右圖

所示，則yf(x)的圖像可能是

（）9.(201*年3月廣東省深圳市高三班級第一次調研考試文科)已

yox(x)ax2bxc的圖象如右圖，則知函數f(x)的導函數ff(x)的圖象可能是()

10.（201*年浙江省寧波市高三“十校”聯考文科）如右圖所示是某一

容器的三視圖，現向容器中勻速注水，容器中水面的高度h隨時間t變化的可能圖象是（）hhhOtOtO

(A)(B)(C)

正視圖側視圖h俯視圖tOt"(D)

11.(201*廣州二模文、理)已知二次函數fx的圖象如圖1所示,則其導函數f象大致外形是（）

x的圖

8

12.（201*湖南卷文）若函數yf(x)的導函數在區間上是增函數，則函數yf(x)．．．

在區間上的圖象可能是yyy

()yoabxoA．B．C．D．

aobxa

obxa

bx13.（福建卷11）假如函數yf(x)的圖象如右圖，那么導

函數yf(x)的圖象可能是()

14.（201*年福建卷12)已知函數y=f(x),y=g(x)的導函數的圖象如下圖，那么

y=f(x),y=g(x)的圖象可能是（）

15.(201*珠海一模文、理)設f"(x)是函數f(x)的導函數，將yf(x)和yf"(x)的圖

像畫在同一個直角坐標系中，不行能