PAGE1PAGE《24.2.2切線長定理》教學設計教學目標：（1）、知識技能目標：了解切線長的定義，掌握切線長定理，并利用它進行有關的計算；在運用切線長定理的解題過程中，進一步滲透方程的思想，熟悉用代數的方法解幾何題。（2）、數學思考目標：經歷畫圖、度量、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，培養學生有條理地、清晰地闡述自己的觀點的能力。（3）、解決問題目標：初步學會從數學的角度提出問題、理解問題，并能運用所學的知識和技能解決問題，發展應用意識。在解題中形成解決問題的基本策略，體驗問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神。（4）、情感與態度目標：了解數學的價值，對數學有好奇心與求知欲，在數學學習活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。教學重點：理解切線長定理教學難點：應用切線長定理解決問題教學方法：教學方法采用引導發現法，輔之以討論法。利用“問題情境——建立數學模型——解釋、應用、拓展”的模式進行教學。本節課是概念、定理、解題的教學，因此，要利用概念模式元、定理教學模式元、解題教學模式元的有機組合，完成本節課的教學。教學手段為了提高課堂教學效率，激發學生學習興趣，培養學生空間想象力，本節課采用的是直觀教學手段，充分利用多媒體和自制教具的演示使數學知識形象化，便于學生理解和掌握。教具：多媒體計算機、圓規、三角板、籃球、折紙學具：三角板、圓規、折紙教學過程：一、復習回顧：1.一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點.2.切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.3.切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.二、激發情趣導入新課同學們，請看這是什么玩具？（籃球）對，這是大家非常喜愛的一種玩具。（教師演示一次）可是，我們在打完籃球后一個習慣性的動作，還包含著怎樣的數學知識呢？是什么知識呢？從中你能抽象出什么樣的數學圖形？（籃球可抽象成圓形，另外可以抽象為兩條直線，并且與圓相切。）設計意圖：吸引學生的注意力，激發學生的求知欲，同時也使學生意識到數學知識廣泛存在于日常生活之中。此時教師又引導學生說出線段的特征，不失時機地引入新課，板書課題。為了研究的方便，我們可以看出，球與肩部的距離就決定于這條線段的長度。在幾何中，我們把滿足上述特征的線段的長叫做點到圓的切線長，這節課我們就來研究切線長的有關知識。（一）、切線長定義1、板書定義：在經過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.提出問題：切線和切線長有什么區別和聯系？1.切線是一條與圓相切的直線，不可度量；2.切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量設計意圖：教師在板書定義之后，通過對話交往，引導學生把對概念的感性認識上升到理性認識，然后在圖形中進行識別，從而認識概念的本質特征，理解概念的外延。也使學生了解切線長與切線的關系，同時由這個結論教師適時引出探索問題。(二）、探究切線長定理問題2：如圖，過圓外一點P有兩條直線PA，PB分別與⊙O相切，圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關系？猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO驗證1：請同學們可在一張半透明的紙上畫出這個圖形，沿直線PO將圖形對折.驗證2：可對PA與PB，∠APO與∠BPO進行長度和角度的測量.（利用幾何畫板演示）驗證3：能否用所學的理論知識證明PA=PB，∠APO=∠BPO.師生活動：學生先自主探究，再寫出推理過程，教師再進行引導，點撥，點評。分析：1.PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點，則必然會有垂直于過切點的半徑.所以連接OA，OB,并由此可知OA=OB，∠OAP=∠OBP=90°.2.證明線段相等，角相等一般的都是利用三角形全等這一理論.只要證明：Rt△AOP≌Rt△BOP，問題就解決了.證明：連接OA和OB.∵PA和PB是⊙O的兩條切線.∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA=OB，OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB，∠APO=∠BPO.(∠POA=∠POB)由此，我們得到切線長定理：由圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。（同時，平分兩條對應半徑的夾角.）幾何語言：∵PA和PB為⊙O的兩條切線，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.反思：切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關系提供了理論依據。必須掌握并能靈活應用。設計意圖：定理教學的方式是學生自主探索，相互交流相結合。首先出示探索步驟的前三個，等學生猜想出結論后，再明確僅憑觀察、動手折疊、猜想并不能說明結論的正確性，還需證明結論的正確性，同時激勵學生尋找證明猜想的途徑，培養學生合情推理能力、語言表達能力，在整個過程中，教師相應地進行板書。大膽添線（1）

（2）

（3）

（4）圖（1）中，有什么結論？

圖（2）中，連結AB，增加了什么結論？

圖（3）中，再連結OP，增加了什么結論？《用一用》已知：如圖，P為⊙O外一點，PA，PB為⊙O的切線，A和B是切點，BC是直徑。求證：AC∥OP。

圖（4）中，再連結OA，OB。又增加了什么結論？（1）寫出圖中所有相等的線段（2）寫出圖中所有相等的弧（3）寫出圖中所有的垂直關系（4）寫出圖中所有的等腰三角形（5）寫出圖中所有的全等三角形搶答1、填空：如圖3，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，（1）若PB=12，PO=13，則AO=＿＿＿.（2）若PO=10，AO=6，則PB=＿＿＿；（3）若PA=4，AO=3，則PO=＿＿＿；PD=＿＿；2、已知如圖4，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，PO與⊙O相交于點D，且PA=4cm,PD=2cm.求半徑OA的長.圖4設計意圖：2題與1題不同，不能用算術方法直接得出答案，需要設未知數列方程來解決，這是用代數的方法來解決幾何題。（滲透方程思想）。拓展應用1：已知：如圖5，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、（1）圖中共有幾對相等線段？（2）若AD=4，BC=5，CF=6，則△ABC的周長是＿＿；（3）若AB=4，BC=5，AC=6，則AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿.設計意圖：前面我們所探索的有關切線長的知識是在給出圓的兩條切線的情況下得出的，那么要是圓的三條切線兩兩相交，又會有什么樣的結論呢？拓展應用2例2：如圖△ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D,E,F,且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm,求AF,BD,CE的長.師生活動：教師引導學生進行分析，解答分析：AF=AE，BF=BD，CD=CE又AF+BF=AB,CE+AE=AC，∴BD=BF=AB-AF,CD=CE=AC-AE=AC-AF∵BD+CD=BC∴（AB-AF）+（AC-AF）=BC∴（9-AF）+（13-AF）=14，即可求出AF,再求出BD，CE.解：∵△ABC的內切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，∴AF=AE，BF=BD，CD=CE又AF+BF=AB,CE+AE=AC，∴BD=BF=AB-AF,CD=CE=AC-AE=AC-AF∵BD+CD=BC∴（AB-AF）+（AC-AF）=BC，[來源:學*科*網Z*X*X*K]即（9-AF）+（13-AF）=14，解得AF=4設計意圖：會利用定理進行有關的計算，在本題中，進一步滲透方程思想，熟悉用代數的方法解決幾何題。讓兩名學生用不同方法求解，并說明方法的合理性，比較方案的簡潔性，最后由學生完成，達到一題多解得目的。拓展3：如圖，P是⊙O外一點，PA、PB分別和⊙O切于A、B兩點，PA=12cm，C是劣弧AB上任意一點，過點C作⊙O的切線，分別交PA、PB與點D、E，求：△PDE的周長；設計意圖，通過在上個題目的基礎上平移切線DE，強化切線長定理的應用，熟悉基本圖形的變式，加強對數形結合的應用。四、課堂小結通過這節課的學習，你有什么收獲？知識點：切線長定理及應用切線與切線長的區別數學思想和方法:(1)方程思想(2)數形結合思想3)解決一個數學問題,常要通過”動手實踐””猜想””驗證猜想(證明)””得出結論”(4)多題歸一思想設計意圖：此環節讓學生歸納知識點和思想方法，在于培養學生歸納概括能力，把知識納入系統，便于學生存儲、提取和應用。五、作業布置:習題24.25、12、14《24.2.2切線長定理（1）》學情分析本節課的教學對象是九年級學生，他們的參與意識強，思維活躍，對于真實情境及現實生活中的數學問題具有極大的學習興趣，而且在前面的學習中，學生已經歷了探索和驗證切線長定理的過程，又通過觀察、操作、思考，充分認識了切線長定理的本質特征，并在此過程中，獲得了初步的數學活動經驗和體驗，具備了一定的動手操作、合作交流和觀察、分析的能力。初步具備了有條理地思考與表達的能力。他們希望老師創設便于他們進行觀察的幾何環境，給他們發表自己見解和表現自己才能的機會，希望老師滿足他們的創造愿望，讓他們實際操作，使他們獲得施展自己創造才能的機會。但對于規律的得出，首先需要學生通過動手操作，在觀察的基礎上，大膽猜想數學結論，而這需要學生具備一定的分析、歸納的思維方法和運用數學的思想意識，但學生在這一方面的可預見性和耐挫折能力并不是很成熟，從而形成困難。在第一課時的學習中，學生已經初步經歷了探索切線長定理的過程，得出了線段相等和角相等提供了依據，初步具有了利用切線長定理來解決有關線段和角的計算和證明。同時，還認識了切線和切線長的區別和聯系，為本節課的繼續探究打下了基礎。1．九年級學生的成熟穩重，對新鮮事物特別敏感，且較易接受，因此，教學過程中創設的問題情境應較生動活潑，直觀形象，且貼近學生的生活，從而引起學生的有意注意。2.九年級學生的概括能力較強，有一定的推理能力，所以在教學時，可讓學生充分探討、分析，幫助他們直觀形象地感知。3.九年級學生已經具備了一定的學習能力，所以本節課中，應多為學生創造自主學習、合作學習的機會，讓他們主動參與、勤于動手、從而樂于探究。4、

精講多練是數學教學的常用方法，教師給出典型問題的分析，讓學生獨立完成類型題，培養學生的思維能力的同時，也加強了學生的書寫能力。5、

面向全體，基于本節課的教師內容有一部分較為基礎，對于自學能力很強的學生來說可以迅速完成，這時教師便應該起到宏觀調控的作用，給出較為有提高性的思考問題，讓學生進行思考，這樣使每個層次的學生都能夠充分利用時間并掌握所學知識。6、由于學生對剛剛學習的知識掌握還不牢固，所以學生在回答問題時會顯得不確定，教師可以給出適當的鼓勵性語言，增加學生的信心并使學生有興趣繼續學習下去。7、教學的目標便是讓學生掌握本節課所講授的內容，所以教師在重點內容的分析后，要注意學生對問題的掌握程度，進行及時的教學反饋，掌握學生的不足，從而便于后續知識的開展。根據學生的學情，本節課，我從學生已有的知識基礎和生活經驗出發，以生活實例引入，創設生動有趣的學習情境，本著疑難讓學生議，思路讓學生想，錯誤讓學生析，規律讓學生找，小結讓學生講的原則，在教學方法的設計上，把重點放在了探究構建數學模型的過程上，激發學生對數學學習的興趣。總之，

數學是一門思維性很強的學科，所以教師在教學過程中要注重學生思維能力的培養，讓學生獨立思考，在思考過程中回憶所學知識，加強聯系，從而解決問題。通過本節課的研究，旨在培養學生的邏輯推理能力，經歷識圖、畫圖、說理到簡單推理的過程，培養學生的推理表達能力。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗，體驗推理論證的作用。《切線長定理（1）》效果分析在本節課學習之前，學生已經學習了切線的性質，所以本節課定理的學習，學生學起來會比較輕松。鑒于實驗幾何是發現幾何命題和定理的有效工具，在培養學生的直覺思維和創造思維方面起著重大的作用。所以我是通過生活實例引入新課，讓學生先自主探究，再合作探究，通過分組實驗，讓學生來發現結論，經歷知識的“再發現”過程。從推理能力來說,“說理”對于學生來講還較為陌生，不知應該說什么，根據什么，得出什么，因此鼓勵學生利用性質大膽猜測。本節課體現了三個轉變：1、教的轉變：本節課教師的角色從知識的傳授者轉變為學生學習的組織者、引導者、合作者與共同研究者。在引導學生畫圖、測量、發現結論后，利用幾何畫板直觀地、動態地展示同位角的關系，激發學生自覺地探究數學問題，體驗發現的樂趣。

2、學的轉變：學生的角色從學會轉變為會學。本節課學生不是停留在學會課本知識的層面上，而是站在研究者的角度深入其境。

3、課堂氛圍的轉變：整節課以“流暢、開放、合作、‘隱’導”為基本特征，教師對學生的思維活動減少干預，教學過程呈現一種比較流暢的特征，整節課學生與學生、學生與教師之間以“對話”、“討論”為出發點，以互助、合作為手段，以解決問題為目的，讓學生在一個較為寬松的環境中自主選擇獲得成功的方向，判斷發現的價值。演示非常形象、具體的展示了平行線的性質。使學生很容易接受。在教師提出問題的條件下，學生自己動手，實際操作，進行度量，在有了大量感性認識的基礎上，動腦分析總結出結論，不僅充分發揮學生主體作用，而且培養了學生分析問題的能力。通過多種方法開闊了學生思維，拓展了思路。最后學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結出在探究活動中的心得，感悟數學來源于生活，而又指導我們的生活。本節課學生收獲很大，收到了很好的效果。激起了學生的學習興趣，燃起了學習的熱情和斗志，但在個別地方還有待再提高，特別是老師的激情要再高漲一些。24.2.2《切線長定理》教材分析《切線長定理》是義務教育新課程標準人教版九年級第24章第二課時內容。切線長定理是幾何中幾個重要的定理之一，它揭示了切線內容中的各種相等的量，它將數與形密切聯系起來，在數學發展中起著重要作用，在現實世界中有著廣泛的應用。教材的地位和作用：切線長定理在日常生活中有著非常重要而廣泛的應用，因此它是整個初中數學的一個重點。本節課是在人教版《義務教育課程標準實驗教科書?數學》九年級上冊《圓》一章第三節切線的性質與判定新授課結束的基礎上設計的一節探究課。對《圓》一章來說，從《數學課程標準》的要求到教材內容的設置，起點都比較低。主要表現在兩方面：一方面表現在知識點少，即僅有切線的判定和性質兩個知識點；另一方面能力要求單一，即運用切線性質與判定解決簡單的實際問題。因此為了提高學生質疑、發現、解決問題的能力，根據學生的實際情況，利用教材資源和學生的智慧設計本節課的內容。在本節課中，通過豐富的情境，使學生更深刻地體會平行線性質在現實生活中的應用。為后面的學習打下良好的基礎。圓是較簡單、最基本的幾何圖形，在生活中隨處可見，它不僅是研究其他圖形的基礎，而且在實際中也有著廣泛的應用。因此，探索和掌握好它的有關知識，對學生更好的認識世界、發展空間觀念和推理能力都是非常重要的。教材設置了一個通過探索切線長定理探究的活動，在活動中，鼓勵學生充分交流，運用多種方法進行探索，盡可能地發現有關事實，并能應用平行線性質解決一些問題，運用自己的語言說明理由，使學生的推理能力和語言表達能力得到提高。為學生今后的學習打下了基礎。因此，無論在知識技能上，還是在學生能力的培養及感情教育等方面，這節課都起著十分重要的作用。本節教材安排了4個例題，主要運用了切線長定理來進行推理和計算，展現了完整的推理過程，本節課主要是學生能利用切線長定理找出相等的量進而展開計算。此例的安排，一方面可以加深學生對切線長定理的理解，感受切線長定理的具體應用，讓學生初步了解完整的文字推理過程，感知幾何語言的邏輯性和嚴謹性，為循序漸進地培養學生的推理論證能力打好基礎。切線長定理的應用，其前提是已知兩條直線平行，因此在應用切線長定理解題時，通常需要首先判斷兩條直線平行，得到所求角的度數。應用切線長定理解決實際問題，雖然目前不要求嚴格規范的推理和書寫，學生只要能夠應用切線長定理正確解答即可，但是作為幾何證明的準備，教學時應該要求學生能夠說出每一步計算或推理的依據，盡可能注意表達的邏輯性和嚴謹性，逐步養成說理有據、言之有理的邏輯習慣。通過鞏固和提高，激發學生利用所學知識解決問題的興趣，培養學生的解題能力。通過設置探究題，學生綜合運用知識探索圖形的能力。本節主要內容是切線長定理。切線長定理是圖形與幾何領域的基礎知識，又是今后求證線段、角、弧等的重要工具。從其所處的地位看，它是在已經學習了切線的性質與的判定的基礎上，對平面內直線與圓的位置關系的進一步學習和研究，也是以后學習三角形內切圓的基礎，因此本節課的學習有著承前啟后的作用。教科書是讓學生通過畫圖、測量、觀察等活動，探究性質的應用 中的拐角問題。本節課的教學要循序漸進地引導學生分析、思考，讓學生初步感知簡單的推理，感知言之有理、有據據的習慣。教學過程中還需要關注類比和轉化思想的滲透與應用。教科書上一節是切線的性質，這一節是切線長定理，學生很容易將它們弄混，怎樣區分是本節課教學的難點之一。教學時，應重點就切線長定理所常見的輔助線進行必要的說明。本節課的教學重點是，切線長定理在實際問題中的應用；教學難點是，切線長定理靈活應用。重難點突破應用切線長定理解決實際問題，通過實例，讓學生從具體的實例中發現數學問題，進而尋求解決問題的方法，使學生懂得數學來源于現實，服務于現實生活，同時也調動了學生的積極性，提高了學生的興趣。其次，應用切線長定理進行必要的說理，明確要求的對象及其合理性．從身邊的實際問題入手，探索切線長定理，發展學生思維能力，同時讓學生體會從特殊到一般的思考問題的方法。掌握方程思想、數形結合、建模以及一題多變的數學思想。 24.2.2切線長定理課后練習如圖1，PA、PB分別切圓O于A、B兩點，C為劣弧AB上一點，∠APB=30°，則∠ACB=（）．A．60°B．75°C．105°D．120°2．圓外一點P，PA、PB分別切⊙O于A、B，C為優弧AB上一點，若∠ACB=a，則∠APB=（）A．180°-aB．90°-aC．90°+aD．180°-2a3.如圖，P是⊙O外一點，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，C是AB上任一點，過C作⊙O的切線分別交PA、PB于點D、E。若△PDE的周長為12，求PA的長。4．如圖所示，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，若∠P=50°則∠OBA=。5.如圖在△ABC中，圓I與邊BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，（1）若∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度數。（2）若AF=5，CE=2，BD=4，求△ABC的周長6．如圖，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點，A、D是⊙O上兩點，如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度數。7.如圖，PC是⊙O的切線，C是切點，PO交⊙O于點A，過點A的切線交PC于點D，CD∶DP=1∶2，AD=2cm，求⊙O的半徑。小測1.已知⊙O為△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，AE=1，BF=2，CD=3，求△ABC內切圓半徑2.已知四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA分別與⊙O相切于點E、F、G、H。求證AB+CD=AD+BC3.如圖，P為⊙O外一點，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點，BC是直徑。（1）求證：AC∥OP（2）如果∠APB=70°，求∠ACB的度數4.如圖，以Rt△ABC的直角邊AC為直徑作⊙O，交斜邊AB于點D，DE切⊙O于點D，交BC于點E。若BC=10，求DE的長。5、如圖，直線、分別切圓O于A、B，且∥，切圓O于E，交、于點C、D，求證：∠COD=90°變式：若OC=6，OD=8，則CE=?！肚芯€長定理》課后反思這節課我是這樣處理的，首先聯系生活實際，創設問題情境。學生的學習過程既是一個認知的過程，又是一個探究的過程。九年級學生思維靈敏、有一定的推理能力，創設問題情境，能夠使學生的學習心理迅速地由抑制到興奮，而且還會使學生把知識的學習當作一種自我需要，能引起學生內部認知矛盾的沖突，使學生在疑中生奇，疑中生趣，不斷激起學生的學習欲望。教學中，讓學生從實際生活場景圖片中抽象出切線長的基本圖形，提出一些大家都十分感興趣的問題，由此使學生產生了強烈的求知欲望和主動探索的興趣。其次組織合作交流，營造探究氛圍。學會合作與交流是現代社會所必須的，也是數學學習過程中應當提倡的組織形式。建立平等、民主、友愛的師生關系，創設和諧、寬松的課堂氛圍，是學生主動探究的前提條件。因此，我與學生一起做數學，教學中，我提供了探索材料：猜結論、探索發現、推理驗證等。在鼓勵學生獨立思考的基礎上，有計劃地組織他們進行合作探究，以形成集體探究的氛圍，強化學生的主體意識，培養學生的合作精神，使學生成為教學活動的主動參與者，真正實現學有所得，學有所用，學有所思，有效地培養學生的探究能力和創新思維。再次，尊重學生需要，關注學習過程。新課程理念倡導課堂教學應結合具體的數學內容，盡量采用“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的模式展開。本課中創設情景，讓學生經歷知識的形成與應用，在學習過程中去體驗數學和經歷數學，學生提出了與學習內容有關的問題，教師對他的提問表示肯定，并且充分尊重學生的需要，啟發學生們一起來研究、解決這個問題。因為，學習歸根結底是學生的事，學習效果的好壞最終取決于學生是否真正參與到學習活動中去，是否積極主動地思考，教師只是一個組織者和引導者，教師的責任更多的應該是為學生提供思考的機會，為學生留有思考的時間與空間，而不是急于下結論。特別是那些需要較深入理解和需要一定的創造性才能解決的問題，更要讓學生有一定的思考時間。在這節課中，探索切線長定理的過程，更是放手讓學生大膽去作、比較、爭論、分析歸納，課堂上百家爭鳴、百花齊放，使不同層次的學生都得到了應有的發展。這樣通過復習舊知,引出新知，生活情景，引入課題，從而增強學生學習活動的親切感，同時也把學生推向主體學習地位。這為引出本課的學習內容做了鋪墊。通過提問,讓學生思考,針對問題,敢于發表自己的見解。緊接著讓學生動手操作，然后讓學生選擇其中的一個方法進行驗證，把驗證的結論告訴大家，用這樣的方法可以讓學生都參與到教學中來，提高了他們動手、動腦的能力，而且增加了學習興趣。加強了學生的邏輯推理能力。在學生充分活動的基礎上，由學生自己發現問題的結論，讓學生感受成功的喜悅，增強學習的興趣和學習的自信心。要求全體學生參與，體現了新課程理念下的交流與合作。此外本節課還存在諸多的不足之處：1.在提出問題的時候，學生的思考時間較少，只有程度較好的學生思考出來，大部分學生都還在思考中。2.欠缺對“學困生”的關注，沒能用更好的語言激發他們。3.沒能讓每位學生都有足夠的時間發表自己的觀點。4.沒能進行很好的知識延伸和拓展。