雙曲線(xiàn)常考重難點(diǎn)題型歸納必考點(diǎn)1:雙曲線(xiàn)的定義雙曲線(xiàn)的定義滿(mǎn)足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)在平面內(nèi)；動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為一定值;這一定值一定要小于兩定點(diǎn)的距離.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2a2—b2=1(a>0，b>0)y2x2a2—b2=1(a>0,b>0)圖形zf11s例題1：已知點(diǎn)O(0,0)，A(-2,0)，B(2,0).設(shè)點(diǎn)P滿(mǎn)足IPAI-IPBI=2,且P為函數(shù)y=3』4_x2圖像上的點(diǎn)，則IOPI=()【解析】因?yàn)?PA1—1PB〔=2,4,所以點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為4的雙曲線(xiàn)的右支上,由c=2,a=1可得，b2=C2—a2=4€1=3，即雙曲線(xiàn)的右支方程為兀2-￥=1(x…0?，而點(diǎn)P還在函數(shù)<13x=y二3\/4—y二3\/4—x2的圖象上,X2—蘭二1(x…0)，解得'333，即\OP\=、：才+=“10?故選：d.y=2例題2：已知F為雙曲線(xiàn)C:才-&二1的左焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線(xiàn)C同一支上的兩點(diǎn)?若PQ的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)AG.13,0)在線(xiàn)段PQ上，則APOF的周長(zhǎng)為

【解析】根據(jù)題意，雙曲線(xiàn)C:扌-寧二1的左焦點(diǎn)F（-近3,0）,所以點(diǎn)AG/13,0）是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，虛軸長(zhǎng)為：6；雙曲線(xiàn)圖象如圖：IPFI-1AP\=2a=4①I(mǎi)QFI-1QA1=2a=4②而IPQI=12，①+②得：IPFI，IQFI-1PQI=8?.周長(zhǎng)為IPFI,IQFI,IPQI=8,2IPQI=32.故答案為：32.【小結(jié)】1?雙曲線(xiàn)定義的主要應(yīng)用（1）判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線(xiàn)，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線(xiàn)方程.⑵在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合IIPFJ—IPF2ll=2a,運(yùn)用平方的方法,建立與IPF^IPF』的聯(lián)系.2?用定義法求雙曲線(xiàn)方程，應(yīng)依據(jù)條件辨清是哪一支，還是全部曲線(xiàn).與雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題常利用定義求解.如果題設(shè)條件涉及動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離，求軌跡方程時(shí)可考慮能否應(yīng)用定義求解.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程例題3：已知雙曲線(xiàn)蘭-蘭=1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上，是邊長(zhǎng)為2a2b2的等邊三角形（O為原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的方程為（）X2A.—412XX2A.—412X2B.-12X2C.—3y2D.x2—=13【解析】由題意結(jié)合雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程可得:，解得：a2=b2=3，b—=tan60°=、a雙曲線(xiàn)方程為：X2-*=1?本題選擇D選項(xiàng).【小結(jié)】1．求雙曲線(xiàn)方程的思路⑴如果已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，且確定了焦點(diǎn)在x軸上或y軸上，則設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2,b2，從而寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能是一個(gè)，也有可能是兩個(gè)，注意合理取舍，但不要漏解)．當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法來(lái)解決：一是分類(lèi)討論，注意考慮要全面；二是注意巧設(shè)雙曲線(xiàn)：①雙曲線(xiàn)過(guò)兩點(diǎn)可設(shè)為mx2-ny2=1(mn,0)，②與蘭—二=1共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)可設(shè)為三-二二九(九?0),(3)等軸雙曲線(xiàn)可設(shè)為x2-y2二九(九?0)a2b2a2b2等，均為待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程.2．利用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟如下：定位置：根據(jù)條件判定雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，不能確定時(shí)應(yīng)分類(lèi)討論.X2y2y2x2⑵設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置，設(shè)方程為a2—b2=l或a2—b2=l(a>0,b>0)，焦點(diǎn)不定時(shí)，亦可設(shè)為mx2+ny2=1(m?n<0)；尋關(guān)系：根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b(或m、n)的方程組；得方程：解方程組，將a、b、c(或m、n)的值代入所設(shè)方程即為所求.3．雙曲線(xiàn)方程的幾種形式：x2y2雙曲線(xiàn)的一般方程：當(dāng)AB&0時(shí)，方程Ax2+By2=C可以變形為C+C=1，由此可以看出方程Ax2+By2AB=C表示雙曲線(xiàn)的充要條件是AB&0,且A，B異號(hào).此時(shí)稱(chēng)方程Ax2+By2=C為雙曲線(xiàn)的一般方程.利用x2y2一般方程求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可以將其設(shè)為Ax2+By2=l(ABv0),將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即了+丄=1.因此,AB當(dāng)A>0時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)；當(dāng)B>0時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn).共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)系方程：與雙曲線(xiàn)養(yǎng)一b=1(a>0，b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的方程為a^—b；—7=1(a>0,b>0)；與雙曲線(xiàn)瑩一盍=1(a>0,b>0)有公共焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的方程為—玉—7=1(。>°，b>0).22122212必考點(diǎn)2:雙曲線(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用例題4：已知A,B兩地相距800m,在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.【解析】如圖以AB為x軸，AB的垂直平分線(xiàn)為y軸，建立坐標(biāo)系,設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)為P設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)為P(x,y)，由題知:所以P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)，2a=680的拋物線(xiàn)的右支.即a=340,c=400,b2=c2一a2=44400.所以P的軌跡方程為所以P的軌跡方程為x2y2115600一44400=1(x?340).【小結(jié)】解答實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要注意先將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，條件中有兩定點(diǎn)，某點(diǎn)與這兩定點(diǎn)的距離存在某種聯(lián)系，解題時(shí)先畫(huà)出圖形，分析其關(guān)系，看是否與橢圓、雙曲線(xiàn)的定義有關(guān)，再確定解題思路、步驟.焦點(diǎn)三角形問(wèn)題TOC\o"1-5"\h\z例題5：設(shè)雙曲線(xiàn)C：—-學(xué)=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F.,F?,離心率為石.P是C上一a2b212點(diǎn)，且F1P丄F2P.若△PF1F2的面積為4,則a=()A.1B.2C.4D.8【解析】?.上二忑，…c【解析】?.上二忑，…c=娛，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可得|『代-PFS：1△PF1F2一=_|PF|-IPFI=4,即丨PFI-PF21112」=2a，=8，丁FP丄FP，…PFI2+PF1212=(2c)2,PF一PF一PF1+2PF-PF=4c2,即a2一5a2+4=0,解得a=1，故選：A.例題6：例題6：設(shè)FF2是雙曲線(xiàn)--T6二1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，且牛pf廣6°。，鬼嚴(yán)2面積則PF一PF=2a=6、12=2c=10【解析】雙曲線(xiàn)寧-16-1的a二則PF一PF=2a=6、12=2c=10FF2=12PF2+PF2—2PF?PFcos60°，而FFFF2=121"得IPF」2+|pF2|2-|pFJ-|pF2|=（|pF」-|pF2|）2+門(mén)?|"2|=1001PF?PF=64,故S=—PF|?|PF卜sin60o=16血12△F1pf222'【小結(jié)】雙曲線(xiàn)中的焦點(diǎn)三角形雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)P與其兩個(gè)焦點(diǎn)行，F(xiàn)2連接而成的三角形PF]F2稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形.令I(lǐng)PF1l=r1，IPF2l=r2，ZF1PF2=^,因IF1F2l=2c,所以有(1)定義:lr1—r2l=2a.⑵余弦公式：4c2=r2+r2—2r1r2cos^1面積公式：S^PF1F2=2r1r2sin^.一般地，在△pf1f2中，通過(guò)以上三個(gè)等式，所以求問(wèn)題就會(huì)順利解決.已知雙曲線(xiàn)的方程，研究其幾何性質(zhì)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2a2—b2=1（a>0，b>0）y2X2a2—b2=1（a>0，b>0）圖形wJ-曲鄉(xiāng)個(gè)耳匸“>!\性質(zhì)范圍x>a或x<—a，yWRxWR,y<—a或y>a對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A］（—a,0）,A2（a,0）A1（0，—a），A2（0，a）漸近線(xiàn)by=±axay=±bx離心率e=a，e￡（1，+<?）,其中c=#a2+b2

實(shí)虛軸線(xiàn)段人宀叫作雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，它的長(zhǎng)A]A2l=2a；線(xiàn)段BQ叫作雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)IB]B2l=2b；a叫作雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫作雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng).a、-、c的關(guān)系c2=a2+-2（c>a>0，c>b>0）Xy例題7：設(shè)口為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于:"兩點(diǎn)，若-，上的面積為8,貝則■的焦距的最小值為x2y2、、、、b【解析】，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是_!arb￡a22直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)/Tr■■Xi■fu.解得，不妨設(shè)D為在第一象限，上在第四象限，聯(lián)立解得，聯(lián)立y^-x，解得[:二;，故山g-町，?「ED|二前，二△。加面積為:===8?礦y*I雙曲線(xiàn)，其焦距為'—ab當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，的焦距的最小值：8例題8：已知雙曲線(xiàn)C：乂-蘭=1(a,0，b,0)離心率為J2，則點(diǎn)(4,0)到C漸近線(xiàn)的距離為()a2b2A.和'2B.2所以點(diǎn)(4,0)到漸近線(xiàn)的距離d故選D?-=1，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為x所以點(diǎn)(4,0)到漸近線(xiàn)的距離d故選Dx2y2例題9：已知雙曲線(xiàn)C:--了=1，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離是【解析】在雙曲線(xiàn)C中，a=J6,b=\：'3，則c=\：a2+b2=3，則雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3’°）,雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±￥x雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為￡卞3【小結(jié)】1?已知雙曲線(xiàn)方程討論其幾何性質(zhì)，應(yīng)先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出對(duì)應(yīng)的a、b,利用C2=a2+b2求出c,再按定義找出其焦點(diǎn)、焦距、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率、漸近線(xiàn)方程．畫(huà)雙曲線(xiàn)圖形，要先畫(huà)雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)（即以2a、2b為兩鄰邊的矩形對(duì)角線(xiàn)）和兩個(gè)頂點(diǎn)，然后根據(jù)雙曲線(xiàn)的變化趨勢(shì)，就可畫(huà)出雙曲線(xiàn)的草圖．雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程中對(duì)a、b的要求只是a>°,b>°易誤認(rèn)為與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b的要求相同.若a>b>°，則雙曲線(xiàn)的離心率eW（1,\耳）；若a=b>°,則雙曲線(xiàn)的離心率e=-J。；若OVaVb,則雙曲線(xiàn)的離心率e>''2.注意區(qū)分雙曲線(xiàn)中的a,b,c大小關(guān)系與橢圓a、b、c關(guān)系，在橢圓中a2=b2+c2，而在雙曲線(xiàn)中c2=a2＋b2.等軸雙曲線(xiàn)的離心率與漸近線(xiàn)關(guān)系雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)0雙曲線(xiàn)的離心率e='Oo雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)互相垂直（位置關(guān)系）.雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離等于虛半軸長(zhǎng)b漸近線(xiàn)與離心率一=l（a>°,b>°）的一條漸近線(xiàn)的斜率為?==*=p'e2—1.可以看出，雙曲線(xiàn)的a2b2aa2a2漸近線(xiàn)和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線(xiàn)張口的大小.與雙曲線(xiàn)有關(guān)的范圍問(wèn)題的解題思路（1）若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接轉(zhuǎn)化求解.（2）若條件中沒(méi)有不等關(guān)系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系，如借助雙曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)范圍，方程中J>0等來(lái)解決.

必考點(diǎn)3：由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)求雙曲線(xiàn)的方程例題10：已知雙曲線(xiàn)一-二二1(a,0,b,0)的離心率為2,過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交a2b2于A，B兩點(diǎn)?設(shè)A，B到雙曲線(xiàn)的同一條漸近線(xiàn)的距離分別為和d2，且dl+d2二6,則雙曲線(xiàn)的方程為()A．x2TB．x2yA．x2TB．x2y2一=193C．x2412D．x212【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(c,0)(c>0),則x二x二cABc2y2b2由一-—=1可得：y=±a2b2arb2〕rb2)c,rb2〕rb2)c,—,Bc,一—<a丿<a丿不妨設(shè)：A，雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為bx-ay=0，bc一b2據(jù)此可得：叮bc一b2，d=c2bc+b2bc+b2，c則d+d=竺=2b=6,12c則b二3,b2二9，雙曲線(xiàn)的離心率：a21+=b29x2y2雙曲線(xiàn)的離心率：a21+=b21+=2，據(jù)此可得：a2=3，則雙曲線(xiàn)的方程為片一執(zhí)=1.a239本題選擇A選項(xiàng).【小結(jié)】1?由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法，同樣需要經(jīng)歷“定位-定式-定量”三個(gè)步驟．當(dāng)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)不明確時(shí)，方程可能有兩種形式，此時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論，為了避免討論，也可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為mx2—ny2=1(mn>0)，從而直接求得.2.根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程可設(shè)出雙曲線(xiàn)方程.漸近線(xiàn)為y=mx的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為：玄一汩=久(溝)；mmn如果兩條漸近線(xiàn)的方程為Ax±By=0，那么雙曲線(xiàn)的方程可設(shè)為A2x2—B2y2=m(m^0)；與雙曲線(xiàn)畫(huà)一^2=1共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為畫(huà)一益=久(舜0)?

必考點(diǎn)4:求雙曲線(xiàn)的離心率（或范圍）X2y2TOC\o"1-5"\h\z例題11：雙曲線(xiàn)C:—二1（a,0,b,0）的一條漸近線(xiàn)的傾斜角為130°，則C的離心率為（）02b212sin40°B.2cos40°C.:—sin50。bb【解析】由已知可得——二tan130°,?二tan50°aa1cos50°=*'1+tan250°sin21cos50°=*'1+tan250°sin250°cos250°1cos50°x2y2例題12：已知雙曲線(xiàn)C：-二二1（a,1cos50°x2y2例題12：已知雙曲線(xiàn)C：-二二1（a,b,0）右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B,Fa2b2【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為：，連接AF丄FB，可得四邊形「口為矩形,為其右焦點(diǎn)，若AF丄FB設(shè)|AF=m,mBF=n,即有-4F|=|i7F|=j!，且m2+n2二4c2，n—m=2a，tanO二一，nm2+n2C24c2m2+n21e2====—a24a2m2一2mn+n2】_2mnm2+n2邁，才，可得t=tanO，則t+1e（2,4）,11——，tanO+—tanO2(1Je—,1可得t+1“t(1(1)

e0,2V2丿，e（2,+‘），即有ee1則1-tanO+—tanO

例題13：設(shè)雙曲線(xiàn)C：—-二二1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)為尸、遼x,則C的離心率為a2b2【解析】由雙曲線(xiàn)方程乂-匸2二1可得其焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)槠湟粭l漸近線(xiàn)為y=<2x,a2b2所以-=^2，e二-=、：1,冬二爲(wèi)aa\a2【小結(jié)】1?在解析幾何中，求'范圍”問(wèn)題，一般可從以下幾個(gè)方面考慮：①與已知范圍聯(lián)系，通過(guò)求值域或解不等式來(lái)完成；②通過(guò)判別式力求解；③利用點(diǎn)在雙曲線(xiàn)內(nèi)部形成的不等關(guān)系求解；④利用解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，如a，''a，lai等非負(fù)性求解.2?求雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍，關(guān)鍵是根據(jù)題目條件得到不等關(guān)系，并想辦法轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的不等關(guān)c系，結(jié)合c2=a2+b2和a=e得到關(guān)于e的不等式，然后求解.在建立不等式求e時(shí)，經(jīng)常用到的結(jié)論：雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)距離的最小值為c-a.雙曲線(xiàn)的離心率常以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為載體進(jìn)行命題，注意二者參數(shù)之間的轉(zhuǎn)化.3?與雙曲線(xiàn)離心率、漸近線(xiàn)有關(guān)問(wèn)題的解題策略c(1)雙曲線(xiàn)的離心率e=a是一個(gè)比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的一個(gè)關(guān)系式，利用b2=c2-a2消去b,然后變形成關(guān)于e的關(guān)系式，并且需注意e>1.⑵雙曲線(xiàn)—-=l(a…0,b…0?的漸近線(xiàn)是令——^―=0，即得兩漸近線(xiàn)方程a±b=0.a2b2a2b2c漸近線(xiàn)的斜率也是一個(gè)比值，可類(lèi)比離心率的求法解答.注意應(yīng)用e=-=a必考點(diǎn)5：與雙曲線(xiàn)有關(guān)的綜合問(wèn)題例題14：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)F1(4,0)，F(xiàn)2(&9)為焦點(diǎn)的動(dòng)橢圓與雙曲線(xiàn)寧-12二1的右支有公共點(diǎn)，則橢圓通徑的最小值為.【解析】依題意知，F(xiàn)1(4，°)為雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F，則F(-4,0),設(shè)點(diǎn)P為兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)，則由雙曲線(xiàn)及橢圓的定義可知,

IPFI€|PF|=4,IPFI,IPF1=2a,112則IPFI,IPFI=2a,4>IFFI=J(-4-8)2+(0—9)2=15，所以有a>TOC\o"1-5"\h\z2b22a22c22c2所以橢圓的通徑為==2a—，這里2c=IFFI=J(4—8)2+(0—9)2=丙，aaa12v11………門(mén)2?#2424所以由函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)a=—時(shí)，橢圓的通徑取小，取小值為11——11=石.故答案為：例題15：已知雙曲線(xiàn)C:蘭-蘭=1(a…0,b…0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心，b為半徑作圓A,圓Aa2b2與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)于交M、N兩點(diǎn)，若zMAN=60。，則C的離心率為.【解析】如圖所示,.OP.OP=\jOAI2—IPAI2fa2—3b24由題意可得|OA|=a,AN\=\AM\=b,上MAN=60。,.|AP|=二b,2b設(shè)雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)y=x的傾斜角為0,aIAPI則tan0=IOPIb又tan0=，ab，得a2=3b2,a【小結(jié)】雙曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題常常涉及雙曲線(xiàn)的離心率、漸近線(xiàn)、范圍與性質(zhì)，與圓、橢圓、拋物線(xiàn)、向量、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)交匯考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.⑴當(dāng)與向量知識(shí)結(jié)合時(shí)，注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將向量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問(wèn)題與條件建立聯(lián)系求解.(2)當(dāng)與直線(xiàn)有關(guān)時(shí)，常常聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)數(shù)量關(guān)系求解.

鞏固提升1.（2019?北京高考真題（文））已知雙曲線(xiàn)一一y2=1（a>0）的離心率是J5則a=（）a2A.J6A.J6B.4C.2D.a2±1=頁(yè)，解得aa2±1=頁(yè)，解得a=2a2故選D.【解析】???雙曲線(xiàn)的離心率e二一a2.（全國(guó)高考真題（文））雙曲線(xiàn)C:蘭-蘭=1（a>0,b>0）的離心率為2,焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為弋'3,則Ca2b2的焦距等于（）.A.2B.2?C.4D.4J2hc|^|【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距為2c,雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)方程為，由條件可知，°莎又F二/十滬，解得“==2,故答案選C.3.（2018?全國(guó)高考真題（理））設(shè)件，耳是雙曲線(xiàn)C:乂-琴=1G皿“u）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)F作C的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為P.若a2b22\PF\=岡OP|，則C的離心率為（）C.2【解析】由題可知|PFJ=b，|°F|=c，?.|PO|=在RL\POF中，cos…PFO=在RL\POF中，cos…PFO=PF2OF:在F2中,COS"F2O=PF22+FF122-PFL22PFIIFF2^1222b-2c.?e=J3，故選B.4.（2019?全國(guó)高考真題（理））雙曲線(xiàn)C:T-X的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線(xiàn)上，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|P0原點(diǎn)，若|P0|=|PF，則△PFO的面積為（）A．3A．3邁~T~c.2J2D.3邁【解析】由a€2,b€2民.PO|€|PF,,作，又P在C的一條漸近線(xiàn)上，不妨設(shè)為在y=^2x上,,S△,S△PFO=2io鬥?卜」€2?2=羋,故選A.5.(2020.山東海南省高考真題)【多選題】已知曲線(xiàn)C:mx2+ny2=1.()若m>n>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上若m=n>0，則C是圓，其半徑為*Zm若mn<0，則C是雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為y€…xn若m=0，n>0，則C是兩條直線(xiàn)x2y2+€1【解析】對(duì)于A,若m>n>0，則mx2+ny2=1可化為11mn11因?yàn)閙>n>0，所以一,即曲線(xiàn)C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確;mn對(duì)于B，若m€n>0，1貝ymx2+ny2=1可化為x對(duì)于B，若m€n>0，n此時(shí)曲線(xiàn)C表示圓心在原點(diǎn),此時(shí)曲線(xiàn)C表示圓心在原點(diǎn),半徑為的圓,n故B不正確；x2y2+€1對(duì)于C，若mn<0，則mx2+ny2=1可化為11，此時(shí)曲線(xiàn)C表示雙曲線(xiàn),mn由mx2+ny2=由mx2+ny2=0可得y=-x，故C正確；對(duì)于D，若m€0,n>°，則mx2+ny2=1可化為y2=_，nny=±2，此時(shí)曲線(xiàn)C表示平行于x軸的兩條直線(xiàn)，故D正確；故選：ACD.nx2y26.（2020.江蘇省高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線(xiàn)一-匚=l（a〉0）的一條漸近線(xiàn)方程為a25y=x，y=x，則該雙曲線(xiàn)的離心率是【解析】雙曲線(xiàn)蘭-琴二1，故b=3由于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為y=色x,即-旦,a=2,TOC\o"1-5"\h\za252a2c33所以c=^a2+b2=,J4+5=3，所以雙曲線(xiàn)的離心率為一=廳?故答案為：2a227.（2020?全國(guó)高考真題（理））已知F為雙曲線(xiàn)C:乂-蘭=1（a?0,b?0）的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為a2b2C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為.x=c所以|BF|=竺x2所以|BF|=竺［解析】聯(lián)立｛__］=1a2b2a2=b2+c2b2依題可得，變形得c+a=3a，c=2a,c2-a2=3c一依題可得，變形得c+a=3a，c=2a,因此，雙曲線(xiàn)C的離心率為2.8-（2"上海高考真題）設(shè)雙曲線(xiàn)#-辛=1（b?0）的焦點(diǎn)為F1、F2，P為該雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)’若IPFI=5，則丨PFI=12x2y2【解析】由雙曲線(xiàn)的方程——二=1（b?0），可得a=3，9b2根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可知|PF1I-|PFJ=2a=6，又因?yàn)閨PF」=5，所以丨pf2i=11.1212x29.（2019?浙江高三月考）已知「，F(xiàn)2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線(xiàn)C2的公共焦點(diǎn)，P是C1，C2的公共點(diǎn)，若OP=OF1，則C2的漸近線(xiàn)方程為.【解析】因?yàn)镕，F(xiàn)2是橢圓C1:善+y2=1與雙曲線(xiàn)C2的公共焦點(diǎn)，所以F］（一2,0），設(shè)點(diǎn)PCeos0,sin0＜，

由Op=OFi,3cos2€+皿€=c=2,cos"土孚,不妨取正即P代入雙曲線(xiàn)方程得：^6--=1,不妨取正即P4a24b2又a2+b2=4，即a=b=1；即^的漸近線(xiàn)方程為y=±x?10.（2020?全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)（理））已知F為雙曲線(xiàn)C:蘭-蘭=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn),a2b2【解析】聯(lián)立1x2y2—<T~=1，a2b2a2=b2+c2b【解析】聯(lián)立1x2y2—<T~=1，a2b2a2=b2+c2b2=±b2，所以|BF|=—a依題可得，BF|A=3，AFb2即_~a_c一aac2<a2、=3，變形得c+a=3a，c=2a,(c-a)因此，雙曲線(xiàn)C的離心率為2.11.（2019?陜西高三月考（理））已知雙曲線(xiàn)C:三—學(xué)=1（a>0,b>0'的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)a2b212點(diǎn)M在C的漸近線(xiàn)上，且MF；丄mf2，|MF|=2a+|MF則冬=1212a2【解析】不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，設(shè)MF；=m，|MFI=n，則m=2a+n，而MF丄MF，故【解析】不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，設(shè)MF；212一=bm2+n2=4c2，聯(lián)立兩式可得，mn=2c2m2+n2=4c2，聯(lián)立兩式可得，mn=2c2-2b2，聯(lián)立<x2+y2=c2式可得-mn=-”2cb，即c2—b2=cb，故a=bc，即a-=b2c2，故a4=b2(2+b2'，故…b…b)b4+a2b2一a4=0，貝卩—Ia丿2-1=0，解得命=竽12.（2019?湖南高三月考（理））已知雙曲線(xiàn)C:乂-吳=1（a>0,b>0'的左右焦點(diǎn)分別為七，F(xiàn)2，過(guò)七a2b2121的直線(xiàn)l與圓x2+y2=a2相切于點(diǎn)T，且直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的右支交于點(diǎn)P，若FP=4FT，則雙曲線(xiàn)C11

=a，則\FT\=b,=a，則\FT\=b,OF|€c,|OT又FP=4FT，:?|TP|=3b,【解析】如圖，由題可知O件|=又???|PF|，|PF|=2a，PFI=4b-2a作FM//OT，可得\FM\=2a，|TM|=b，則|PM|=2b22在AMPF，\PM|2+\MF^|2=|PF12，即c2=（2b—a）2，2b=a+c5又?.?c2€a2?b2，化簡(jiǎn)可得3c2-2ac一5a2=0，同除以a2，得一2e一5=0，解得e€313.（2018?全國(guó)高考真題（理））已知點(diǎn)M（j，1）和拋物線(xiàn)Cy2=4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)與CTOC\o"1-5"\h\z交于A，B兩點(diǎn)?若ZAMB=90。，則k=.【解析】設(shè)A（x，yJ’BGjy丿，貝ij｛晉=4X1，所以y2-y2=4x-4x，所以k=2」^=^—1122y2=4X1212X一xy+y‘221212取AB中點(diǎn)M'（x0，yo）,分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線(xiàn)x=，1的垂線(xiàn)，垂足分別為A:B'因?yàn)閆AMB=90。,：.|MM'|=1-1AB\=1…AF\+\BF\）=丄…AA，|+\BB'|），^2^2^2因?yàn)镸'為AB中點(diǎn)，所以MM'平行于x軸，因?yàn)镸（-1,1），所以y0=1，則人+y2=2即k=214.（2020?浙江吳興湖州中學(xué)高三其他）過(guò)雙曲線(xiàn)乂-22=1（a〉0,b〉0）的右焦點(diǎn)F向其一條漸近線(xiàn)作垂a2b22線(xiàn)l，垂足為p，l與另一條漸近線(xiàn)交于Q點(diǎn).若FQ=3FP，則該雙曲線(xiàn)的離心率為.22【解析】由題意可得該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=<bx，設(shè)右焦點(diǎn)f（c,o），a2不妨令直線(xiàn)l垂直于直線(xiàn)y=bx，則直線(xiàn)l的方程為y=，a（x，c），ab2222由…by二一xa可得點(diǎn)P-c）abc