習(xí)題課——正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用做一做1

(2016·山東濰坊高二期末)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足bcosC=a,則△ABC的形狀是(

)

A.等邊三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形解析:在△ABC中,∵bcos

C=a,∴△ABC是直角三角形.故選C.答案:C做一做2

在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若acosA=bsinB,則sinAcosA+cos2B=(

)

解析:∵acos

A=bsin

B,∴sin

Acos

A=sin2B,∴sin

Acos

A+cos2B=sin2B+cos2B=1.答案:D探究一探究二探究三規(guī)范解答探究一判斷三角形的形狀問(wèn)題

【例1】

導(dǎo)學(xué)號(hào)20600008在△ABC中,若(a-c·cosB)·sinB=(b-c·cosA)·sinA,判斷△ABC的形狀.分析探究一探究二探究三規(guī)范解答解法一∵(a-c·cos

B)·sin

B=(b-c·cos

A)·sin

A,∴由正、余弦定理可得整理得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2+b2-c2=0或a2=b2.∴a2+b2=c2或a=b.故△ABC為直角三角形或等腰三角形.探究一探究二探究三規(guī)范解答解法二根據(jù)正弦定理,原等式可化為(sin

A-sin

Ccos

B)sin

B=(sin

B-sin

Ccos

A)sin

A,即sin

Ccos

Bsin

B=sin

Ccos

Asin

A.∵sin

C≠0,∴sin

Bcos

B=sin

Acos

A.∴sin

2B=sin

2A.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.探究一探究二探究三規(guī)范解答探究一探究二探究三規(guī)范解答變式訓(xùn)練1

在△ABC中,B=60°,2b=a+c,試判斷△ABC的形狀.

解法一由正弦定理,得2sin

B=sin

A+sin

C.∵B=60°,∴A+C=120°.將A=120°-C代入2sin

B=sin

A+sin

C,得2sin

60°=sin(120°-C)+sin

C,∴sin(C+30°)=1,∴C+30°=90°,∴C=60°,∴A=60°.∴△ABC為等邊三角形.探究一探究二探究三規(guī)范解答解法二由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos

B.整理得(a-c)2=0,∴a=c,∴a=b=c.∴△ABC為等邊三角形.探究一探究二探究三規(guī)范解答探究二綜合應(yīng)用正、余弦定理求邊、角

【例2】

已知△ABC中,AB=3,AC=5,且A=60°,求sinB的值.解由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos

A=32+52-2×3×5cos

60°=19,探究一探究二探究三規(guī)范解答探究一探究二探究三規(guī)范解答探究一探究二探究三規(guī)范解答探究三正、余弦定理與三角恒等變換的綜合

【例3】

導(dǎo)學(xué)號(hào)20600009(2016·陜西咸陽(yáng)高二期末)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值;分析(1)首先利用正弦定理化邊為角,可得2Rsin

Bcos

C=3×2Rsin

Acos

B-2Rsin

Ccos

B,然后利用兩角和與差的正弦公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.(2)由向量數(shù)量積的定義可得accos

B=2,結(jié)合已知及余弦定理可得a2+c2=12,再根據(jù)完全平方式易得a=c=.探究一探究二探究三規(guī)范解答探究一探究二探究三規(guī)范解答探究一探究二探究三規(guī)范解答探究一探究二探究三規(guī)范解答探究一探究二探究三規(guī)范解答正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用典例(2016·全國(guó)高考乙卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;【審題策略】

(1)由已知等式利用正弦定理化邊為角,整理后利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式求出cosC的值,即可確定角C的度數(shù);(2)利用余弦定理和三角形的面積公式列出關(guān)系等式,求出a+b的值,即可求出△ABC的周長(zhǎng).探究一探究二探究三規(guī)范解答探究一探究二探究三規(guī)范解答【答題模版】第1步:由正弦定理將已知條件化邊為角;

↓第2步:進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換求角;

↓第3步:由余弦定理和三角形的面積公式建立方程組;

↓第4步:求出三角形的周長(zhǎng).探究一探究二探究三規(guī)范解答探究一探究二探究三規(guī)范解答探究一探究二探究三規(guī)范解答123451.(2016·山東兗州一中期中)在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若ccosC=bcosB,則△ABC的形狀一定是(

)A.等腰三角形或直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形12345解析:方法一:因?yàn)閏cos

C=bcos

B,所以sin

Ccos

C=sin

Bcos

B,即sin

2C=sin

2B,所以2C=2B或2C+2B=π,所以C=B或C+B=,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.方法二:因?yàn)閏cos

C=bcos

B,即(b2-c2)(b2+c2-a2)=0,所以b=c或b2+c2=a2,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.故選A.答案:A12345123453.(2016·山東淄川一中檢測(cè))在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,則△ABC中最大角的度數(shù)是(

)A.150° B.120° C.90° D.135°解析:因?yàn)閟in

A∶sin

B∶sin

C=3∶5∶7,由正弦定理知a∶b∶c=3∶5∶7,所以