§3.5導數的綜合應用考試要求導數的綜合問題是高考的熱點，常考查恒(能)成立、不等式的證明、函數的零點等問題，解題方法靈活，難度較大，一般以壓軸題的形式出現．題型一導數與恒(能)成立問題例1(2023·福州模擬)已知函數f(x)＝ex＋(m＋1)x，(m∈R)．(1)當m＝1時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若存在x∈[1,2]，使得不等式ex＋eq\f(x2,2)＋mlnx＋m≥f(x)成立，求m的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華恒(能)成立問題的解法(1)若f(x)在區間D上有最值，則①恒成立：?x∈D，f(x)>0?f(x)min>0；?x∈D，f(x)<0?f(x)max<0；②能成立：?x∈D，f(x)>0?f(x)max>0；?x∈D，f(x)<0?f(x)min<0.(2)若能分離常數，即將問題轉化為a>f(x)(或a<f(x))，則①恒成立：a>f(x)?a>f(x)max；a<f(x)?a<f(x)min；②能成立：a>f(x)?a>f(x)min；a<f(x)?a<f(x)max.跟蹤訓練1已知函數f(x)＝(x－2)ex.(1)求f(x)在[－1,3]上的最值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若不等式2f(x)＋2ax≥ax2對x∈[2，＋∞)恒成立，求實數a的取值范圍．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二利用導數證明不等式例2設a為實數，函數f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調區間與極值；(2)求證：當a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華利用導數證明不等式的解題策略(1)待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”的函數，有時對復雜的式子要進行變形，利用導數研究最值即可得證．(2)若直接求導比較復雜或無從下手時，可將待證式進行變形，構造兩個函數，從而找到可以傳遞的中間量，達到證明的目的．(3)對于函數中含有ex和lnx與其他代數式結合的問題，可以考慮先對ex和lnx進行放縮，使問題簡化，簡化后再構建函數進行證明．常見的放縮公式如下：①ex≥1＋x，當且僅當x＝0時取等號．②lnx≤x－1，當且僅當x＝1時取等號．跟蹤訓練2(2023·蘇州模擬)已知函數f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)討論f(x)的單調性；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)當a＝e時，證明f(x)－eq\f(ex,x)＋2e≤0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三導數與函數的零點問題例3(12分)(2022·全國乙卷)已知函數f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；[切入點：求f′(x)，f′(0)](2)若f(x)在區間(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍．[關鍵點：根據導數f′(x)對a分類討論，對x分(－1,0)與(0，＋∞)兩部分]

思維升華函數的零點問題有兩種常見方法，一是分離參數法，作出函數的圖象，根據圖象特征求參數的范圍或判斷零點個數；二是利用函數性質研究函數的零點，主要是根據函數單調性、奇偶性、最值或極值的符號確定參數的范圍或零點的個數．跟蹤訓練3已知函數f(x)＝lnx－(2k＋1)x(k∈R)．(1)當k＝－eq\f(1,4)時，求證：f(x)<0；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若f(x)有兩個零點，求k的取值范圍．_____________________________________________________________