控制系統穩定性和快速性演示文稿當前第1頁\共有32頁\編于星期三\1點5.1穩定性和快速性的基本概念

穩定性指控制系統在外作用消失后自動恢復原有平衡狀態或自動地趨向于一個新的穩定平衡狀態的能力。

如果系統不能恢復穩定狀態，則認為系統不穩定。當前第2頁\共有32頁\編于星期三\1點單擺系統穩定倒擺系統不穩定當前第3頁\共有32頁\編于星期三\1點設線性控制系統的閉環傳遞函數為閉環系統的特征方程為特征方程式的根就是系統閉環傳遞函數的極點。

當前第4頁\共有32頁\編于星期三\1點系統穩定，則閉環系統的極點全部分布在s平面的左半平面；系統不穩定，至少有一個極點分布在s平面的右半平面；系統臨界穩定，在s平面上的右半平面無極點，至少有一個極點在虛軸上。

當前第5頁\共有32頁\編于星期三\1點5.2Routh-Hurwitz判據一.系統穩定的必要條件假設特征方程為根據代數理論中韋達定理所指出的方程根和系數的關系可知，為使系統特征方程的根都為負實部，其必要條件：特征方程的各項系數均為正。含義：1各項系數符號相同（即同號）2各項系數均不等于0（即不缺項）當前第6頁\共有32頁\編于星期三\1點二.控制系統穩定的充分必要條件Routh陣列

當前第7頁\共有32頁\編于星期三\1點特征方程全部為負實部根的充分必要條件是Routh表中第一列各值為正，如Routh表第一列中出現小于零的數值，系統就不穩定，且第一列各數符號的改變次數，代表特征方程式的正實部根的數目。當前第8頁\共有32頁\編于星期三\1點例5-1判別特征方程為

的某系統穩定性。

解

利用Routh判據

符號改變兩次，則說明系統有兩個正實部的特征根，故系統不穩定。當前第9頁\共有32頁\編于星期三\1點三.Routh判據的特殊情況Routh表中某行的第一個元素為零，而其余各元素均不為零或部分不為零。這時用一個很小的正數來代替零元素，Routh表繼續進行。當前第10頁\共有32頁\編于星期三\1點2.如果Routh表中出現全零行，表明特征方程中存在一些絕對值相同但符號相異的特征根，這時，可用全零行上一行的系數構造一個輔助方程，對輔助方程求導，用所得導數方程的系數代替全零行，便可按Routh穩定判據的要求繼續運算下去，直到得出全部Routh計算表。輔助方程的次數通常為偶數，它表明數值相同、符號相反的根數。所有這些數值相同、符號相反的根，都可以從輔助方程中求出。當前第11頁\共有32頁\編于星期三\1點5.3Nyquist穩定性判據若開環傳遞函數在s右半平面無極點時，當從0變化時，如果Nyquist曲線不包圍臨界點(-1,j0)，則系統穩定。如果Nyquist曲線包圍臨界點(-1,j0)，則系統不穩定。如果系統的Nyquist曲線經過(-1,j0)點，則系統處于臨界穩定狀態。當前第12頁\共有32頁\編于星期三\1點如果開環系統不穩定，有P個開環極點位于s右半平面，當從0變化時，開環幅相曲線包圍(-1,j0)點的圈數為N(反時針方向為正，順時針方向為負)和開環傳遞函數在s右半平面上的極點個數P的關系為

M=P－2N

M：閉環極點在s右半平面的個數如果M為零，閉環系統穩定，否則系統不穩定。如果開環傳遞函數包含積分環節，假設為型，則繪制開環幅相曲線后，頻率再從開始，反時針補畫個半徑為無窮大的圓。當前第13頁\共有32頁\編于星期三\1點例1一個單位反饋系統，開環傳遞函數為

試用Nyquist判據判定系統的穩定性。

解

系統的開環幅相曲線如圖所示。

從Nyquist曲線上看到，曲線順時針包圍(-1,j0)點一圈，

即N=-1，而開環傳遞函數在s右半平面的極點數P=0，因此閉環特征方程正實部根的個數故系統不穩定。

當前第14頁\共有32頁\編于星期三\1點5.4Bode圖上的穩定性判據當前第15頁\共有32頁\編于星期三\1點Bode圖上的穩定性判據可定義為一個反饋控制系統,其閉環特征方程正實部根的個數為Z，可以根據開環傳遞函數s右半平面極點的個數P和開環對數幅頻特性大于0dB的所有頻率范圍內，對數相頻曲線與-π線的正負穿越之差N=N+-N-來確定,即

若Z=0，則閉環系統穩定，則閉環系統不穩定Z為閉環特征方程正實部根的個數。當前第16頁\共有32頁\編于星期三\1點例：如圖5-17所示的四種開環Bode曲線，試用Nyquist穩定性判據,判斷系統的穩定性。已知P=0，在L(ω)≥0的范圍內，閉環系統穩定。當前第17頁\共有32頁\編于星期三\1點已知P=1，在L(ω)≥0時

相頻曲線有一次從負到正穿越-π線

閉環系統穩定。當前第18頁\共有32頁\編于星期三\1點已知P=2,在L(ω)≥0的范圍內,閉環系統穩定

當前第19頁\共有32頁\編于星期三\1點5.7穩定裕度根據穩定性判據可以判別一個系統是否穩定。但是要使一個實際控制系統能夠穩定可靠的工作，剛好滿足穩定性條件是不夠的，還必須留有余地。穩定裕度可以定量地確定一個系統的穩定程度。它包括相位裕度和幅值裕度。當前第20頁\共有32頁\編于星期三\1點1.幅值裕度Kg定義為Nyquist曲線與負實軸(-π)交點處的頻率所對應的幅值的倒數，即ω=ωg

稱為交點頻率。Kg含義：如果系統的開環傳遞函數增益增大到原來的Kg倍，則系統處于臨界穩定狀態。

當前第21頁\共有32頁\編于星期三\1點穩定系統

當前第22頁\共有32頁\編于星期三\1點Kg相同但穩定程度不同的兩條開環Nyquist曲線它們具有相同的幅值裕度，但系統I的穩定性不如系統II的穩定性。因此需要增加穩定性的性能指標，即相位裕度

當前第23頁\共有32頁\編于星期三\1點2.相位裕度定義為π加上Nyquist曲線上幅值為1這一點的相角，此時ω=ωc

稱為截止頻率。相位裕度的含義為：如果系統截止頻率ωc信號的相位遲后再增大度，則系統處于臨界穩定狀態，這個遲后角稱為相位裕度。

當前第24頁\共有32頁\編于星期三\1點由于故在Bode圖中，相角裕度表現為L(ω)=0dB處的相角Φ(ωc)與-180度水平線之間的角度差。當前第25頁\共有32頁\編于星期三\1點不穩定系統

當前第26頁\共有32頁\編于星期三\1點二階系統頻域與時域的關系二階系統開環頻域指標與動態性能指標的關系二階系統開環頻率特性為

開環幅頻特性：開環相頻特性：在ω=ωc

時，A(ωc)=1當前第27頁\共有32頁\編于星期三\1點解得二階系統的相位裕度為：

當前第28頁\共有32頁\編于星期三\1點γ與σ%都只是阻尼比ξ的函數。γ增加時σ%減小。相位裕度γ可反映時域中超調量σ%的大小，是頻域中的平穩性指標。通常為使二階系統在階躍函數作用下引起的過程不至于振蕩得太厲害，以及調節時間不致太長1相位裕度γ與超調量σ%的關系當前第29頁\共有32頁\編于星期三\1點2γ、ωc

與ts關系二階系統調節時間若γ一定，ωc

與ts成反比。ωc

越大，ts越短。開環頻域指標ωc

可反映系統響應快速性，是頻域中的快速性指標。當前第30頁\共有32頁\編于星期三\1點二階系統閉環頻域指標與動態性能指標的關系圖示為1類系統所對應的典型閉環幅頻特性。零頻幅值A(0)：指ω=0時的閉環幅頻特性值。2)諧振頻率指系統產生峰值時對應的頻率。3)諧振峰值指在諧振頻率處對應的幅值。4)頻寬指系統的頻率從0開始，對數幅頻特性下降-3dB(或幅值下降為)時所對應的頻率范圍。

當前第3