SIGNALSANDSYSTEMS信號與系統第七章連續時間系統的狀態變量分析法南京郵電大學通信與信息工程學院第七章狀態變量分析7.1狀態變量分析法概述7.2連續系統狀態方程的建立7.3連續系統狀態方程的復頻域求解本章要點作業

7.1狀態變量分析概述系統的描述方法述法、狀態變量描述法輸入－輸出描述法（端口分析法、外部法）用系統的輸入－輸出變量之間的關系來描述系統的特性；數學模型是n

階微分（或差分）方程。狀態變量描述法(內部法）用狀態變量描述系統內部變量的特性；通過狀態變量將系統的輸入和輸出變量聯系起來，進而描述系統的外部特性。狀態變量分析法的優點可以有效地提供系統內部的信息，便于處理與系統內部情況有關的分析、設計問題；不僅適用于線性時不變的單輸入－單輸出系統，也適用于非線性、時變、多輸入－多輸出系統；便于應用計算機技術解決復雜系統的分析計算；當系統的輸出變量改換時，無需重新列寫狀態方程（微分或差分方程），只要調整輸出方程（代數方程）即可。7.1狀態與狀態空間1.系統的狀態：是指系統過去、現在和未來的狀況，其本質是指系統的儲能狀態。2.狀態變量：完全描述系統狀態的數目最少的一組變量。常用

x1(t)，x2(t)，…，xn(t)來表示。起始時刻t＝t0

的狀態稱為初始狀態，用

x1(t0)，x2(t0)，…，xn(t0)來表示。3.狀態矢量：一組狀態變量可以用一個矢量來表示：4.狀態空間：狀態矢量所描述的空間

狀態矢量所包含的狀態變量的個數稱為狀態空間的維數，也稱系統的復雜度階數，簡稱系統的階數。狀態變量分析法：用狀態變量來描述和分析系統的方法5.狀態軌跡：狀態矢量的端點隨時間變化而描述的路徑狀態變量分析法的步驟（1）選定狀態變量；（2）建立狀態方程：描述狀態變量與激勵之間關系的一階微分或差分方程組；（3）建立輸出方程：描述輸出與輸入關系的一組代數方程；（4）求解狀態方程和輸出方程。系統階數的確定

當已知電路時，習慣上將電感的電流和電容的電壓選為狀態變量，因為它們直接與系統的儲能狀態相聯系。

也可以選取磁鏈和電荷作為狀態變量，還可以選取間接反映系統儲能狀態的物理量，甚至有時可以選用不是系統中真實存在的物理量。

但是一個系統的狀態變量必須是一組獨立并且完備的變量，變量的數目即系統復雜度的階數n由系統本身的結構所決定，與所選的狀態變量無關。

由于受

KCL和KVL

的約束，n

的一般計算公式為全電容回路全電感割集

可見此電路只有3

個狀態變量是獨立的，只須用3

個狀態變量來描述系統就可以了。狀態變量可以選為7.2連續時間系統狀態方程的建立建立狀態方程的兩類方法1.直接法

直觀編寫法（依據給定的系統結構直接編寫）系統編寫法（借助計算機自動編寫）2.間接法

由系統的輸入－輸出方程編寫法由系統的模擬圖編寫法7.2.1連續系統狀態方程的一般形式7.2.2由電路圖建立狀態方程步驟（1）選擇獨立的電容電壓和電感電流作為狀態變量；（2）對于含有獨立電容支路的節點列寫KCL方程，對于含有獨立電感的回路列寫KVL方程；（3)消除非狀態變量（中間變量）（4）整理成狀態方程和輸出方程的標準形式。例7-2-1電路如圖所示，試列寫該系統的狀態方程和輸出方程。對于一般的常態網絡（不存在全電容回路和全電感割集）還可以應用直流電路的知識列寫狀態方程。例：

試求圖示常態網絡的狀態方程。非常態網絡的狀態方程例：

非常態網絡如圖所示，

試列寫其狀態方程。當電路存在C-C回路或L-L割集時，直接列寫得到的不是標準形式的狀態方程，一般可表示為結論（1）狀態變量的選取并不是唯一的，選取不同的狀態變量，狀態方程的形式會改變；（2）一般情況下，消除非狀態變量不太容易；（3)僅有R、L、C組成的無受控源網絡總能列寫出標準的狀態方程；（4）如果電路含有受控源，由于多了一類約束關系，可能會使狀態變量的個數減少，對于少數特定的電路甚至無法列寫出標準的狀態方程。7.2.3從輸入－輸出方程導出狀態方程1.微分方程中無激勵的導數項時*2.微分方程中有激勵的導數項時7.2.4從模擬圖建立狀態方程

根據系統的輸入－輸出方程或系統函數可以作出系統的時域或復頻域模擬圖，然后選擇每一個積分器的輸出端信號作為狀態變量，最后得到系統的狀態方程和輸出方程。由于系統函數可以寫成不同的形式，所以模擬圖也可以有不同的結構，于是狀態變量的選擇也就不同，因而狀態方程和輸出方程就會有幾種不同的形式。

所以，可以分別畫出級聯、并聯和串聯等三種形式的模擬圖。1.直接模擬

直接模擬的優點是不必求出系統函數的極點，狀態方程和輸出方程的列寫有規律可循。2.并聯模擬返回

并聯模擬的特點是，系數矩陣是由系統的特征根所構成的對角陣。所以，也稱這種狀態變量為對角線狀態變量。3.串聯模擬

串聯模擬的特點是，系數矩陣是一個上三角陣。結論1.上述三類通過模擬圖列寫狀態方程的方法均可以推廣到n

階系統的一般情況。2.狀態變量可以在系統內部選取，也可以人為地虛擬。3.對于同一個系統，狀態變量的選取不同，系統的狀態方程和輸出方程也將不同，但它們所描述的系統的輸入－輸出關系沒有改變。4.由于同一系統的特征方程相同，所以各狀態方程的系數矩陣A是相似的。5.當系統的輸入和輸出都不止一個時，只要分別畫出其相應的模擬圖，按照上述方法仍然能方便地列寫出狀態方程和輸出方程。7.3連續系統狀態方程的解求解狀態方程的兩類方法1.復頻域求解2.時域求解（略）7.3.1狀態方程的復頻域解對狀態方程兩邊取拉氏變換，根據時域微分性得式中I

為

n×n

單位矩陣。零輸入響應零狀態響應零輸入響應零狀態響應例7-3-1已知某連續系統的狀態方程和輸出方程分別為零輸入響應零狀態響應