2.3冪函數(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P=______w元(2)如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積S=____(3)如果立方體的邊長為a,那么立方體的體積V=

____(5)如果某人ts內騎車行進1km,那么他騎車的平均速度v=______________是____的函數a2a3V是a的函數t?1km/sv是t的函數我們先來看幾個具體的問題:(4)如果一個正方形場地的面積為S,那么正方形的邊長_________a是S的函數以上問題中的函數具有什么共同特征?思考:Pwy=xy=x2y=x3y=xy=x-1____是____的函數Sa他們有以下共同特點：(1)都是函數；(3)均是以自變量為底的冪；(2)指數為常數.一般地，函數叫做冪函數(powerfunction)

，其中x為自變量，為常數。[定義:]問題:你能說出冪函數與指數函數的區別嗎?注意:冪函數的解析式必須是y=ｘＫ的形式，其特征可歸納為“兩個系數為１，只有１項”．指數函數：解析式，底數為常數a，a>0，a≠1，指數為自變量x；冪函數：解析式，底數為自變量x，指數為常數α，α∈R；判斷下列函數是否為冪函數.(1)y=x4(3)y=-x2(5)y=2x2(6)y=x3+2

判一判下面研究冪函數在同一平面直角坐標系內作出這六個冪函數的圖象.結合圖象，研究性質：定義域、值域、單調性、奇偶性、過定點的情況等。研究

y=x

x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…y=xx-3-2-10123y=x29410149x-3-2-10123y=x3-27-8-101827

x0124012x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3在第一象限內,函數圖象的變化趨勢與指數有什么關系?在第一象限內，當k>0時，圖象隨x增大而上升。當k<0時，圖象隨x增大而下降不管指數是多少,圖象都經過哪個定點?在第一象限內，當k>0時，圖象隨x增大而上升。當k<0時，圖象隨x增大而下降。圖象都經過點（1，1）K>0時,圖象還都過點(0,0)點

y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域值域奇偶性單調性

公共點奇偶奇非奇非偶奇(1,1)RRR{x|x≠0}［0,+∞）RR{y|y≠0}［0,+∞）［0,+∞）在R上增在（-∞，0)上減，觀察冪函數圖象，將你發現的結論寫在下表:在R上增在［0，+∞）上增，在（-∞，0]上減,在［0，+∞）上增，在(0，+∞)上減

(1)所有的冪函數在(0,+∞)都有定義，并且圖象都通過點(1,1);

(2)如果α＞０，則冪函數圖象過原點，并且在區間[0,+∞)上是增函數；

(3)如果α＜０，則冪函數圖象在區間(0,+∞)上是減函數，在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸，當x趨向于+∞時，圖象在y軸上方無限地逼近x軸；(4)當α為奇數時，冪函數為奇函數；當α為偶數時，冪函數為偶函數．冪函數的性質說一說判斷正誤1.函數f(x)=x+為奇函數.2.函數f(x)=x2,x[-1,1)為偶函數.3.函數y=f(x)在定義域R上是奇函數,且在(-,0]上是遞增的,則f(x)在[0,+)上也是遞增的.4.函數y=f(x)在定義域R上是偶函數,且在(-,0]上是遞減的,則f(x)在[0,+)上也是遞減的.思考

知識點三一般冪函數的圖象特征類比y＝x3的圖象和性質，研究y＝x5的圖象與性質.答案答案y＝x3與y＝x5的定義域、值域、單調性、奇偶性完全相同.只不過當0<x<1時，x5＝x3·x2<x3，當x>1時，x5＝x3·x2>x3，結合兩函數性質，可得圖象如下：一般冪函數特征：(1)所有的冪函數在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點

；(2)α>0時，冪函數的圖象通過

，并且在區間[0，＋∞)上是

函數.特別地，當α>1時，冪函數的圖象

；當0<α<1時，冪函數的圖象

；(3)

時，冪函數的圖象在區間(0，＋∞)上是減函數；(4)冪指數互為倒數的冪函數在第一象限內的圖象關于直線y＝x對稱；(5)在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數按從

到

的順序排列.梳理(1,1)原點增下凸上凸α<0小大當堂訓練√答案23451解析答案√234513.設α∈{－1,1，，3}，則使函數y＝xα的定義域為R的所有α的值為A.1,3 B.－1,1C.－1,3 D.－1,1,3答案√234514.下列是y＝x的圖象的是答案√234515.以下結論正確的是A.當α＝0時，函數y＝xα的圖象是一條直線B.冪函數的圖象都經過(0,0)，(1,1)兩點C.若冪函數y＝xα的圖象關于原點對稱，則y＝xα在定義域內y隨x的增大而增大D.冪函數的圖象不可能在第四象限，但可能在第二象限√答案23451題型探究例1

已知y＝(m2＋2m－2)

＋2n－3是冪函數，求m，n的值.解答類型一冪函數的概念冪函數與指數函數、對數函數的定義類似，只有滿足函數解析式右邊的系數為1，底數為自變量x，指數為常數這三個條件，才是冪函數.如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝

都不是冪函數.反思與感悟類型二冪函數的圖象及應用解答在同一坐標系里作出函數f(x)＝x2和g(x)＝x－2的圖象(如圖所示)，觀察圖象可得：(1)當x>1或x<－1時，f(x)>g(x)；(2)當x＝1或x＝－1時，f(x)＝g(x)；(3)當－1<x<1且x≠0時，f(x)<g(x).解h(x)的圖象如圖所示：解答注意本題中對f(x)＞g(x)，f(x)＝g(x)的幾何解釋.這種幾何解釋幫助我們從圖形角度解讀不等式方程，是以后常用的方法.反思與感悟

跟蹤訓練2

冪函數y＝xα(α≠0)，當α取不同的正數時，在區間[0,1]上它們的圖象是一簇美麗的曲線(如圖).設點A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數y＝xα，y＝xβ的圖象三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于A.1 B.2C.3 D.無法確定答案解析∴αβ＝1.故選A.

命題角度1比較大小例3

設

則a，b，c的大小關系是A.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.c>b>a類型三冪函數性質的綜合應用答案解析此類題在構建函數模型時要注意冪函數的特點：指數不變.比較大小的問題主要是利用函數的單調性，特別是要善于應用“搭橋”法進行分組，常數0和1是常用的中間量.反思與感悟跟蹤訓練3

比較下列各組數中兩個數的大小：解答解∵0<0.3<1，∴y＝x0.3在(0，＋∞)上為增函數.解答解∵y＝x－1在(－∞，0)上是減函數，解答解∵y＝x0.3在(0，＋∞)上為增函數，又

y＝0.3x在(－∞，＋∞)上為減函數，命題角度2冪函數性質的綜合應用例4

已知冪函數y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關于y軸對稱且在(0，＋∞)上單調遞減，求滿足<的a的取值范圍.解答解因為函數在(0，＋∞)上單調遞減，所以3m－9<0，解得m<3.又因為m∈N*，所以m＝1,2.因為函數的圖象關于y軸對稱，所以3m－9為偶數，故m＝1.所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a.冪函數y＝xα中只有一個參數α，冪函數的所有性質都與α的取值有關，故可由α確定冪函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，也可由這些性質去限制α的取值.反思與感悟跟蹤訓練4

已知冪函數f(x)＝

(m∈N*).(1)試確定該函數的定義域，并指明該函數在其定義域上的單調性；解答解∵m∈N*，∴m2＋m＝m×(m＋1)為偶數.令m2＋m＝2k，k∈N*，則f(x)＝∴定義域為[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)為增函數