數理方程課件.第一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三求解矩形域的拉普拉斯方程使其滿足邊界條件解：令代入式(2.2.1)，得(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)(2.2.4)(2.2.5)令可得：第二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三由邊界條件(2.2.3)得：(2.2.6)本征值問題：(2.2.5)(2.2.6)（1）當時，式(2.2.5)的通解為：由式(2.2.6)有：由此得：即式(2.2.5)、(2.2.6)無非零解。所以第三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三(2.2.5)(2.2.6)（2）當時，式(2.2.5)的通解為：從而由可得：故得（常數）（3）當時，式(2.2.5)的通解為：從而由得：由得：第四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三故有即綜合和兩種情況，可知：本征值為：本征函數為：將的值代入式(2.2.4)：解得第五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三故問題的一般解為：由邊界條件得：第六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三一個無窮級數等于零，說明各項系數均為零。因此：又由得：將

展開成Fourier余弦級數，并比較系數有：由此得：第七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三解得：代入式(2.2.7)得問題的解為：注意：采用分離變量法求解時，用齊次邊界條件構成本征值問題，用非齊次邊界條件定疊加系數。第八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三求解圓形域的拉普拉斯方程例：帶電云與大地之間的靜電場近似勻強靜電場，其電場強度是鉛垂的．水平架設的輸電線處在這個靜電場中．輸電線是導體圓柱．柱面由于靜電感應出現感應電荷，圓柱附近的靜電場也就不再是勻強的了．不過，離圓柱“無限遠”處的靜電場仍保持勻強，現研究導體圓柱怎樣改變了勻強靜電場（即討論導線附近的電場分布）．解：導線第九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三建立如圖所示坐標系，Z-軸沿導線。X軸平行由于導線無限長，可將電場看作沿z方向不變。只需要研究x-y平面的狀態，平面問題。真空靜電勢滿足拉普拉斯方程：邊界條件從云、地、導線三方面考慮。導線的表面是等勢面，取其為電勢零點a為導線半徑云、地在無窮遠處，靜電場仍為，由有由于X軸平行，有所以第十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三根據導線邊界條件，本題應取平面極坐標，，坐標原點在導線中心。定解問題：方程定解條件用分離變量法求解。令代入方程，得第十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三兩邊除以u，乘以得：令：得到：自然周期邊界條件：得：第十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三本征值問題：微分方程的通解是:不具周期性，所以舍去。1）2）微分方程的通解是:B=0時具周期性。微分方程的通解是:3）以為周期，所以取第十三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三本征函數為：本征值為：將這個結果代入到關于R的方程：——Euler方程本征值問題：得：Euler方程的一般形式：變系數的線性微分方程，導數的階數與系數的冪數相同。第十四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三通解為：有：Euler方程可化為：變回原來的變量，可得：對Euler方程做變量變換：解法：通過變換化為常系數線性微分方程——二階常系數線性齊次第十五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三所以疊加得到一般解：由邊界條件定常數。當時，有第十六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三由此得：即：以及：即：代入一般解：得：令，略去和項后，得：再由邊界條件第十七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三比較等式兩邊的系數，有：于是得到導體周圍的電勢分布代入上式中間項為原來靜電場的電勢分布，前面的一項與導體原來的帶電量有關，如果導體不帶電，則，這時圓柱周圍的電勢是最后一項當時可以忽略，它代表在導體附近對勻強電場的修正，是柱面感應電荷的影響。第十八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三注：1.邊界條件決定坐標系2.自然邊界條件3.歐拉方程求解4.模型應用A、B兩點場強：易擊穿！場強大小與半徑無關。y軸上場強：高壓電容器極板必須刨得十分光滑！第十九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三無初始條件的例子：長為l的理想傳輸線，一端接于電動勢為的交流電源，另一端短路，求解線上的穩恒電振蕩。解：經歷交流電的許多周期后,初始條件所引起的自由振蕩衰減到可以認為已經消失，這時的電振蕩完全是由交流電源引起的，因此是沒有初始條件的問題：為了計算方便，將電動勢寫成最后將得到的解取虛部。第二十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三由于振蕩完全由交流電源引起，可以認為振蕩的周期與交流電源相同，即令：代入方程得：即：其通解為：因此，方程的一般解為：第二十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三下面由邊界條件定常數。由，得：再由，得：解出A和B，有：第二十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三代入到解的表達式，得：取虛部，并以代入，得傳輸線內穩恒的電振蕩：第二十三