1/9矩陣范數詳解小”,比如矩陣序列的收斂,解線性方程組時的誤差分析等,具體的情況在這里不再復述。直”的變換)，所以,直觀上可用Cmn上的向量范數來作為A=Cm〉n的矩陣范數。比如(1.1)(1.1)11ij在l-范數意義下,2在l-范數意義下,2F(i=1j=1ij)那么是否矩陣范數就這樣解決了?因為數學上的任一定義都要與其對象的運算聯系起來,矩陣之間有乘法運算,它在定義范數時應予以體現,也即估計AB的“大小”相對于A與B的“大小”關系。以下條件:我們現在來驗證前面(1．1)和(1．2)定義的矩陣范數是否合法？我們這里只考慮(1．2),把較容易的(1.1)的驗證留給同學們,n12nF1122nnF12n21212n2n212n2對上式中第2個括號內的諸項,應用Cauchy不等式，則有FFFFFFF2/9F(i=1j=1ij)(1．3)于是，兩邊開方,即得三角不等式。再驗證矩陣乘法相容性。(1.4)。這樣就完成了對矩陣F-范數的驗證。是不是這樣直接將向量范數運用到矩陣范數就可以了嗎?No!運用l－范數于矩陣范數時便出了問題。如果||A||=max|a|,那么,這樣的矩陣范ww1共i共mij(11)(22)數在下面一個例子上就行不通。設A=|(11)|,A2=|(22)|=2A。因此,按上述矩陣∞-wwwwwww但這是矛盾的。所以簡單地將l－范數運用于矩陣范數，是不可行的。w僅給出矩陣范數的定義是不夠的，還需要研究如何構成具體的矩陣范數的方法。當然,你也可以不去考慮構成方法,一個函數一個函數去試，只要滿足條件就行。不過這樣做的工作量太大,也很盲目。第二,在實際計算時，往往矩陣與向量出現在同一個計算問題中，所以在考慮構造矩陣概念。定義2對于Cm根n上的矩陣范數||.||M和Cm,Cn上的同類向量范數||.||V,如果成立VMV則稱矩陣范數||.||M與向量范數||.||V是相容的。是與向量范數||.||相容。22FFFF2現在給出一種構造矩陣范數的一般方法,它可以使構造出的矩陣范數與向量范數相容,3/9矩陣范數A的由向量范數||?||誘導給出的矩陣范數為VV可以驗證,這樣定義出的矩陣范數||A||滿足定義1規定的4個條件，同時又滿足矩陣范數V與向量范數相容性要求(定義2)。由于有什么樣的向量范數||?||,就有什么樣的矩陣范數,V了一個函數(或算子)，故又稱為算子范數。(2．1)給定的范數實際是尋求一個最優化問題的最優值,求目標函數的最大方式定義,使問題的處理簡單。Vx0||x||||x||1||x||||x||1VVVVV(2.2)事實上,分母上的||x||是一個正數(x0),那么根據向量范數的齊次性有VmaxVmaxx0||x||x0VAxmaxA1AxmaxAx0VVVVVVVV下面我們從理論上證明這樣的矩陣范數||A||滿足定義1規定的4個條件，同時又滿足V矩陣范數與向量范數相容性要求。定理2。1由(2．1)或(2.2)給定的Cmn上的矩陣范數滿足矩陣范數定義1的4個條件,且與相應的向量范數相容。證明：首先,矩陣范數與向量范數的相容性是不難證明的，事實上,對||x||=1,VVVVV||z||1VVV(1.5)成立。我們下面來驗證(2.1)或(2.2)滿足矩陣范數的4個條件。這4個條件中,前2個也容易驗證,因此這里只來考察第3,4個條件。三角不等式的驗證：對于任一BCmnVVVVVVV4/9矩陣范數詳解Vx豐0||x||VVV至此,證實了用算子范數確能給出滿足矩陣范數定義和矩陣范數與向量范數的相容性3)但是要注意的是，對一般的矩陣范數,對任一向量x=Cn，有F不是誘導矩陣范數,所以F誘導矩陣范數。下面就來具體地構造幾個常用的誘導矩陣范數。設A=Cm根n。設A=Cm根n,由向量l-范數誘導而來的最大列和誘導矩陣范數112n1n1jijjj=1jij1||x||=11jijjikijjii=10k0k1k2kmki=1i=11||x||=11i=1i=1綜合(+)與(＋+)可知,由向量l-范數誘導出的矩陣范數既是||A||的上界,又是其下界,因11此必有(3.1).22iiiiiii=1i=1nl2其中2GA當A=Rn〉n時,12證明:首先由線性代數,AHA是半正定矩陣,事實上,對任一x=Cn,有22n互正交的,l－范數等于1(即標準化了的)特征向量x(1),x(2),,x(n)，它們分別對應于特征2n故這組特征向量構成了一組標準正交基，用它們可表示任一個范數||x||=1的向量x：2ii=12i這樣,ii=1也就是11221nn1(i)1nn1(i)1i=1由x的任意性和算子范數的定義 221211121(＊*)22綜合(*)和(**)，由l-范數誘導得出的矩陣范數應為221max1例3.3設A=Cm〉n，l-范數誘導得出的矩陣范數wj=1wijii5/9 6/9iiiiiijiwijjj=1wijjj=1ijjijjijjijjj=1(*)(*)wwwwij=1ikjiji令y=(y,y,,y)T,其中y=〈|a|，12nj|la,ifakj豐0jjw||x||w=1wwj=1kjij=1ij綜合(*)和(＊*)，便得j=1除了上述3種常用的矩陣范數外，Frobenius范數雖然不是算子范數,但也經常所用，在討論序列收斂等問題上是等價的。(1-2)例3．4設A=|(-34)|，求其各種矩陣范數。1wF2矩陣范數詳解矩陣范數可由向量范數誘導，反過來,向量范數有時也可從矩陣范數推出。例4.1設||?||是Cnn上的矩陣范數，任取Cn中的非零向量y,則函數MVMMV證明:欲證||x||是一個向量范數,只須驗證它滿足向量范數得個條件。VVMnnVM齊次性:對任一常數cC，有VMMV三角不等式:對任意的x,zCn,有VMMMMVMV下面再證兩種范數的相容性。如果ACnn,xCn,那么xVMMMMMVMV對于矩陣ACnn,能否根據其范數的大小，來判別(IA)的奇異性?判別一個矩陣的奇異A定理5.1(Banach引理)設矩陣ACnn,且對矩陣Cnn上的某種矩陣范數||?||,有I證明:假設矩陣范數||A||與向量范數||x||相容。欲證矩陣(IA)非奇異,可通過用反證法。假設det(IA)0,則齊次線性方程組(IA)x0有非零解x，即0(IA)x0,x00x00x0V0V0V0V而矩陣(IA)非奇異，