高等數(shù)學下第八單元第一頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二

第八章第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結束多元函數(shù)的基本概念第二頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二一、區(qū)域1.鄰域點集稱為點P0的鄰域.在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為機動目錄上頁下頁返回結束第三頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點、外點、邊界點設有點集

E

及一點

P:若存在點P

的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E則稱P為E

的內(nèi)點；則稱P為E

的外點;則稱P為E

的邊界點.機動目錄上頁下頁返回結束的外點,顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.第四頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二D(2)開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;機動目錄上頁下頁返回結束。。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作E;第五頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域機動目錄上頁下頁返回結束第六頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的記作即機動目錄上頁下頁返回結束一個點.第七頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積三角形面積的海倫公式機動目錄上頁下頁返回結束第八頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二定義1.

設非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當n=2時,有二元函數(shù)當n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作機動目錄上頁下頁返回結束第九頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例如,

二元函數(shù)定義域為圓域說明:

二元函數(shù)z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點的上半球面.機動目錄上頁下頁返回結束的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球.第十頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二三、多元函數(shù)的極限定義2.

設n

元函數(shù)點,則稱A

為函數(shù)(也稱為n

重極限)當n=2時,記二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對一記作都有機動目錄上頁下頁返回結束對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切第十一頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例1.

設求證：證:故總有機動目錄上頁下頁返回結束要證第十二頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二

若當點趨于不同值或有的極限不存在，解:

設P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第十三頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設n元函數(shù)定義在D

上,如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點

.則稱n

元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束連續(xù),連續(xù)的等價定義：第十四頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例如,

函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,

上間斷.

故(0,0)為其間斷點.在圓周機動目錄上頁下頁返回結束結論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).函數(shù)如果函數(shù)在D

上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上連續(xù).第十五頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則機動目錄上頁下頁返回結束在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):第十六頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二解:原式例2.求例3.

求函數(shù)的連續(xù)域.解:機動目錄上頁下頁返回結束第十七頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容小結1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第十八頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二有3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)機動目錄上頁下頁返回結束第十九頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二

作業(yè)P512(4),(5);36(2),(4)第二節(jié)目錄上頁下頁返回結束第二十頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二第二節(jié)機動目錄上頁下頁返回結束一、偏導數(shù)概念及其計算二、高階偏導數(shù)偏導數(shù)與全微分

第八章三、全微分第二十一頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二定義1.在點存在,的偏導數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束注意:一、偏導數(shù)定義及其計算法第二十二頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二同樣可定義對y

的偏導數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點

(x,y)處對x則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù),也簡稱為偏導數(shù)

,記為機動目錄上頁下頁返回結束或

y

偏導數(shù)存在,第二十三頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).機動目錄上頁下頁返回結束偏導數(shù)定義為(請自己寫出)第二十四頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義:是曲線在點M0處的切線對x

軸的斜率.在點M0處的切線斜率.是曲線機動目錄上頁下頁返回結束對y軸的第二十五頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二函數(shù)在某點各偏導數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點不一定連續(xù).上節(jié)例目錄上頁下頁返回結束在上節(jié)已證f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!同理第二十六頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二注意：函數(shù)在某點連續(xù),但偏導數(shù)不一定存在.例如,上節(jié)例目錄上頁下頁返回結束f(x,y)在點(0,0)偏導數(shù)不存在!幾何上表示圓錐面，是其尖點.顯然點是連續(xù)的，在不存在不存在事實上,第二十七頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例1.

求解法1:解法2:在點(1,2)處的偏導數(shù).機動目錄上頁下頁返回結束第二十八頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例2.

設證:求證機動目錄上頁下頁返回結束第二十九頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二偏導數(shù)記號是一個例3.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,機動目錄上頁下頁返回結束整體記號,第三十頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二二、高階偏導數(shù)設z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導數(shù)

.按求導順序不同,有下列四個二階偏導機動目錄上頁下頁返回結束數(shù):第三十一頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例4.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結論并不總成立.機動目錄上頁下頁返回結束的二階偏導數(shù).第三十二頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例如,二者不等機動目錄上頁下頁返回結束第三十三頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二則證明目錄上頁下頁返回結束定理1.例如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對n

元函數(shù)的高階混合導數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導數(shù)可以選擇方便的求導順序.因為初等函數(shù)的偏導數(shù)仍為初等函數(shù),當三階混合偏導數(shù)在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等(證明略)第三十四頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二三、全微分定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，機動目錄上頁下頁返回結束處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.第三十五頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二(2)偏導數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微由微分定義:得函數(shù)在該點連續(xù)機動目錄上頁下頁返回結束偏導數(shù)存在函數(shù)可微即第三十六頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二定理2.(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微,則該函數(shù)在該點偏導數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對x

的偏增量因此有機動目錄上頁下頁返回結束第三十七頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.注意:

定理2的逆定理不成立.偏導數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:機動目錄上頁下頁返回結束第三十八頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二定理3(充分條件)證：若函數(shù)的偏導數(shù)則函數(shù)在該點可微分.機動目錄上頁下頁返回結束第三十九頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二所以函數(shù)在點可微.機動目錄上頁下頁返回結束注意到,故有第四十頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二推廣:

類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是機動目錄上頁下頁返回結束第四十一頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例5.計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解:例6.計算函數(shù)的全微分.解:

機動目錄上頁下頁返回結束第四十二頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二可知當全微分在數(shù)值計算中的應用近似計算由全微分定義較小時,及有近似等式:機動目錄上頁下頁返回結束(可用于近似計算;誤差分析)(可用于近似計算)第四十三頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二半徑由20cm增大解:

已知即受壓后圓柱體體積減少了

例7.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm

,則高度由100cm減少到99cm

,體積的近似改變量.

機動目錄上頁下頁返回結束求此圓柱體第四十四頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例8.計算的近似值.

解:設,則取則機動目錄上頁下頁返回結束第四十五頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容小結1.偏導數(shù)的概念及有關結論

定義;記號;幾何意義

函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù)

混合偏導數(shù)連續(xù)與求導順序無關2.偏導數(shù)的計算方法

求一點處偏導數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導數(shù)的方法逐次求導法(與求導順序無關時,應選擇方便的求導順序)機動目錄上頁下頁返回結束第四十六頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二3.微分定義:4.重要關系:函數(shù)可導函數(shù)可微偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)機動目錄上頁下頁返回結束第四十七頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二5.微分應用?近似計算機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)

P551(2),(4)，(5);2;4;9第四十八頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二第三節(jié)本節(jié)內(nèi)容:一、多元復合函數(shù)微分法二、多元隱函數(shù)微分法機動目錄上頁下頁返回結束多元復合函數(shù)

第八章和隱函數(shù)的微分法第四十九頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二一、多元復合函數(shù)微分法定理.

若函數(shù)處偏導連續(xù),在點t可導,則復合函數(shù)證:(略)且有鏈式法則機動目錄上頁下頁返回結束(全導數(shù)公式)第五十頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二若定理中說明:例如:易知:但復合函數(shù)偏導數(shù)連續(xù)減弱為偏導數(shù)存在,機動目錄上頁下頁返回結束則定理結論不一定成立.（定義求）（定義求）第五十一頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二推廣:1)中間變量多于兩個的情形.例如,設下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,機動目錄上頁下頁返回結束第五十二頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二又如,當它們都具有可微條件時,有注意:這里表示固定y

對x

求導,表示固定v

對x

求導與不同,機動目錄上頁下頁返回結束第五十三頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例1.設解法1機動目錄上頁下頁返回結束第五十四頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例1.設解法2機動目錄上頁下頁返回結束第五十五頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例2.解法1機動目錄上頁下頁返回結束第五十六頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例2.解法2機動目錄上頁下頁返回結束第五十七頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二為簡便起見,引入記號例3.設

f

具有二階連續(xù)偏導數(shù),求解:令則機動目錄上頁下頁返回結束第五十八頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二二、多元隱函數(shù)微分法機動目錄上頁下頁返回結束兩邊對x求導當則1、第五十九頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例4.已知可確定隱函數(shù)解:

令則機動目錄上頁下頁返回結束求第六十頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二兩邊對x求導另一求法—利用等式兩邊直接求導法機動目錄上頁下頁返回結束同理再求導，得第六十一頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二兩邊對x求偏導同樣可得則機動目錄上頁下頁返回結束2、當?shù)诹摚惨话俣摚庉嬘?023年，星期二例5.設機動目錄上頁下頁返回結束解法1

利用公式法設則兩邊對x求偏導第六十三頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二機動目錄上頁下頁返回結束解法2利用等式兩邊直接求導法同理再對x求偏導，得例5.設第六十四頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容小結1.多元復合函數(shù)微分法例如,機動目錄上頁下頁返回結束2.多元隱函數(shù)微分法方法1.方程兩邊同時求導法(復合函數(shù)求導法);方法2.隱函數(shù)求導公式法.第六十五頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)

P591(1),(4)；6(1)，8第六十六頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二第四節(jié)復習目錄上頁下頁返回結束一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學的幾何應用第八章第六十七頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二復習:平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線切線方程法線方程在點有機動目錄上頁下頁返回結束第六十八頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二一、空間曲線的切線與法平面過點M

與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法機動目錄上頁下頁返回結束位置.空間光滑曲線在點M

處的切線為此點處割線的極限平面.第六十九頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二1.曲線方程為參數(shù)方程的情況切線方程機動目錄上頁下頁返回結束第七十頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二此處要求也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量.如個別為0,則理解為分子為0.機動目錄上頁下頁返回結束不全為0,因此得法平面方程第七十一頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例1.求圓柱螺旋線對應點處的切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程即即解:

由于對應的切向量為在機動目錄上頁下頁返回結束,故第七十二頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二2.曲線為一般式的情況光滑曲線當曲線上一點,且有時,可表示為處的切向量為機動目錄上頁下頁返回結束第七十三頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二法平面方程機動目錄上頁下頁返回結束則在點切線方程有第七十四頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例2.

求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.機動目錄上頁下頁返回結束方程組兩邊對x求導,得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量得解:第七十五頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量機動目錄上頁下頁返回結束第七十六頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二二、曲面的切平面與法線

設有光滑曲面通過其上定點對應點M,切線方程為不全為0.則在且點M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為在該點的切平面.機動目錄上頁下頁返回結束上過點

M

的任何曲線在該點的切線都在同一平面上.第七十七頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二證:機動目錄上頁下頁返回結束在上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.第七十八頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二曲面

在點M的法向量法線方程切平面方程復習目錄上頁下頁返回結束第七十九頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二曲面時,則在點故當函數(shù)法線方程令特別,

當光滑曲面

的方程為顯式

在點有連續(xù)偏導數(shù)時,切平面方程機動目錄上頁下頁返回結束第八十頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例3.

求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以球面在點(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量令機動目錄上頁下頁返回結束第八十一頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例4.確定正數(shù)

使曲面在點解:二曲面在

M

點的法向量分別為二曲面在點M

相切,故又點M在球面上,于是有相切.與球面機動目錄上頁下頁返回結束,因此有第八十二頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二1.空間曲線的切線與法平面

切線方程法平面方程1)參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量內(nèi)容小結機動目錄上頁下頁返回結束第八十三頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二空間光滑曲線切向量2)一般式情況.機動目錄上頁下頁返回結束法平面方程切線方程第八十四頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二空間光滑曲面曲面

在點法線方程1)隱式情況.的法向量切平面方程2.曲面的切平面與法線機動目錄上頁下頁返回結束第八十五頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二空間光滑曲面切平面方程法線方程法向量機動目錄上頁下頁返回結束2）顯式情況.第八十六頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二思考與練習1.如果平面與橢球面相切,提示:

設切點為則機動目錄上頁下頁返回結束(二法向量平行)(切點在平面上)(切點在橢球面上)第八十七頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二證明曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示:

在曲面上任意取一點則通過此

作業(yè)

P672，3，5,82.設

f(u)可微,第七節(jié)目錄上頁下頁返回結束證明原點坐標滿足上述方程.點的切平面為第八十八頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二第五節(jié)一、方向?qū)?shù)

機動目錄上頁下頁返回結束二、梯度方向?qū)?shù)與梯度第八章第八十九頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二一、方向?qū)?shù)機動目錄上頁下頁返回結束設點的某鄰域有定義，則射線的參數(shù)方程為為始點的一條射線，為以同方向的單位向量，是與令第九十頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二定義:則稱若下列極限存在:機動目錄上頁下頁返回結束記作為函數(shù)在點

處沿方向l

的方向?qū)?shù).（)?當l與x軸同向?當l與x軸反向第九十一頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二定理:在該點沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有得機動目錄上頁下頁返回結束故若在點可微，則函數(shù)為l的方向角.其中在點可微，第九十二頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二機動目錄上頁下頁返回結束對于三元函數(shù))的方向?qū)?shù)為在點(方向角為沿方向l(）第九十三頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例1.求函數(shù)

在點

P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).機動目錄上頁下頁返回結束解:

向量

l

的方向余弦為第九十四頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例2.

求函數(shù)在點P(2,3)沿曲線朝x

增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點P

的切向量為機動目錄上頁下頁返回結束第九十五頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例3.設是曲面在點P(1,1,1)處指向外側的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點P處沿求函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第九十六頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二二、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機動目錄上頁下頁返回結束第九十七頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點P

處的梯度記作(gradient),在點處的梯度機動目錄上頁下頁返回結束向量第九十八頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二內(nèi)容小結1.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為機動目錄上頁下頁返回結束第九十九頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二2.梯度?三元函數(shù)在點處的梯度為?二元函數(shù)在點處的梯度為3.關系方向?qū)?shù)存在偏導數(shù)存在?可微機動目錄上頁下頁返回結束第一百頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二P732，3，6作業(yè)第八節(jié)目錄上頁下頁返回結束第一百零一頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二

第八章第六節(jié)一、二元函數(shù)的極值二、最值應用問題三、條件極值機動目錄上頁下頁返回結束二元函數(shù)的極值第一百零二頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二一、二元函數(shù)的極值

定義:

若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有機動目錄上頁下頁返回結束第一百零三頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二說明:

使偏導數(shù)都為0的點稱為駐點

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有存在故機動目錄上頁下頁返回結束第一百零四頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第一百零五頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束第一百零六頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;機動目錄上頁下頁返回結束第一百零七頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為機動目錄上頁下頁返回結束第一百零八頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二二、最值應用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達到最值

最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)機動目錄上頁下頁返回結束第一百零九頁，共一百二十頁，編輯于2023年，星期二例3.解:設水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應存在,的有蓋長方體水問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省