主講教師：總課時：124

第一講

函數的概念高等數學12023/6/7引言一、什么是高等數學?初等數學—

研究對象為常量,以靜止觀點研究問題.高等數學—

研究對象為變量,運動和辯證法進入了數學.數學中的轉折點是笛卡兒的變數.有了變數,運動進入了數學,有了變數，辯證法進入了數學,有了變數,微分和積分也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產生.恩格斯笛卡兒目錄上頁下頁返回結束22023/6/71.分析基礎:函數,極限,連續.2.微積分學:1)多元函數微分學4.

常微分方程主要內容2)一元積分學.機動目錄上頁下頁返回結束1)一元微分學;3.多元微積分:2)二重積分;3二、如何學習高等數學?1.認識高等數學的重要性,培養濃厚的學習興趣.2.學數學最好的方式是做數學.聰明在于學習,天才在于積累.學而優則用,學而優則創.由薄到厚,由厚到薄.馬克思恩格斯要辨證而又唯物地了解自然,就必須熟悉數學.一門科學,只有當它成功地運用數學時,才能達到真正完善的地步.第一節目錄上頁下頁返回結束華羅庚4謝謝觀賞2019-8-23給出了幾何問題的統一笛卡兒

(1596～1650)法國哲學家,數學家,物理學家,他是解析幾何奠基人之一.1637年他發表的《幾何學》論文分析了幾何學與代數學的優缺點,進而提出了“另外一種包含這兩門科學的優點而避免其缺點的方法”,從而提出了解析幾何學的主要思想和方法,恩格斯把它稱為數學中的轉折點.把幾何問題化成代數問題,作圖法,5謝謝觀賞2019-8-23華羅庚(1910～1985)我國在國際上享有盛譽的數學家.他在解析數論,自守函數論,高維數值積分等廣泛的數學領域中,程,都作出了卓越的貢獻,發表專著與學術論文近300篇.偏微分方多復變函數論,矩陣幾何學,典型群,他對青年學生的成長非常關心,他提出治學之道是“寬,專,漫”,即基礎要寬,專業要專,要使自己的專業知識漫到其它領域.1984年來中國礦業大學視察時給給師生題詞:“學而優則用,學而優則創”.6謝謝觀賞2019-8-23

三、高等數學的性質與作用

高等數學是數學的一個分支，是數學的基礎理論課之一，它是理工科大學生必修的數學基礎理論課程，也是學習后續數學的必修課，還是學習其他專業的必修課。

高等數學的概念、理論和方法對于學生畢業后從事科學研究、工程技術與管理工作都是不可缺少的內容。同時也是參加具有選拔功能的水平考試的必備基礎。

通過本課程的教學，使學生掌握較完整的高等數學基本知識的同時，注意培養學生的抽象思維能力、邏輯推理與判斷能力、空間想象能力、綜合運用能力和數學語言及符號的表達能力。結合習題課、課后作業、考試等相關教學環節提高學生綜合運用基本概念、基本理論、基本方法分析問題和解決問題的能力，并逐步培養學生科學求實、嚴謹準確的作風。通過本課程教學，與其它數學基礎課共同達到全面提高學生數學素質的目的。笛卡兒目錄上頁下頁返回結束7謝謝觀賞2019-8-23第一章分析基礎函數極限連續—

研究對象—

研究方法—

研究橋梁函數、極限、連續8謝謝觀賞2019-8-23

第一章二、函數一、集合機動目錄上頁下頁返回結束§1

函數9謝謝觀賞2019-8-23元素a

屬于集合

M,記作元素a

不屬于集合M

,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負數的集.機動目錄上頁下頁返回結束10謝謝觀賞2019-8-23表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數集合和有理數集

p與q

互質實數集合

x

為有理數或無理數開區間機動目錄上頁下頁返回結束11謝謝觀賞2019-8-23無限區間半開區間機動目錄上頁下頁返回結束閉區間12謝謝觀賞2019-8-23點的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:13謝謝觀賞2019-8-23主講教師：陳殿友總課時：124

第二講

函數的概念高等數學14謝謝觀賞2019-8-23二、函數1.函數的概念

定義2.設有兩個變量x和y，如果對于x所考慮范圍內的每一個值，y按一定的規則對應著一個確定的值，則稱y是x的函數，記作y=f(x).

定義3.對于自變量x變化范圍內的每一個值x0，函數y有一個確定的值y

0與之對應，我們稱函數在點x0處是有定義的，使函數有定義的全體的點的全體（也就是x的變化范圍）稱為函數的定義域。定義域自變量因變量15謝謝觀賞2019-8-23f(D)稱為值域函數圖形:機動目錄上頁下頁返回結束16謝謝觀賞2019-8-23(對應規則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對應規律的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達式及實際問題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數定義域值域機動目錄上頁下頁返回結束17謝謝觀賞2019-8-232.函數的幾種特性設函數且有區間(1)有界性使稱使稱

說明:

還可定義有上界、有下界、無界(見上冊P11)

例如函數f(x)=sinx在（-∞，+∞）內是有界的，數1就是它的一個上界，數-1就是它的一個下界。為有界函數.在I

上有界.機動目錄上頁下頁返回結束使若對任意正數M,均存在則稱f(x)

無界.|sinx|≤1

又如對于任一實數x都成立，故函數f(x)=sinx

（-∞，+∞）內是有界的.這里的M=1（當然也可以取大于1的任何數M而使|f(x)|≤M成立）.18謝謝觀賞2019-8-23

例如f(x)=x2在區間[0，+∞）上是單調遞增的，而在區間（-∞，0]上是單調遞減的.在區間（-∞，+∞）上不是單調的.

又如，函數f(x)=x3在區間（-∞，+∞）內是單調增函數.機動目錄上頁下頁返回結束(2)單調性當

時,稱為I

上的稱單調增函數;單調減函數.為I

上的19謝謝觀賞2019-8-23(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數;若則稱f(x)為奇函數.

說明:若在x=0有定義,為奇函數時,則當必有例如,

偶函數雙曲余弦記機動目錄上頁下頁返回結束20謝謝觀賞2019-8-23又如,奇函數雙曲正弦記再如,奇函數雙曲正切記機動目錄上頁下頁返回結束21謝謝觀賞2019-8-23(4)周期性且則稱為周期函數

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數不一定存在最小正周期.例如,常量函數狄里克雷函數x

為有理數x為無理數機動目錄上頁下頁返回結束22謝謝觀賞2019-8-23主講教師：陳殿友總課時：124

第三講

函數的概念高等數學23謝謝觀賞2019-8-233.反函數與復合函數(1)反函數的概念及性質習慣上,的反函數記成機動目錄上頁下頁返回結束其反函數(減)(減).1)y＝f(x)單調遞增且也單調遞增性質:

設函數y=f(x),當變量x在一個區域Df內變化時，變量y在區域Rf內變化，如果對于變量y在區域Rf內任取一個值y0，變量x在區域Df內有x0，使y0=f(x0),則x變量是y變量的函數,用表示，函數稱為函數y=f(x)的反函數.24謝謝觀賞2019-8-232)函數與其反函數的圖形關于直線對稱.例如,對數函數互為反函數,它們都單調遞增,其圖形關于直線對稱.機動目錄上頁下頁返回結束指數函數25謝謝觀賞2019-8-23(2)復合函數則

兩個函數的所謂復合，實際上就是中間變量介入自變量到因變量的變化過程.設有如下兩個函數稱為由①,②確定的復合函數

,①機動目錄上頁下頁返回結束②u

稱為中間變量.注意:

構成復合函數的條件不可少.例如,

函數:函數但函數不能構成復合函數

.可定義復合26謝謝觀賞2019-8-23機動目錄上頁下頁返回結束兩個以上函數也可構成復合函數.例如,可定義復合函數:27謝謝觀賞2019-8-234.函數的運算：加法，乘法，商。

設函數f(x),g(x)的定義域依次為D1,D2,D=D1∩D2≠則我們可以定義這兩個函數的下列運算:和(差)f±g:（f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈D;積f.g：（f.g)(x)=f(x).g(x),x∈D;商28謝謝觀賞2019-8-23例：設函數f(x)的定義域為(-l,l)，證明必存在的偶函數g(x)及奇函數h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).證先分析如下：假如這樣的g(x)、h(x)存在，使得f(x)=g(x)+h(x)，且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x).于是有f(－x)=g(－x)+h(－x)=g(x)－h(x).29謝謝觀賞2019-8-23利用（１）﹑（２）式，就可作出們作如下證明：作這就啟發我則g(x)+h(x)=f(x).且30謝謝觀賞2019-8-235.初等函數(1)基本初等函數冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數(2)初等函數由常數及基本初等函數否則稱為非初等函數

.例如,并可用一個式子表示的函數,經過有限次四則運算和復合步驟所構成,稱為初等函數.可表為故為初等函數.又如,

雙曲函數與反雙曲函數也是初等函數.(自學,P17–P21)機動目錄