電子電路基礎定理2023/6/7電子電路基礎定理§1.2基爾霍夫定律牢固掌握基爾霍夫定律

基本要求：能正確和熟練地應用KCL和KVL列寫電路方程電子電路基礎定理§1.2基爾霍夫定律1、有關術語

基爾霍夫定律概括了電路中電流和電壓分別遵循的基本規律，是用以分析和計算電路的基本依據。KCL適用于電路中的任一“節點”，KVL適用于電路中的任一“回路”。（1）支路：二端元件（2）節點：元件的端點（3）回路：電路中任一閉合路經（4）網孔：內部不含組成回路以外支路的回路（5）網絡：含元件較多的電路電子電路基礎定理

網孔的概念僅適用于平面電路。平面電路是指支路間沒有交叉點的電路。右圖為非平面電路。§1.2基爾霍夫定律電子電路基礎定理2、基爾霍夫電流定律

對于任一集中參數電路中的任一節點，在任一瞬間，流出（或流入）該節點的所有支路電流的代數和等于零。

KCL反映了電路中會合到任一節點的各電流間相互約束關系。§1.2基爾霍夫定律（基爾霍夫第一定律）KCL

電子電路基礎定理

對右圖所示電路應用KCL,取流出節點的支路電流為正，流入節點的支路電流為負，則有

KCL的實質是電流連續性原理在集中參數電路中的表現。所謂電流連續性：在任何一個無限小的時間間隔里，流入節點和流出節點的電流必然是相等的，或在節點上不可能有電荷的積累，即每個節點上電荷守恒。§1.2基爾霍夫定律請同學們現在列寫根據KCL寫出的電路方程稱為KCL方程

電子電路基礎定理KCL的重要性和普遍性還體現在該定律與電路中元件的性質無關，即不管電路中的元件是R、L、C、M、受控源、電源，也不管這些元件是線性、時變、非時變、…

KCL的也適用于廣義節點，即適合于一個閉合面。右圖所示電路，根據KCL設流入節點的電流為負，則

-i1-i2-i3=0

應用KCL時必須注意和電流的兩套符號打交道。

§1.2基爾霍夫定律電子電路基礎定理3、基爾霍夫電壓定律

對于任一集中參數電路中的任一回路，在任一瞬間，沿該回路的所有支路電壓的代數和等于零。

KVL反映了回路中各支路電壓間的相互約束關系。§1.2基爾霍夫定律（基爾霍夫第二定律）KVL

應用KVL時，應指定回路的繞行方向(可任意選取，可取順時針方向，也可取逆時針方向)。當支路電壓的參考方向與回路繞行方向一致時，該支路電壓取正號，反之取負號。電子電路基礎定理

對右圖所示電路應用KVL,取支路電壓方向與回路方向一致時為正，否則為負，則有：

KVL實質上是能量守恒定律在集中參數電路中的反映。單位正電荷在電場作用下，由任一點出發，沿任意路經繞行一周又回到原出發點，它獲得的能量（即電位升）必然等于在同一過程中所失去的能量（即電位降）。

§1.2基爾霍夫定律請同學們現在列寫根據KVL寫出的電路方程稱為KVL方程電子電路基礎定理KVL的重要性和普遍性也體現在該定律與回路中元件的性質無關。KCL、KVL只對電路中各元件相互連接時，提出了結構約束條件。因此，對電路只要畫出線圖即可得方程。

例：右圖所示電路中Ec=12V，Rc=5kΩ，Re=1kΩ，Ic=1mA，Ib=0.02mA，

求：Uce及c點、e點的電位c、

e。請同學們現在求解

§1.2基爾霍夫定律電子電路基礎定理§1.3從網絡到圖

基本要求：初步建立網絡圖論的概念圖、連通圖和子圖的概念樹、回路和割集的概念樹的選取，基本回路和基本割集的選取電子電路基礎定理§1.3從網絡到圖

1、網絡圖論概論

圖論是數學領域中一個十分重要的分支，這里所涉及的只是圖論在網絡中的應用，稱網絡圖論。網絡圖論也稱網絡拓撲。

為在計算機上系統地列出一個復雜網絡的方程以便分析，就要用到網絡圖論和線性代數的一些概念。

隨著計算機的發展，網絡圖論已成為計算機輔助分析中很重要的基礎知識，也是網絡分析、綜合等方面不可缺少的工具。電子電路基礎定理2、圖及其概念

圖論是數學家歐拉創始的。1736年歐拉解決了有名的難題，肯尼希堡城七橋問題。該鎮的普雷格爾河中有兩個小島，共有七座橋與兩岸彼此連通，問題：從陸地或島上任一地方開始，能否通過每座橋一次且僅僅一次就能回到原地。

歐拉用頂點表示陸地區域，用聯接相應頂點的線段表示各座橋（如左圖），于是七橋問題就變為一道數學問題：在左圖中是否可能連續沿各線段，從某一始點出發只經過各線段一次且僅僅一次又回到出發點，即是否存在一條“單行曲線”。§1.3從網絡到圖

電子電路基礎定理附錄：歐拉(Euler)

歐拉(Euler)，瑞士數學家及自然科學家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國彼得堡去逝。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的教育。13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲碩士學位。

歐拉是18世紀數學界最杰出的人物之一，他不但為數學界作出貢獻，更把數學推至幾乎整個物理的領域。他是數學史上最多產的數學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學中的經典著作。電子電路基礎定理

歐拉得出了一般結論，即存在單行曲線的必要、充分條件是奇次頂點（聯接于頂點的線段數為奇數）的數目為0。顯然右圖不滿足此條件，因此，七橋問題的答案是否定的。

在七橋問題中，歐拉用點表示陸地，用線段表示橋。圖論中，把一些事物及其之間的聯系用點和連接于點與點之間的線段來表示，因此，圖就是一些點與線段的集合。§1.3從網絡到圖電子電路基礎定理網絡圖論中的一條標準支路

在網絡圖中，將支路用線段表示，支路間的連接用點表示。§1.3從網絡到圖電子電路基礎定理

右圖網絡的網絡圖中包含有兩個獨立部分。雖然網絡中存在互感，但在網絡圖中并不反映出磁耦合M，因為M屬于網絡中支路的特性，而不屬于網絡圖的性質。一個網絡圖可以有多個獨立部分。

左面兩個圖，上面的圖中包含有一個單獨節點，下面的圖中有一條支路的兩端終止在同一個節點上，稱“自環”。這些情況都屬于圖，但對“自環”圖，將不作討論。§1.3從網絡到圖

電子電路基礎定理網絡圖：一組節點和一組支路的集合，且每條支路的兩端終止在兩個節點上（排除了“自環”情況）有向圖：若圖中的一組支路都標有方向，則這樣的圖稱有向圖。子圖：存在網絡圖G，若G1中的每個節點和每條支路就是G中的節點和支路，則G1是G的子圖。也即若存在圖G，則可從G中刪去某些支路或某些節點，得到子圖G1。§1.3從網絡到圖

電子電路基礎定理連通圖與非連通圖:當圖G的任意兩個節點之間至少存在著一條由支路構成的通路，這樣的圖就稱連通圖，如左上圖，否則就是非連通圖，如左中圖和左下圖所示。

一個連通圖也可以說成是一個獨立部分，一個非連通圖至少有兩個獨立部分，而每個獨立部分又是一個連通的子圖。

§1.3從網絡到圖

電子電路基礎定理回路：回路是一條閉合的路經。確切地說，有圖G，存在一個子圖G1，且①G1是連通的，②G1中與每個節點關聯的支路數恰好是2條。

對每個回路，可根據KVL，寫出Σu=0

的回路方程。§1.3從網絡到圖

電子電路基礎定理樹：一個連通圖G的一個子圖，如果滿足下列條件就稱為G的一棵樹：①連通的，②沒有回路，③包括G的全部節點。

構成樹的支路稱樹支，其余的支路稱連支。右圖中1、2、3號支路與所有節點構成樹T，4、5、6號支路為連支。

左圖中2、4、6號支路與全部節點構成樹T，1、3、5號支路為連支。§1.3從網絡到圖

電子電路基礎定理

同一個圖G，可選擇不同的樹。設圖G有n個節點，如果任意兩個節點之間都有一條支路聯接，則可選出nn-2個不同的樹。

右圖中有n=4個節點，所以可找到42=

16種樹（樹數的一般計算式子為detAAT，其中A為圖的降階關聯矩陣）。§1.3從網絡到圖電子電路基礎定理割集：割集是一組不包括節點的支路集合。有一連通圖G，存在一組支路集合，如果留下任一支路不取掉，則剩下的圖仍然是連通的，換言之，割集是一極小支路集。

取走割集將使連通圖分成兩個獨立部分，可以抽象地用高斯面（閉合面）將某一獨立部分包圍起來，由高斯面所切割的一組支路，就是割集。

左圖所示高斯面切割的1、4、5號支路構成割集。§1.3從網絡到圖電子電路基礎定理

在網絡圖中，可以將閉合面看作一個廣義節點。根據KCL，流出或者流入高斯面的支路電流的代數和為零，即流經一組割集的電流的代數和為零Σi=0

閉合面如何封閉是任意的（這主要是觀察位置不同，若在圖內觀察，則高斯面把圈外部分閉合），封閉面一旦閉合，一般以流出高斯面的電流為正，流入為負，因此也可認為割集有方向，一般取由閉合面里面指向外面為正方向。§1.3從網絡到圖電子電路基礎定理

有些圖，某些割集不便用高斯面，如下左圖中的1、2、3、4號支路就不能用高斯面切割，這時可改變一下圖的畫法。

有些圖，與高斯面相交的支路集不是割集。如右圖中的支路1、2、3、4，當這些支路取走后，將出現三個獨立部分。一般來說，如果圖G具有S個獨立部分，取走一組割集后，圖所應具有S+1個獨立部分。§1.3從網絡到圖電子電路基礎定理3、圖論的基本定理

若給定一個具有nt個節點，b條支路的連通圖G及G的一個樹T。在G的任何兩個節點之間，總有由T的樹支組成的唯一路經。若不考慮根節點(或起始節點)，每條樹支都有一個終止節點，則樹支數n=nt-1，連支數l=b-

(nt-1)=b-nt+1

每條連支都可以和一些樹支構成一個唯一的回路(因為樹本身沒有回路，增加一條連支，就可得一個回路)，即l=b-nt+1個回路，并稱單連支回路(也稱基本回路)。§1.3從網絡到圖電子電路基礎定理每條樹支都能和一些連支構成唯一的割集，共有n=nt-1個單樹支割集(基本割集)(∵樹本身是連通的，當取走一條樹支后，樹就分成兩個獨立部分，∴一條樹支和一些連支能構成一個割集)一個網絡的網絡圖有nt-1個基本割集，運用KCL可得nt-1個獨立的基本割集方程。一個網絡的網絡圖有b-nt+1個基本回路，由KVL可得b-nt+1個獨立的基本回路方程。每條支路都有一個支路約束方程，b條支路就有b個約束方程。§1.3從網絡到圖電子電路基礎定理因此，一個網絡總共可以有2b個獨立方程。

對每條支路來說，涉及兩個網絡變量，ik和uk，共有2b個變量。

由于獨立方程數和網絡變量數相等，完全可由2b個獨立方程求出2b個未知變量。§1.3從網絡到圖電子電路基礎定理§1.4KCL、KVL的矩陣形式基本要求：掌握關聯矩陣和降階關聯矩陣用降階關聯矩陣表示的KCL和KVL的矩陣形式電子電路基礎定理§1.4KCL、KVL的矩陣形式1、KCL的矩陣形式（系統分析方法）

右上圖所示為一個直流電阻電路N，可得其拓撲圖，如右下圖所示。

從拓撲圖中知，支路1與節點①和節點④關聯，支路2與節點①和節點②關聯，…，由此可以得到一個節點對支路的關聯矩陣Aa

電子電路基礎定理關聯矩陣由左圖，根據KCL，對每個節點列方程AaIb=0Aa矩陣描述了圖中節點對支路的關聯關系，即Aa=(aik)

§1.4KCL、KVL的矩陣形式電子電路基礎定理§1.4KCL、KVL的矩陣形式就每條支路而言，電流總是從一個節點流入，從另一個節點流出，所以關聯矩陣的每一列總有兩個非零元素，一個是正1，一個是負1。因此，把Aa的全部行加起來將得到一行全為零，就是說，Aa的所有行不是線性獨立的。AaIb=0就電路方程組而言，只要把四個方程任意劃去一個，剩下的三個方程就是線性無關的。因此，就Aa而言，只要劃去任一行，所得矩陣就是線性獨立的。電子電路基礎定理∴對nt個節點，b條支路的拓撲圖而言，可得ntb階關聯矩陣Aa，Aa的秩為nt-1

在關聯矩陣Aa中，任意劃去一行，得矩陣A，其秩仍為nt-1，A稱為降階關聯矩陣。

對電網絡來說，總是把與參考節點對應的行劃去，同樣可得矩陣方程：AIb=0

§1.4KCL、KVL的矩陣形式電子電路基礎定理§1.4KCL、KVL的矩陣形式已知一網絡圖，可以求得Aa或A。同樣，如果知道了Aa或A，也一定可得網絡圖。

如果已知降階關聯矩陣A，則先根據Aa中每列有兩個非零元素，且一個為1，另一個為-1的性質，求得Aa，再求有向圖。電子電路基礎定理

設e1、e2、e3、e4為節點電位，