應用物理系DEPARTMENT

OFAPPLIEDPHYSICS牟從普燕山大學理學院應用物理系congpumu@第一章質點運動學

運動學是描述隨時間的推移物體的空間位置的變化，不涉及物體間的相互作用與運動的關系。平面運動直線運動曲線運動前言§1.1質點的運動描述1.質點具有一定質量而形狀、大小可不計的物體，稱為質點。這是一種理想化模型。可以將物體簡化為質點的兩種情況：①物體不變形,只作平動.②物體本身線度和它活動范圍相比小得很多.注意：并不是只有小物體才可視為質點。§1.1質點的運動描述理想化模型是物理學的一種重要研究方法。它突出了事物最主要的因素而略去其它次要因素，使問題大大簡化。力學中常見的理想化模型有：質點、剛體、簡諧振動、簡諧波、理想流體等。例如：研究地球的自傳和公轉時，什么情況下可以把地球看為質點？§1.1質點的運動描述秦皇島到上海的火車研究從秦皇島到上海的時間(火車可以看為質點)研究火車通過某一個隧道所用的時間(火車不可以看為質點)§1.1質點的運動描述2.參考系(參照系)運動是絕對的而運動的描述卻是相對的。在地面上靜止的物體會跟著地球一起繞太陽旋轉；在勻速前進的火車上有一物自由下落，火車上的人看它是豎直下落，而地面上的人看來，它是向前平拋。因此，要描述一個物體的運動，應以另一物體作為參照，被選為參照的物體就稱為參照系或參考系。

從上面可以看出，參考系不同，同一物體同一運動會表現出不同的形式。對于參考系來說，我們可以任意選擇，那么參考系應該如何選擇？§1.1質點的運動描述當我們研究地面附近物體的運動時，常選地面或地面上固定的一些物體(房子、路牌等)作為參照系，這種參考系叫地面參考系研究太陽系中行星的運動時，則選太陽為參照系。

在物理實驗中，為確定某一物體位置時，我們就用固定在實驗室的物體，如周圍的墻壁或固定的實驗桌作為參考系，這樣的參考系叫實驗室參考系。參考系的選擇要是我們要解決問題最為簡便而定。§1.1質點的運動描述3.坐標系為了定量地描述物體(質點)的位置及位置的變化，需要在參考系上建立坐標系常用坐標系圖1三維直角坐標系PzxyOxyzrPOx圖2平面極坐標系§1.1質點的運動描述OrPxyz圖3球坐標系OP圖4自然坐標系自然坐標系是沿質點的運動的軌跡建立坐標系，在質點運動軌跡上任取一點O，(質點在任意時刻的位置都可以用到坐標原點的軌跡長度表示)切向單位矢量：所在點的軌跡切線方向法向單位矢量：垂直于切向并指向曲線凹側§1.1質點的運動描述4.位矢用來確定質點在某一時刻位置的矢量叫做質點的位置矢量，簡稱位矢或徑矢。位矢——由原點(參考點)引向質點位置的有向線段如圖：zxyOP建立直角坐標系O–xyz，令原點與參考點重合，則：§1.1質點的運動描述x,y,z是質點在直角坐標系中的位置坐標.zxyOP位矢的大小為：位矢方向余弦:§1.1質點的運動描述4.運動學方程質點在空間運動時，它的位矢將隨時間發生變化，即位矢

是時間的函數稱為質點的運動學方程(教材中叫運動函數)§1.1質點的運動描述質點運動時，描出的軌跡叫質點的運動軌跡，或質點的位矢的失端畫出的曲線，稱為位矢的矢端曲線，也為質點的軌跡PQ如圖：矢端曲線在運動方程中消去t可得到質點的軌跡方程(軌道方程)y=y(x)§1.1質點的運動描述例：一質點的運動學方程為求：質點的軌跡方程解：由運動學方程可知由此可知軌跡為圓§1.1質點的運動描述PQ路程質點在其軌跡上經過的路徑的總長度.注意：路程為標量與下邊學習的位移的區別§1.1質點的運動描述5.位移描述質點位置矢量在一段時間內的增量(位置矢量的增量)yxPQO位移——是由質點初位置引向末位置的矢量.在直角坐標系中坐標分解式：§1.1質點的運動描述yxPQO質點在t

到t+t這一段時間內的位移。其大小為質點在在t

到t+t這一段時間內的路程為：路程與位移的區別位移是矢量，路徑是標量位移的大小不一定等于路程僅當Δt→0時，無窮小的位移大小才與路程相等§1.1質點的運動描述例：運動員在跑道上跑完一圈又回到起點時，走過的路程為400米而位移=0[例題1]一質點在xOy平面內依照

x=t2的規律沿曲線

y=x3

/320

運動,求質點從第2秒末到第

4

秒末的位移(式中t

的單位為s；x，y的單位為cm).[解]§1.1質點的運動描述(cm)與水平軸夾角[問題]位移與參考系的選擇有關嗎？§1.1質點的運動描述7.速度.平均速度OPQ——質點位移與發生這一位移的時間間隔之比大小為§1.1質點的運動描述瞬時速度(簡稱速度)定義PQ方向：質點運動路徑的切向.大小：又稱為，瞬時速率(簡稱速率)§1.1質點的運動描述在直角坐標系中的分解式瞬時速度矢量反映了質點在某時或某位置的運動的快慢和方向，其具有矢量性、瞬時性和相對性。瞬時速度矢量反映了質點在某時或某位置的運動的快慢和方向，其具有矢量性、瞬時性和相對性。§1.1質點的運動描述[例題1]某質點的運動學方程為求:t=0,1s時質點的速度矢量.[解](單位m,s)yzO(單位m/s,s)t=0時,t=1s時,§1.1質點的運動描述8.加速度.平均加速度質點運動時，其速度的大小和方向都可能變化，為反映速度變化的快慢和方向引入加速度。定義速度增量：§1.1質點的運動描述注意:(1)說到平均加速度，一定要明確是哪一段時間或哪一段位移中的平均加速度.(2)一般瞬時加速度(簡稱加速度)定義§1.1質點的運動描述直角坐標中§1.1質點的運動描述描述質點運動的狀態參量的特性狀態參量包括（1）矢量性。注意矢量和標量的區別。（2）瞬時性。注意瞬時量和過程量的區別。（3）相對性。對不同參照系有不同的描述。應注意它們的§1.1質點的運動描述[例題2]某質點的運動學方程為求：質點的加速度矢量.(單位m,s)[解]a=10m/s2方向沿z軸.§1.1質點的運動描述例3.一個質點在平面上作橢圓運動，橢圓的兩個半軸長度分別是a、b。質點的運動學方程為：求：質點的速度和加速度。解：例4.一質點運動學方程求質點在x=-4時的速度、速率和加速度。解：而x=-4時，t=2，代入得§1.1質點的運動描述§1.2質點直線運動§1.2.1從坐標到速度和加速度§1.2.2從加速度到速度和坐標§1.2.1從坐標到速度和加速度1.運動學方程為描述質點的質點運動，通常選取質點的運動直線為坐標軸，原點為參考點，則質點運動學方程為OxPQx(t)x(t+t)x=x(t)標量式幾種常見直線運動的x-t圖勻速運動，勻加速運動，變加速直線運動§1.2.1從坐標到速度和加速度2.速度和加速度瞬時速度瞬時速率tOxPx-t曲線某點切線的斜率等于相應時刻的速度.瞬時加速度v-t曲線某點切線的斜率等于相應時刻的加速度.tOvPQ§1.2.1從坐標到速度和加速度§1.2.1從坐標到速度和加速度從以上可以看出，位移、速度、加速度都可以用標量表示，但注意它們的正負號代表了相應矢量的方向。例如：vx>0,表示速度沿x軸的正方向

vx<0,表示速度沿x軸的負方向§1.2.1從坐標到速度和加速度3.勻速與勻變速直線運動勻速直線運動x=x(t)則勻速vx=常數，a=0勻變速直線運動已知已知則則常數兩式消去t

§1.2.1從坐標到速度和加速度[例題1]一質點沿

x

軸作直線運動，其位置與時間的關系為

x

=

10

+

8

t

–

4

t2(單位m,s),求：（1）質點在第一秒第二秒內的平均速度.（2）質點在t=0、1、2s時的速度.[解]§1.2.1從坐標到速度和加速度方向與x軸正向相同§1.2.1從坐標到速度和加速度[例題2]如圖所示，一人在高為h的岸上以恒定速率v0收繩拉小船靠岸求：小船運動至離圖示位置時的速度和加速度[解]建立如圖所示坐標系由圖中可知小船的運動學方程為則有運動學方程可得§1.2.1從坐標到速度和加速度因為運動學方程中l是時間的函數并且因此[例題3]真空長直管沿豎直方向放置.自其中O點向上拋小球又落至原處所用的時間為t2.在小球運動過程中經過比O點高h處,小球離開h處至又回到h處所用時間為t1.現測得t1、t2和h，試決定重力加速度g.§1.2.1從坐標到速度和加速度[解]tOyh建坐標系如圖,測t2時，y0=0，v0y=v2，y=0，有又以上三式聯立得測t1時小球經h向上的速度為v0y=v1，有§1.2.1從坐標到速度和加速度[例題4]在同一鉛直線上相隔h的兩點以同樣的速率V0向上拋兩石子，但在高處的石子早t0秒被拋出求：此兩石子何時何處相遇§1.2.1從坐標到速度和加速度[解]以石子1所在處為坐標原點，y軸鉛直向上為正，拋出石子1時規定t=0，則石子的運動學方程

h21相遇時，y1=y2§1.2.1從坐標到速度和加速度解決問題的思路依據題意可知x(t)§1.2質點直線運動§1.2.1從坐標到速度和加速度§1.2.2從加速度到速度和坐標§1.2.2從加速度到速度和坐標C為任意常數，由初始條件確定將初始條件

t=t0x=x0

代入上式已知

vx

求x=x(t)和x

得§1.2.2從加速度到速度和坐標根據牛頓-萊布尼茨公式，有所以即質點位移為t0t

vOt§1.2.2從加速度到速度和坐標初始條件給定，運動方程便唯一確定.Ox0t0xtxt§1.2.2從加速度到速度和坐標已知

ax

求vx=vx(t)和x(t)C1為任意常數，由速度的初始條件確定將初始條件

t=t0v=v0x

代入上式得即根據牛頓-萊布尼茨公式，有由位置初始條件

t=t0x=x0

求運動學方程若a是常量(勻變速直線運動)，得兩式中消去t

§1.2.2從加速度到速度和坐標[例題5]一質點由靜止開始作直線運動，初始加速度為a0，以后加速度均勻增加，每經過時間τ后增加a0，求：經過時間ts后質點的速度和運動的距離.[解]據題意知，加速度和時間的關系為§1.2.2從加速度到速度和坐標§1.2.2從加速度到速度和坐標[例題6]跳水運動員沿鉛直方向入水，接觸水面時的速率為v0

，入水后地球對他的吸引和水的浮力作用相抵消，僅受水的阻礙而減速，自水面向下取Oy軸，其加速度為，vy

為速度，k為常量.求入水后運動員速度隨時間的變化.[解]設運動員為質點，根據已知條件有得可見運動員速度隨時間減小且當t→∞時，速度變為零.解決問題的思路依據題意可知a(t)§1.2.2從加速度到速度和坐標x(t)積分積分兩次積分§1.3曲線運動§1.3.1拋體運動§1.3.2圓周運動§1.3.3一般曲線運動§1.3.1拋體運動拋體運動

從地面上某點向空中拋出一物體，它在空中的運動就叫拋體運動O（x,y）1.軌跡方程建立如圖所示坐標系，在空中運動加速度為即只在y方向上有加速度，水平方向上加速度為0，物體運動可分解為§1.3.1拋體運動則兩個方向的速度為積分可得運動學方程消去時間可得軌跡方程O（x,y）§1.3.1拋體運動2.射高和射程O（x,y）H拋射物體運動到最高點時，則可以由速度公式得出上升時間t1將時間t1代入運動學方程可以得出射高H和水平射程RR當=45o時，射程最大§1.3.1拋體運動xy真空中軌道空氣中實際軌道通過理想情況得出拋物線，以此為基準，進一步研究各種不同阻力對運動的影響.§1.3.1拋體運動[例題1]一質點平面運動的加速度為ax=-Acost,ay=-Bsint,A≠B,A≠0,B≠0,初始條件為t=0,v0x=0,v0y=B,x0=A,y0=0,求：質點軌跡[解]由初始條件知§1.3.1拋體運動由初始條件知消去時間t，得軌跡方程表明質點的運動軌跡為橢圓。§1.3.1拋體運動[例題2]一人扔石頭的最大出手速率為v0=25m/s，他能否擊中與他水平距離L=50m，高H=13m的目標？在此距離上他能擊中目標的最大高度是多少？(g=9.8m/s2)[解]O（x,y）建立如圖所示坐標系，假設石頭以夾角被拋出，則石頭的軌跡方程為將v0=25m/s，L=50m代入軌跡方程可得§1.3.1拋體運動高度y隨著夾角變化，則求其極值得tg=1.2755，則最大高度為ymax=12.29m所以無法擊中H=13m的目標O（x,y）§1.3.1拋體運動(選講)3.用矢量討論拋體運動OO將拋體運動分解為沿速度方向和豎直方向上兩個運動。則物體的位移等于兩個方向上的位移的矢量和。即采用了斜坐標系的形式因而拋射體運動又可分解為：沿初速度方向的勻速直線運動＋自由落體運動。§1.3.1拋體運動(選講)[例題2]

如圖表示一演示試驗.拋體發射前，瞄準高處A的靶子，采取措施使靶子在拋體發射的同時開始自由下落.那么，不管拋體的初速率怎樣，拋體都能夠擊中靶子，這是為什么？OPA§1.3.1拋體運動(選講)[解]

沒有重力加速度，靶子就不會落下來，拋體也必沿著瞄準的方向以初速率v0

勻速前進，并打中靶子.這時，拋體經過的位移的大小等于v0

t,其中t為拋體從發射點到命中目標A點經過的時間.

但是，在t時間內，拋體除了進行位移外，還發生因重力加速度而引起的附加位移，拋體的總位移并最終到達P點.OPA§1.3.1拋體運動(選講)

與此同時,靶子自A點自由下落,并經歷了位移，且大小等于，并達到點.因，所以點與P

點重合，拋體擊中了靶子.[例題3]如圖所示，大炮向小山上的目標開火，此山的山坡與地平線的夾角為，試求發射角為多大時炮彈沿山坡射得最遠？[解]建立坐標系如圖所示.由運動疊加原理得炮彈的運動方程為設炮彈落于坡上距O為s位置處，則：§1.3.1拋體運動(選講)§1.3.1拋體運動(選講)聯立以上四個方程可得炮彈的飛行時間§1.3.2圓周運動圓周運動

1.勻速圓周運動△OABR△△s此時速率的大小不變，僅方向變化，當t0時，

方向垂直于

并指向圓心，此加速度稱為向心加速度其大小§1.3.2圓周運動2.勻變速圓周運動OABR△△sCA此時速度大小方向都在變化。第一項仍是由于速度方向變化而引起的向心加速度第二頂是由于速度大小變化引起的，方向沿軌道切線的切向加速度。§1.3.2圓周運動例題1

一質點沿半徑為R

的圓周按規律運動。求：(1)t時刻質點的加速度大小；(2)t為何值時a=a0?(2)當a=a0時，求出解：(1)質點運動速率加速度分量§1.3.2圓周運動3、圓周運動的角量描述xRP線速度的大小：s將叫作質點的角速度，用表示§1.3.2圓周運動質點在做變速率圓周運動時，又會隨著時間變化，定義角加速度角量與線量間的關系：§1.3.2圓周運動勻速率圓周運動：勻變速圓周運動：一般曲線運動§1.3.3一般曲線運動選取自然坐標系OS＞0PS＜0在曲線上選一點O為原點，用質點到原點的弧長S表示質點位置。質點運動學方程：S=S(t)沿軌道切線方向和法線方向作單位矢量：則質點運動速度：§1.3.3一般曲線運動O'P引入曲率圓（軌道上質點所在處的一小段弧線，與曲率圓相切）后，質點的加速度可套用圓周運動的結論，即有：其中為曲率圓半徑，在軌道不同地方其值不同。§1.3.3一般曲線運動例題1

一列火車由靜止開始速率均勻增大，其軌道半徑R=800m，的圓弧，已知啟動后t=3min時，列車的速率為v=20m/s求：啟動后t1=2min時列車的切向加速度、法向加速度和總加速度[解]火車上任意一點的切向加速度為：為了求t1時刻的法向加速度，則需先求出此時刻下的速率§1.3.3一般曲線運動則t1時刻的法向加速度因此t1時刻的加速度大小為§1.3.3一般曲線運動[例題2]

汽車在半徑為200m的圓弧形公路上剎車，剎車開始階段的運動學方程為(單位：m，s).[解]

加速度求汽車在t=1s時的加速度.§1.3.3一般曲線運動將R=200m及t＝1s代入上列各式，得為加速度與的夾角.§1.3.3一般曲線運動[例題3]低速迫擊炮彈以發射角45°發射,其初速率v0=90m/s.在與發射點同一水平面上落地.不計空氣阻力,求炮彈在最高點和落地點其運動軌跡的曲率半徑.[解]將炮彈視為質點,不計空氣阻力.在直角坐標系O-xy中,炮彈運動的速度與加速度為(1)在最高點§1.3.3一般曲線運動(2)在落地點例題4、在高處將小球以水平初速度v0拋出，求小球在任一時刻

t的位置、軌道方程、速度，切向加速度和法向加速度。xyO解：取坐標系如圖所示，則有§1.3.3一般曲線運動§1.4極坐標系(選講)OP(r,)x規定自極軸逆時轉為正，反之為負.質點的極坐標(r,).這里r是坐標不是位矢，當位矢的原點取在極點上時，兩者數字相同.r=常量

=常量不是常矢量徑向單位矢量橫向單位矢量運動學方程軌道方程極坐標系如圖，極點O，極軸Ox，幅角，1.位移若位矢的原點與極坐標的極點重合橫向位移徑向位移位移：極軸OA=OC§1.4極坐標系(選講)§1.4極坐標系(選講)2.速度徑向速度橫向速度極軸§1.5相對運動研究的問題:

在兩個慣性系中考察同一物體的運動靜止參照系S（相對觀察者固定不動）運動參照系S（相對S系沿x軸作勻速直線運動）一、伽利略變換OOxxyPzz或逆變換：y這組S系和S’系的時空變換關系即伽利略變化§1.5相對運動分量式：或：一般式：或：§1.5相對運動二、伽利略變換中蘊含的時空觀伽利略變換中的時空觀是：絕對空間和絕對時間觀。即：空間長度和時間的測量結果都與參考系的相對運動無關。此觀點只在相對運動速度較小下成立，當相對運動速度非常大，即與光在真空中速度時，同一長度或同一段時間的測量結果并不是絕對的，這將在狹義相對論中詳細介紹。§1.5相對運動三、伽利略速度變換將式兩邊一起求導有：因而通常說：絕對速度＝相對速度＋牽連速度。用分量式