第15講三角函數的運算知識點1角的概念的推廣1．定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．2．分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉方向不同分為正角、負角、零角；,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))3．終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．注：終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同．4．相反角：我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.【即學即練1】下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達式中正確的是()A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)【解析】與eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確．故選C．【即學即練2】【多選】(2022·長沙長郡中學高三模擬)下列條件中，能使α和β的終邊關于y軸對稱的是()A．α＋β＝540° B．α＋β＝360°C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°【解析】假設α，β為0°～180°內的角，如圖所示，由α和β的終邊關于y軸對稱，所以α＋β＝180°，又根據終邊相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°，k∈Z，所以滿足條件的為A、C．故選A、C．知識點2象限角和軸線角1.象限角角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,那么角的終邊在第幾象限,就認為這個角是第幾象限角．2.軸線角若角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限．易錯辨析：銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角．(×)【即學即練3】(多選)下列命題正確的是()A．終邊落在x軸的非負半軸的角的集合為{α|α＝2kπ，k∈Z}B．終邊落在y軸上的角的集合為{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))D．在－720°～0°范圍內所有與45°角終邊相同的角為－675°和－315°【解析】B項，終邊落在y軸上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，角度與弧度不能混用，故錯誤；C項，第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ<α<\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故錯誤；D項，所有與45°角終邊相同的角可表示為β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，解得－eq\f(17,8)≤k≤－eq\f(1,8)(k∈Z)，從而當k＝－2時，β＝－675°；當k＝－1時，β＝－315°，故正確．【即學即練4】終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合是______．(用角度表示)【解析】終邊落在第一象限角平分線上所有角的集合為A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在第三象限角平分線上所有角的集合為B＝{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}，所以終邊在第一、三象限角平分線上角的集合為A∪B＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．答案：{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}【即學即練5】角－2023°是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【解析】∵－2023°＝－6×360°＋137°，∴它是第二象限角．故選B知識點3弧度制的定義和公式1．定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示．2．公式角α的弧度數公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧長)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2注：有關角度與弧度的兩個注意點(1)角度與弧度的換算的關鍵是π＝180°，在同一個式子中，采用的度量必須一致，不可混用；(2)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．【即學即練6】已知扇形的圓心角為30°，其弧長為2π，則此扇形的面積為________．【解析】∵α＝30°＝eq\f(π,6)，l＝αr，∴r＝eq\f(2π,\f(π,6))＝12，∴扇形面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2π×12＝12π.【即學即練7】一個扇形的面積是1cm2，它的周長是4cm，則圓心角為________弧度，弧長為________cm.【解析】設扇形的圓心角為α，半徑為r.則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)αr2＝1，,αr＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2，,r＝1，))所以弧長l＝αr＝2，所以扇形的圓心角為2弧度，弧長為2cm.【即學即練8】已知弧度數為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長是()A．2 B.eq\f(2,sin1)C．2sin1 D．sin2【解析】如圖，取AB的中點C，連接OC，則OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC＝1rad，在△AOC中，sin1＝eq\f(1,r)，∴r＝eq\f(1,sin1)，∴所求弧長為αr＝eq\f(2,sin1).知識點4任意角的三角函數1．定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．2．推廣：設點P(x，y)是角α終邊上任意一點且不與原點重合，r＝|OP|，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．【即學即練9】已知角θ的終邊過點P(－12，m)，cosθ＝－eq\f(12,13)，則m的值為()A．－5 B．5C．±5 D．±8【解析】由三角函數的定義可知cosθ＝eq\f(－12,\r(－122＋m2))＝－eq\f(12,13)，解得m＝±5．【即學即練10】已知α是第二象限角，P(x，eq\r(5))為其終邊上一點，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，則x＝________．【解析】依題意，得cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x<0，由此解得x＝－eq\r(3)．答案：－eq\r(3)【即學即練11】若角α的終邊經過點P(3m，－4m)(m<0)，則sinα＋cosα＝________.【解析】由題意得r＝|OP|＝eq\r(3m2＋－4m2)＝5|m|＝－5m(O為坐標原點)，則sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－4m,－5m)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(3m,－5m)＝－eq\f(3,5)，故sinα＋cosα＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).知識點5正弦、余弦、正切函數值在各象限內的符號1．圖示：2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意為：第一象限各三角函數值均為正；第二象限只有正弦值為正，其余均為負；第三象限只有正切值為正，其余均為負；第四象限只有余弦值為正，其余均為負．【即學即練12】若α是第二象限角，則()A．cos(－α)>0 B．taneq\f(α,2)>0C．sin(π＋α)>0 D．cos(π－α)<0【解析】若α是第二象限角，則cos(－α)＝cosα<0，故A錯誤；eq\f(α,2)為第一、三象限角，則taneq\f(α,2)>0，故B正確；sin(π＋α)＝－sinα<0，故C錯誤；cos(π－α)＝－cosα>0，故D錯誤．故選B．【即學即練13】(2022·揚州中學月考)若α＝－5，則()A．sinα>0，cosα>0B．sinα>0，cosα<0C．sinα<0，cosα>0D．sinα<0，cosα<0【解析】因為－2π<α＝－5<－eq\f(3,2)π，所以α＝－5為第一象限的角，所以sinα>0，cosα>0.故選A知識點6同角三角函數的基本關系（1）平方關系：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.（平方關系對任意角都成立）（2）商數關系：同一個角α的正弦、余弦的商等于這個角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα（3）公式常見變形：①sin2α=1–cos2α；（）②cos2α=1–sin2α；（）③sinα=±；④cosα=±；⑤sinα=cosαtanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；（特別注意）⑥cosα=；⑦sin2α==；⑧cos2α==．⑨．⑩注：同角并不拘泥于角的形式，如sin2eq\f(α,2)＋cos2eq\f(α,2)＝1，eq\f(sin3x,cos3x)＝tan3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))都成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．解題策略：一、同角三角函數基本關系式的應用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表達式中含有sinθ，cosθ與tanθ“1”的變換1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ＝taneq\f(π,4)表達式中需要利用“1”轉化和積轉換利用關系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ進行變形、轉化表達式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ二、利用同角三角函數基本關系化簡、證明的常用方法(1)化切為弦，減少函數名稱．(2)對含根號的，應先把被開方式化為完全平方，再去掉根號．(3)對含有高次的三角函數式，可借助于因式分解，或構造平方關系，以降冪化簡．【即學即練14】若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，則tanα＝()A．－2B．2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【解析】∵eq\f(π,2)<α<π，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)．故選D【即學即練15】已知tanα＝2，則eq\f(3sinα－cosα,sinα＋2cosα)＝()A．eq\f(5,4)B．－eq\f(5,4)C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)【解析】原式＝eq\f(3tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3×2－1,2＋2)＝eq\f(5,4)．故選A知識點7誘導公式公式一1．設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：2．公式：sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）公式二1．角π＋α與角α的終邊關于原點對稱．如圖所示．2．公式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.公式三1．角－α與角α的終邊關于x軸對稱．如圖所示．2．公式：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.公式四1．角π－α與角α的終邊關于y軸對稱．如圖所示．2．公式：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.公式五1．角eq\f(π,2)－α與角α的終邊關于直線y＝x對稱，如圖所示．2．公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.拓展：公式六1.角eq\f(π,2)＋α與角eq\f(π,2)－α的終邊關于y軸對稱（eq\f(π,2)＋α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).）2．公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.拓展：解題策略：誘導公式的記憶方法：①口訣記憶法：奇變偶不變，符號看象限“奇”“偶”指的是“k·eq\f(π,2)＋αk∈Z”中的k是奇數還是偶數．“變”與“不變”是指函數的名稱的變化．“符號看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，將α看成銳角時，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的終邊所在的象限．“奇變偶不變，符號看象限”精析：（1）適用范圍：（即角中必須出現的整數倍才能使用誘導公式）（2）奇？偶？（使用誘導公式時先判斷是否需要變函數名）奇：指k是奇數（也即的系數是奇數）如變：指的是函數名發生改變，偶：指k是偶數（也即的系數是偶數）如，不變：函數名不發生變化（3）三角函數在各個象限的符號口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．（4）各個角所在的象限（無論具體是什么角，都將其視為銳角）——“順轉減，逆轉加”例：sin（360°＋120°）＝sin120°，sin（270°＋120°）＝－cos120°（5）確定符號：判斷符號時看原函數名，而非變化之后的函數名（6）實例：誘導公式1-6（7）補充：，，，，特殊：②圖象記憶法在圖中，能夠直觀地看到各形式的角應處的象限，確定符號很方便，很準確．學生有了這個圖，誘導公式計算化簡問題的準確率大大地提高了．拓展：簡單的誘導公式計算題學生都能夠看著圖計算正確，但遇到復雜些、綜合性強的計算，學生還會敗下陣來，如下題：即使是熟記口訣，熟悉圖象的學生，也往往顧此失彼、錯誤不斷．究其原因，如何準確看待這些角，以及化簡時使用誘導公式的先后順序，都影響著結果．遇到這類題，可以教學生這樣處理:先畫一個如下圖的直角坐標系，再把特殊的軸線角標記在對應軸線上，并記住在軸上則“名不變，符號看象限”，在軸上則“名稱變，符號看象限”．（注意判斷象限時+是逆時針方向，是順時針方向）這樣原本要多次用誘導公式化簡的，只需用一次即完成，大大縮減中間環節．，，，，于是依靠坐標軸，一步就到位．原式.此法使學生既快又準地得出結果，體驗到解題的樂趣．這樣對誘導公式進行靈活拓展處理，每一個式子都可以直接用誘導公式口訣化簡，大大減輕了計算量，提高了準確率．【即學即練16】已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))＝eq\f(2\r(2),3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ))＝()A．－eq\f(1,3)B．－eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2\r(2),3)【解析】sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ))＝eq\f(2\r(2),3)．故選D．知識點8兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β記憶口訣：1、余余正正符號反2、同名相乘、加減相反3、諧音：“吃吃睡睡，顛倒黑白”S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(異名相乘、加減一致)S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(異名相乘、加減一致)記憶口訣：1、正余余正符號同2、異名相乘、加減一致3、諧音：“上錯廁所，一一對應”T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)(兩式相除、上同下異)．T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)(兩式相除、上同下異)．注：①公式的常用變式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan(α＋β))＝eq\f(tanα－tanβ,tan(α－β))－1.②常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，等．【即學即練17】計算：sin108°cos42°－cos72°sin42°＝________．【解析】原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42°＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝eq\f(1,2)．【即學即練18】若tanα，tanβ是方程x2－6x＋7＝0的兩個根，則tan(α＋β)＝__________．【解析】由于tanα，tanβ是方程x2－6x＋7＝0的兩個根，所以tanα＋tanβ＝6，tanα·tanβ＝7，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(6,－6)＝－1．【即學即練19】已知tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，tan(α－β)＝eq\f(1,3)，則tan(π－2α)＝________．【解析】2α＝(α＋β)＋(α－β)，tan(π－2α)＝－tan2α，∴tan2α＝eq\f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，∴tan(π－2α)＝－1．知識點9二倍角公式二倍角是相對的，如：eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍.S2αsin2α＝2sin_αcos_α；變形：sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；變形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）②降冪公式：sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.③升冪公式：1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)；1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)；1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2.④萬能公式：拓展：⑤半角公式：拓展：【即學即練20】【多選】(2022·南京月考)下列各式中，值為eq\f(\r(3),2)的是()A．2sin15°cos15° B．cos215°－sin215°C．1－2sin215° D．eq\f(3tan15°,1－tan215°)【解析】A項，2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)；B項，cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)；C項，1－2sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)；D項，eq\f(3tan15°,1－tan215°)＝eq\f(\f(3,2)×2tan15°,1－tan215°)＝eq\f(3,2)×tan30°＝eq\f(3,2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),2)．故選B、C、D．知識點10輔助角公式asinx+bcosx=sin(x+φ)，其中cosφ=,sinφ=．其中φ稱為輔助角，它的終邊所在象限由點（a，b）決定．【即學即練21】若eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(2,3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,6)))＝________．【解析】由eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(2,3)，得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(2,3)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(2\r(2),3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(\r(2),4)，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,6)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(\r(2),4)．考點一象限角與終邊相同的角解題方略：1、象限角的2種判斷方法圖象法在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉化法先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角2、求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步驟(1)將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)兩邊同除以n或乘以n；(3)對k進行討論，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．注：確定角（n∈N）終邊所在象限的方法：已知角終邊所在的象限，確定（n∈N）終邊所在象限的常用方法有以下兩種：一是分類討論法．利用已知條件寫出α的范圍（用k表示），由此確定的范圍，然后對k進行分類討論，從而確定所在象限．二是幾何法．先把各象限均分為n等份，再從x軸的正方向的上方起，逆時針依次將各區域標上一、二、三、四，一、二、三、四，…則α原來是第幾象限角，標號為幾的區域即終邊所在的區域．3、利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需的角．4、注意“順轉減，逆轉加”的應用，如角α的終邊逆時針旋轉180°可得角α＋180°的終邊，類推可知α＋k·180°(k∈Z)表示終邊落在角α的終邊所在直線上的角。（一）終邊相同的角【例1-1】若角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線y＝－eq\r(3)x上，則角α的取值集合是()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z)))) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z)))) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))【解析】因為直線y＝－eq\r(3)x的傾斜角是eq\f(2π,3)，tanα＝－eq\r(3)，所以終邊落在直線y＝－eq\r(3)x上的角的取值集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z))))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))．故選D．變式1：若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（

）A． B．C． D．【解析】，由圖知，角的取值集合為:故選：D.【例1-2】在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于直線對稱.若，則___________.【解析】因在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于直線對稱，則有，即，而，所以，，.故答案為：（二）象限角【例1-3】給出下列四個命題：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確命題的個數為()A．1 B．2C．3 D．4【解析】①中－eq\f(3π,4)是第三象限角，從而①錯．②中eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，則eq\f(4π,3)是第三象限角，從而②正確．③中－400°＝－360°－40°，從而③正確．④中－315°＝－360°＋45°，從而④正確．【例1-4】已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)是第______象限角，2α是________的角．【解析】∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，∴kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z，4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.當k為偶數時，eq\f(α,2)為第二象限角；當k為奇數時，eq\f(α,2)為第四象限角，而2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負半軸上．【例1-5】(2022·濟南月考)集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()【解析】當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范圍一樣；當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此時α表示的范圍與π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范圍一樣，故選C．考點二扇形的弧長及面積公式的應用解題方略：有關弧長及扇形面積問題的注意點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題，利用配方法使問題得到解決；(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．（一）弧長的有關計算【例2-1】一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l．已知α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的弧長、面積及弧所在弓形的面積．【解析】由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)∴S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×102＝eq\f(50π,3)(cm2)．S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)．變式1：若扇形的圓心角是α＝120°，弦長AB＝12cm，則弧長l等于()A.eq\f(4\r(3),3)πcm B.eq\f(8\r(3),3)πcmC．4eq\r(3)cm D．8eq\r(3)cm【解析】設扇形的半徑為rcm，如圖．由sin60°＝eq\f(6,r)，得r＝4eq\r(3)cm，∴l＝|α|·r＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)π(cm)．變式2：(2022·佛山三模)若圓弧長度等于圓內接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．3 D．eq\r(3)【解析】如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內接三角形，則線段AB所對的圓心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，作OM⊥AB，垂足為M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq\f(π,3)，∴AM＝eq\f(\r(3),2)r，AB＝eq\r(3)r，∴l＝eq\r(3)r，由弧長公式得α＝eq\f(l,r)＝eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3)．扇形面積的有關計算【例2-2】如圖所示的時鐘顯示的時刻為3：30，此時時針與分針的夾角為.若一個扇形的圓心角為a，弧長為10，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【解析】由圖可知，，則該扇形的半徑，故面積.故選：D變式1：“圓材埋壁”是我國古代的數學著作《九章算術》中的一個問題，現有一個“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示，若圓柱形材料的底面半徑為1，截面圓圓心為，墻壁截面為矩形，且，則扇形的面積是__________.【解析】由題意可知，圓的半徑為，即，又，所以為正三角形，∴，所以扇形的面積是.故答案為：變式2：九章算術是中國古代的數學名著，其中方田一章涉及到了弧田面積的計算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分.若弧田所在圓的半徑為，圓心角為，則此弧田的面積為__________．【解析】依題意，等腰底邊，高，則的面積為，而扇形的面積為，則有陰影部分的面積為，所以此弧田的面積為.故答案為：（三）扇形中的最值問題【例2-3】(2022·襄陽模擬)已知扇形的周長為8cm，則該扇形面積的最大值為________cm2．【解析】設扇形半徑為rcm，弧長為lcm，則2r＋l＝8(0<r<4)，S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，當r＝2時，扇形面積最大，所以Smax＝4(cm2)．變式1：已知扇形的面積是4cm2，當扇形周長最小時，扇形的圓心角的弧度數為________．【解析】設此扇形的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，則扇形的面積S＝eq\f(1,2)lr＝4，所以l＝eq\f(8,r)，設扇形的周長為L，則L＝2r＋l＝2r＋eq\f(8,r)，r∈(0，＋∞)．方法一由基本不等式得2r＋eq\f(8,r)≥2eq\r(16)＝8，當且僅當2r＝eq\f(8,r)，即r＝2時，等號成立，扇形的周長取得最小值8，此時l＝eq\f(8,r)＝4，故α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,2)＝2.方法二由L′＝2－eq\f(8,r2)＝eq\f(2r2－8,r2)＝0，得r＝2，所以當r∈(0,2)時，L′<0，L＝2r＋eq\f(8,r)單調遞減；當r∈(2，＋∞)時，L′>0，L＝2r＋eq\f(8,r)單調遞增，所以當r＝2時，扇形的周長取得最小值．此時l＝eq\f(8,r)＝4，故扇形的圓心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,2)＝2.變式2：如圖，圓心角為的扇形的半徑為2，點C是弧AB上一點，作這個扇形的內接矩形．(1)求扇形的周長；(2)當點C在什么位置時，矩形的面積最大？并求出面積的最大值．【解析】(1)由題，弧AB長為，故扇形的周長為：；(2)設，則，，所以，所以矩形的面積，，所以當時，取得最大值，即當C在弧AB中點時，矩形的面積最大，最大值為.（四）扇形弧長公式與面積公式的應用【例2-4】已知某扇形的周長是，面積是，則該扇形的圓心角的弧度數為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．1或5【解析】設扇形的弧長為，半徑為，所以，解得或，所以圓心角的弧度數是或.故選：C變式1：已知圓錐的底面周長為，其側面展開圖的圓心角為，則該圓錐的高為（

）A．3 B． C．1 D．【解析】由題設，底面半徑，母線長，所以圓錐的高.故選：B變式2：某圓錐的側面展開圖是弧長為且圓心角為的扇形，則此圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．【解析】設圓錐的母線長為l，底面圓半徑為r，則l即為展開圖扇形所在圓半徑，于是得，解得，圓錐底面圓周長為展開圖扇形弧長，即，解得，所以圓錐的側面積.故選：C（五）與數學文化有關問題【例2-5】《擲鐵餅者》取材于希臘的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現力的瞬間．現在把擲鐵餅者張開的雙臂及肩膀近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的一只手臂長約為米，整個肩寬約為米．“弓”所在圓的半徑約為1米．則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（

）（參考數據：，）A．1.412米 B．1.414米 C．1.732米 D．1.734米【解析】如圖所示，弓形所在的弧長為，因為“弓”所在圓的半徑約為1米，所以弓形所對的圓心角為，所以兩手之間的距離為米.故選：C.變式1：中國傳統折扇有著極其深厚的文化底蘊.《樂府詩集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“疊扇放床上，企想遠風來輕袖佛華妝，窈窕登高臺.”如圖所示，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打開時圓心角為，扇面所在大圓的半徑為，所在小圓的半徑為，那么這把折扇的扇面面積為（

）A． B． C． D．以上都不對【解析】由題意得，大扇形的面積為，小扇形的面積為，所以扇面的面積為.故選：B變式2：中國傳統扇文化有著極其深厚的底蘊.按如下方法剪裁，扇面形狀較為美觀.從半徑為的圓面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧長與圓周長的比值為，再從扇形中剪下扇環形制作扇面，使扇環形的面積與扇形的面積比值為.則一個按上述方法制作的扇環形裝飾品（如圖）的面積與圓面積的比值為（

）A． B． C． D．【解析】記扇形的圓心角為，扇形的面積為，扇環形的面積為，圓的面積為，由題意可得，，，，所以，因為剪下扇形后所剩扇形的弧長與圓周長的比值為，所以，則，所以.故選：D.考點三三角函數的定義及其應用解題方略：三角函數的定義中常見的四種題型及解決方法求已知角三角函數值，一般求已知角的終邊與單位圓的交點坐標，再利用三角函數的定義求解．已知角α終邊上一點P的坐標，求角α的三角函數值，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數的定義求解．，，.（注：利用三角函數的定義，求一個角的三角函數值時，需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x，縱坐標y，該點到原點的距離r．）(3)已知角α的一個三角函數值和終邊上一點P的橫坐標或縱坐標，求角α的三角函數值．先求出點P到原點的距離(帶參數)，根據已知三角函數值及三角函數的定義建立方程，求出未知數，從而求解問題；（注：(4)已知角α的終邊在直線上求α的三角函數值時，常用的解題方法有以下兩種：①②注意到角的終邊為直線，所以應分兩種情況來處理，取射線上任一點坐標(a，b)(a≠0)，則對應角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(b,a).（注：若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意“在終邊上任取一點”應分兩種情況（點所在象限不同）進行分析．）利用定義求角的三角函數值【例3-1】已知角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【解析】因為角的終邊過點，由任意三角形的定義知：，.故選：D.變式1：已知角的始邊與軸非負半軸重合，終邊過點，則（

）A． B． C． D．【解析】由題意，角的始邊與軸非負半軸重合，終邊過點，可得，根據三角函數的定義，可得，所以.故選：B.變式2：平面直角坐標系xOy中，若角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，其終邊上一點P繞原點順時針旋轉eq\f(π,6)到達點Q(3,4)的位置，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(4,5)【解析】依題意可知Q(3,4)在角α－eq\f(π,6)的終邊上，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(4,\r(32＋42))＝eq\f(4,5)，故選D．（二）由三角函數值求終邊上的點或參數【例3-2】(2022·臨沂模擬)已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)【解析】由題意得點P(－8m，－3)，r＝eq\r(64m2＋9)，所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝±eq\f(1,2)，又cosα＝－eq\f(4,5)<0，所以－8m<0，即m>0，所以m＝eq\f(1,2)．故選C變式1：已知角α的終邊上一點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，則cosα＝________，tanα＝________.【解析】由sinα＝eq\f(m,\r(3＋m2))＝eq\f(\r(2)m,4)，解得m＝±eq\r(5)，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，當m＝eq\r(5)時，cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當m＝－eq\r(5)時，cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).變式2：已知點是角終邊上一點，且，則等于（

）A． B． C． D．【解析】因點是角終邊上一點，則有，而，于是得，解得，則，因此，，所以等于.故選：A（三）由單位圓求三角函數值【例3-3】已知角α的終邊與單位圓的交點為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，則sinα·tanα等于()A．－eq\f(\r(3),3)B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2)D．±eq\f(3,2)【解析】設O為坐標原點，由|OP|2＝eq\f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq\f(3,4)，y＝±eq\f(\r(3),2).方法一當y＝eq\f(\r(3),2)時，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，此時，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).當y＝－eq\f(\r(3),2)時，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\r(3)，此時，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).所以sinα·tanα＝－eq\f(3,2).方法二由三角函數定義知，cosα＝－eq\f(1,2)，sinα＝y，所以sinα·tanα＝sinα·eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(sin2α,cosα)＝eq\f(y2,－\f(1,2))＝eq\f(\f(3,4),－\f(1,2))＝－eq\f(3,2).故選C變式1：設，角的終邊與圓的交點為，那么（

）A． B． C． D．【解析】畫圖，角的終邊與圓的交點為，設，則，，代入得，解得，∵，∴，∴，又∵在單位圓中，，，∴，，∴，故選：D變式2：已知單位圓上在第一象限內的一點P沿圓周逆時針旋轉eq\f(π,3)到點Q，若點Q的橫坐標為－eq\f(1,2)，則點P的橫坐標為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)【解析】由單位圓上第一象限一點P沿圓周逆時針旋轉eq\f(π,3)到點Q，點Q的橫坐標為－eq\f(1,2)，所以cos∠xOQ＝－eq\f(1,2)，即∠xOQ＝eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以∠xOP＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，設點P的橫坐標為x0，則x0＝cos∠xOP＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)．故選B．（四）已知角α的終邊在直線上求三角函數值【例3-4】已知α的終邊在直線y＝2x上，則sinα＝________.【解析】由題意可知，α終邊落在第一或第三象限，且tanα＝2，若在第一象限，可在α終邊上任取一點(1,2)，∴sinα＝eq\f(2,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)，若在第三象限，可在α終邊上任取一點(－1，－2)，∴sinα＝eq\f(－2,\r(－12＋－22))＝－eq\f(2\r(5),5).變式1：若點在直線上，則的值等于（

）A． B． C． D．【解析】點在直線上，故，，故選：A.變式2：若的終邊在射線上,則_____,_____．【解析】在的終邊在射線上,任意取一點則,則,故答案為;.考點四三角函數值符號的判定解題方略：三角函數值符號及角所在象限的判斷三角函數值在各個象限的符號與角的終邊上的點的坐標密切相關．sinα在一、二象限為正，cosα在一、四象限為正，tanα在一、三象限為正．學習時首先把取正值的象限記清楚，其余的象限就是負的，如sinα在一、二象限為正，那么在三、四象限就是負的．值得一提的是：三角函數的正負有時還要考慮坐標軸上的角，如sineq\f(π,2)＝1>0，cosπ＝－1<0．【例4-1】若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，則角θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【解析】由eq\f(tanθ,sinθ)>0，得eq\f(1,cosθ)>0，所以cosθ>0.又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ為第四象限角．故選D變式1：若α為第二象限角，則cos2α，coseq\f(α,2)，eq\f(1,sin2α)中，其值必為正的有()A．0個B．1個C．2個 D．3個【解析】由題意知，2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋π(k∈Z)，則4kπ＋π<2α<4kπ＋2π(k∈Z)，所以2α的終邊在第三、第四象限或y軸的負半軸上，所以sin2α<0，cos2α可正可負也可為零．因為kπ＋eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，所以eq\f(α,2)的終邊在第一或第三象限，所以coseq\f(α,2)可正可負．故選A．變式2：已知α為第二象限角，則()A．2sin2α－1<0 B．sinα(1＋cosα)>0C．sinαcosα>0 D．sinαtanα>0【解析】∵α為第二象限角，∴0<sinα<1，－1<cosα<0，tanα<0，∴2sin2α－1＝sin2α＋sin2α－1＝sin2α－cos2α＝－cos2α，又∵－1<－cos2α<1，∴－1<2sin2α－1<1，sinα(1＋cosα)>0，sinαcosα<0，sinαtanα<0．故選B．【例4-2】(2022·淄博模擬)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在【解析】∵eq\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2·cos3·tan4<0．故選A考點五同角三角函數基本關系式的應用解題方略：（一）利用同角三角函數的基本關系求值【例5-1】已知為銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．【解析】因為，所以，又為銳角，所以，故選：C變式1：(2022·北京模擬)已知α∈(0，π)，cosα＝－eq\f(3,5)，則tanα＝()A．eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)【解析】因為cosα＝－eq\f(3,5)且α∈(0，π)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3)．故選D．（二）利用同角三角函數基本關系化簡求值【例5-2】(2022·濟南模擬)若角α的終邊在第三象限，則eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))＝()A．3B．－3C．1 D．－1【解析】由角α的終邊在第三象限，得sinα<0，cosα<0，故原式＝eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(2sinα,|sinα|)＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－1－2＝－3，故選B．考點六已知值的求值問題（齊次式）解題方略：弦切互化：已知（1）分式齊1次式=（2）分式齊2次式（3）齊2次整式【例6-1】若，則（

）A． B． C． D．【解析】，故選：A．變式1：若，則的值是（

）A． B． C． D．【解析】因為，所以.故選：A變式2：已知，，則（

）A． B． C． D．【解析】∵，∴，，可得，∵，∴.故選：A.變式3：若，則（

）A． B． C． D．【解析】由可得，解得：，故選：C.考點七sinα±cosα與sinα·cosα之間的關系解題方略：（1）公式變形：（2）利用sin2α＋cos2α＝1可實現正弦、余弦的互化，開方時要根據角α所在象限確定符號；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實現角α的弦切互化；利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的關系可實現和積轉化．（3）同角三角函數關系式的方程思想對于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個式子，知一可求二，轉化公式為(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據α的范圍選取正、負號)，體現了方程思想的應用．【例7-1】若sinθ－cosθ＝eq\f(4,3)，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，則sin(π－θ)－cos(π－θ)＝()A．－eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(2),3)C．－eq\f(4,3) D．eq\f(4,3)【解析】由sinθ－cosθ＝eq\f(4,3)，得1－2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，即2sinθcosθ＝－eq\f(7,9)，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴sinθ＋cosθ<0，∴sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(2),3)，則sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(2),3)，故選A．變式1：已知，且，給出下列結論：①；②；③；④.其中所有正確結論的序號是（

）A．①②④ B．②③④C．①②③ D．①③④【解析】∵,，等式兩邊平方得，解得，故②正確；∵，，∴，,故①正確，③錯誤；由可知，，且，解得，故④正確，故選：A變式2：若，則（

）A． B． C． D．【解析】因為，所以，所以，所以，，所以，，即，所以，故選：A變式3：(2022·天津模擬)已知sinα＋cosα＝－eq\r(2)，則tanα＋eq\f(1,tanα)＝________．【解析】由已知得1＋2sinαcosα＝2，∴sinαcosα＝eq\f(1,2)，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2．考點八誘導公式的應用解題方略：1．學會巧妙過渡，熟知將角合理轉化的流程也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了．”2．明確三角函數式化簡的原則和方向(1)切化弦，統一名；(2)用誘導公式，統一角；(3)用因式分解將式子變形，化為最簡．3．含2π整數倍的誘導公式的應用由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數倍的三角函數式中可直接將2π的整數倍去掉后再進行運算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα．（一）利用誘導公式化簡與求值三角函數式化簡的常用方法（1）合理轉化：①將角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式,②依據所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數轉化為角α的三角函數.（2）切化弦：一般需將表達式中的切函數轉化為弦函數.提醒：注意分類討論思想的應用.【例8-1】已知，則（

）A． B． C． D．【解析】因為，所以．故選：A變式1：(2022·廣東聯考)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(3,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－x))＝()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝－eq\f(3,5)．故選B．變式2：已知α是第二象限角，角β的終邊經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosπ＋α，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))))，則β為()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【解析】∵cos(π＋α)＝－cosα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))＝cosα，又α為第二象限角，∴cosα<0，－cosα>0，∴點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosπ＋α，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))))位于第四象限，∵角β的終邊經過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosπ＋α，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))))，∴β為第四象限角．故選D．變式3：已知是方程的根，且是第三象限的角，求的值【解析】方程的兩根分別為與，由于是第三象限的角，則，所以，所以，∴原式．（二）給值(式)求值問題解決條件求值問題的兩技巧（1）尋找差異：解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名及有關運算之間的差異及聯系.（2）轉化：可以將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化.提醒：設法消除已知式與所求式之間的種種差異是解決問題的關鍵.注：解決該類題型時要具有整體的思想，不要輕易將條件中的角度用正弦、余弦的和、差角公式展開，而應該盡量將角度看成整體，觀察這些整體角度間的關系（通常是加、減后得出特殊角）．“+”為異號，“-”為同號（一般用所求角-已知角）【例8-2】已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－eq\f(1,3)，且0<x<eq\f(π,2)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))的值為___________．【解析】由0<x<eq\f(π,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－eq\f(1,3)知，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(2\r(2),3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(2\r(2),3)．變式1：【多選】已知，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【解析】由，可得，，，．故選：BD變式2：已知，則（

）A． B． C． D．【解析】．故選：A變式3：已知，則（

）A． B． C． D．【解析】故選：D.考點九誘導公式與同角關系式的綜合應用解題方略：利用誘導公式與同角三角函數關系解題的策略基本思路(1)分析結構特點，選擇恰當的公式；(2)利用公式化成單角三角函數；(3)整理得最簡形式化簡要求(1)化簡過程是恒等變換；(2)結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值【例9-1】若，，則的值為（

）A．或 B． C． D．【解析】由可得：，平方得：所以，解得或，又，所以，故，故選：C變式1：已知角θ的終邊在第三象限，tan2θ＝－2eq\r(2)，則sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq\r(2)cos2θ＝()A．－eq\f(\r(2),6)B．eq\f(\r(2),6)C．－eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)【解析】由tan2θ＝－2eq\r(2)可得tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝－2eq\r(2)，即eq\r(2)tan2θ－tanθ－eq\r(2)＝0，解得tanθ＝eq\r(2)或tanθ＝－eq\f(\r(2),2)．又角θ的終邊在第三象限，故tanθ＝eq\r(2)，故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq\r(2)cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－eq\r(2)cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－\r(2)cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－\r(2),tan2θ＋1)＝eq\f(\r(2)2＋\r(2)－\r(2),\r(2)2＋1)＝eq\f(2,3)．故選D變式2：已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－eq\f(1,5)．求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．【解析】由已知，得sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，兩邊平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25)．∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，由－π<x<0知，sinx<0，又sinxcosx＝－eq\f(12,25)<0，∴cosx>0，∴sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5)．eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175)．考點十和、差、倍角公式的應用解題方略：1、應用和、差、倍角公式化簡求值的策略(1)首先要記住公式的結構特征和符號變化規律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”；(2)注意與同角三角函數基本關系、誘導公式的綜合應用；(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應用．2、和、差、倍角公式的逆用和變形用的應用技巧(1)逆用公式應準確找出所給式子與公式的異同，創造條件逆用公式；(2)和差角公式變形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1?tanα·tanβ)；(3)倍角公式變形：降冪公式．注：tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常與一元二次方程根與系數的關系結合命題．3、三角函數公式求值中變角的解題思路(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；(2)當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，再應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”．4、三角函數名的變換技巧明確各個三角函數名稱之間的聯系，常常用到同角三角函數的基本關系、誘導公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦．（一）和、差、倍角公式的直接應用【例10-1】已知角為第二象限角，，則的值為（

）A． B．C． D．【解析】因為角為第二象限角，所以，則.故選：D.變式1：已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的兩個實根，且α∈（0，π），則cos（α+）＝（

）A． B．﹣ C． D．﹣【解析】因為sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的兩個實根，所以，，因為，且，所以且，所以，所以.故選：D.和、差、倍角公式的逆用及變形用【例10-2】(2022·T8聯考)已知eq\r(3)tan20°＋λcos70°＝3，則λ的值為()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)【解析】由已知，eq\f(\r(3)sin20°,cos20°)＋λsin20°＝3，則eq\r(3)sin20°＋λsin20°cos20°＝3cos20°，從而eq\f(λ,2)sin40°＝3cos20°－eq\r(3)sin20°＝2eq\r(3)sin(60°－20°)＝2eq\r(3)sin40°，所以λ＝4eq\r(3)，故選D．變式1：若eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(2,3)，則taneq\b\