微分幾何——曲面論基本定理研究曲面論基本定理基于我們對符號的定義，曲面上的自然標價為｛r;r,r,n｝，對于常微分方程組dr =rTOC\o"1-5"\h\zdui idr _<—i-=rkr+0n（Gauss公式）duj jkjdn _ =一①kr（Weingarten公式）duj jkQ=b=-rnijijij可解得系數Jrk=1gki +典一挙］,相關系數可算得ij2 (d“i duj dui丿3j=-b gkji ikr111=—g112g〔鴛+螢-Idui duidg)——ndr111=—g112g〔鴛+螢-Idui duidg)——ndu1丿r112企+Vduidg dg)——11———12du2 du1丿r1=1g11222冬+Vdu2r21=1g-［生+Vdu1dg dg ) C1 cc21 22du12 du1 丿dg dg )du1 du2 丿1222dgVdu1du2du2dgdg ccVdu2du2du2假定曲線有三次以上得連續可微性，要使方程組有解當且僅當滿足r=rijjiJr=rijk ikjn=nij ji由此可得到曲面的第一基本兩和第二基本量需要滿足的相容性條件R=bb—bb(Gauss方程)

ijklijilikjl=bri—bri(Codazzi方程)

ljiklkij

其中存在關系Ri=gisR,Ri= j- ik+rsri-Tsr1。雖然Gauss-Codazzi方程ijk sijkijk8ukQuj jsk iksj很復雜，但是考慮到對稱的性質，在Gauss方程中只包含了2個方程，Codazzi方程中只包含了1個條件。R =-[bb-(b)2]1212112212QbQb——11———12二bTi-bTiQu2Qu11i 122i11QbQb——21 22二bTi-bTiQu2Qu11i222i21——人 。對于正交網(——人 。對于正交網(F=°)gg-(g)2112212由此我們也可以得出曲面Gauss曲率K二一二-來說Gauss曲率的計算公式可化簡為K來說Gauss曲率的計算公式可化簡為K=-。公式說明曲丿」uv面兩個主曲率的乘積是由曲面的第一基本形式決定的，即為一個內蘊量，這就是高斯的絕妙定理：曲面的Gauss曲率是曲面在保長變換（即保持第一基本形式不變的彎曲變形）下的不變量。利用高斯的思想，我們不需要知道曲面是如何嵌入到三維歐氏空間的就可以研究曲面的性質。高斯的思想是曲面論基本定理的基礎，即二Edu2+2Fdudv+Gdv2曲面論基本定理設 是給定的兩個二次微分形式，其中I是正二Ldu2+2Mdudv+Ndv2定的，若I和II的系數對稱且滿足Gauss-Codazzi方程，則除了空間的位置差別之外，存在唯一一個曲面，以I和II為此曲面的第一和第二基本形式。總流程圖--4；6砂訶鵝sMwiijC)快用自犧燈林相述衍中方穆--4；6砂訶鵝sMwiijC)快用自犧燈林相述衍中方穆和*河踰-沏推出捐蓉性件恰薯=曲-耳耳3?期曰貝釋性.伽盟才猊畜鬲t拒主食杵比舟2空忸號H一屍本母玄廚茨通萼則胸啊式掘上嚴.L山WftJC期一羸惡戒0嚴片二y叫耳?趴孰魯剝苗于盜田越井1?度4=9恭立亜，FSift足%■外可L（眾岀JK_<粘1醫駙站＞定現昆應一規$通過曲面的第一和第二基本形式求出相應曲面的具體例子［例1］已知E=1,F=0,G=1;L=-1,M=0,N=0時，求解該曲面解：設所求曲面為r=r(u,v)，故由題目條件可得所以所以E=rr=1uuF=rr=0uvG=r■r=1■vvL=r.n=-rn=-1uuuuM=二rn二二-rn=-rnuvuvvuN=rn=■:-rn=0vv■■vv=0TOC\o"1-5"\h\zr?r=0；rr=0u uu u uvrr=-r r=0u vv uv vr r=0,r r=0uu v v vurr=0??uvuuvvuvuv?若用自然標架｛uvuuvvuvuv?若用自然標架｛r,r,n｝來表示r;r,r,n:n，利用待定系數法，根據以上條件能夠得到r=-nuur=0vvr=0uvn=r

uun=0v因此能夠得到r+r=-n+r=0 ，積分可得解為uuuuuur=C(v)sinu+C(v)cosu+C(v)，故123r=C(v)cosu-C(v)sinuu 1 2r=C'(v)sinu+C'(v)cosu+C'(v)v 1 2 3r=C'(v)cosu-C'(v)sinuuv 1 2根據條件可得C'(v)=C'(v)=C'(v)=0，即123r=asinu+bcosu+cv+d，其中a,b,c,d為常向量［例2］已知E=1,F=0,G=sin2u;L=1,M=0,N=sin2u，其中ug(0,兀)，求該曲面。證明：由以上條件可知I=du2+sin2udv2,II=du2+sin2udv2，故k= =1nI所以K=1，結合相關結論可知該曲面為球面。能夠驗證，對于球面r=(sinucosv,sinusinv,cosu)E=1,F=0,G=sin2u;L=1,M=0,N=sin2un=-r=du2+sin2udv2=-dndr=drdr=du2+sin2udv2若使用自然標架的方法，步驟較為繁瑣與上例類似，這里略去。［例3］求曲面S的參數方程，使得它的第一基本形式和第二基本形式分別為I=(1+u2)du2+u2dv2II=(du2+u2dvII=\1+u2解：直接求解曲面的微分方程較為困難。觀察曲面的基本形式可知F=M=0，并且其余的系數是只跟u相關的函數，于是我們可以假定該曲面是一個旋轉曲面，參數方程為(f(u)cosv,f(u)sinv,g(u))，結合已知條件可求得函數f(u)=u，g(u)=2u2。利用相關的知識也可以證明滿足某些條件的曲面是不存在的。［例4］證明不存在曲面滿足E=1,F=0,G=1;L=1,M=0,N=-1證明：若這樣的曲面是存在的，由題目中的條件E=rr=1uuF=rr=0uvG=rr=1■vvL=rn=-rn=1■uu uuM=rn=-rn=0■TOC\o"1-5"\h\zuv u vN=rn=-rn=-1? ?vv vv故可以得到rr=0,r廣=0u uu u uvrr=-rr=0u vv uv vr r=0,r r=0uu v v vurr=0??vvv同前例自然標架｛r,r,n｝來表示r,r,r,*n,nuv uuvvuvuv

r=nuur=_nvvr=0uvn=_ruur由此得到urv-n=(r)uvvu(r)u-uuv-r-0uvvr-0uuvvv即r為常向量，這顯然是矛盾的。又或者我們可以利用高斯曲率的計算公式來驗證該曲面。一方面可算出另一方面另一方面顯然這樣的曲面是不存在的。［例5］證明不存在曲面，使得E-1,F-0,G-C0S2u;L-cos2u,M-0,N-1。證明：假設這樣的曲面存在，可得E-rr-1uuF-rr-0uvG—r.r-cos2uvvL-r.n=-rn-cos2uuu uuM-r.n=-rn--rn-0uv uv vuN-rn=-rn-1vv° v°v所以rr—0,rr?-0uuuuuvrr--rr-sinucosuuvv uvvrr-0,rr--sinucosuuuv vvurr-0??vvv利用自然標架表示r,r,r:n,