解三角形應用舉例

解三角形問題是三角學的基本問題之一。什么是三角學？三角學來自希臘文“三角形”和“測量”。最初的理解是解三角形的計算，后來，三角學才被看作包括三角函數(shù)和解三角形兩部分內容的一門數(shù)學分學科。

解三角形的方法在度量工件、測量距離和高度及工程建筑等生產實際中，有廣泛的應用，在物理學中，有關向量的計算也要用到解三角形的方法。

我國古代很早就有測量方面的知識，公元一世紀的《周髀算經》里，已有關于平面測量的記載，公元三世紀，我國數(shù)學家劉徽在計算圓內接正六邊形、正十二邊形的邊長時，就已經取得了某些特殊角的正弦……解斜三角形復習1、請回答下列問題：（1）解斜三角形的主要理論依據(jù)是什么？（2）關于解斜三角形，你掌握了哪幾種類型？復習2.

下列解△ABC問題,分別屬于那種類型？根據(jù)哪個定理可以先求什么元素？形解斜三角

第4小題A變更為A=150o呢？_____________________余弦定理先求出A,或先求出B正弦定理先求出b正弦定理先求出B(60o或120o)無解（1）a=2,b=,c=3+；（2）b=1，c=，A=105o；（3）A=45o，B=60o，a=10；（4）a=2，b=6，A=30o.23633__________________________________________________________________________________________________________________________________余弦定理先求出a解斜三角形理論

在實際問題中的應用高度角度距離解斜三角形解三角形的應用----實地測量舉例想一想：

如何測定河兩岸兩點A、B間的距離？AB解斜三角形解三角形的應用----實地測量舉例想一想：

如何測定河兩岸兩點A、B間的距離？ABαβC在B的同一側選定一點C解斜三角形解三角形的應用----實地測量舉例想一想：

如何測定河兩岸兩點A、B間的距離？ABαβCABαβC55簡解：由正弦定理可得AB/sinα=BC/sinA=a/sin(α+β)55若BC=55,∠α=510,α∠β=750,求AB的長.例1、解斜三角形解三角形的應用---實地測量舉例例2、

如何測定河對岸兩點A、B間的距離？ABC如圖在河這邊取一點，構造三角形ABC，能否求出AB?為什么？？解斜三角形解三角形的應用----實地測量舉例例2、

為了測定河對岸兩點A、B間的距離，在岸邊選定1公里長的基線CD，并測得∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B兩點的距離.ABCDABCD1公里分析：在四邊形ABCD中欲求AB長，只能去解三角形，與AB聯(lián)系的三角形有△ABC和△ABD，利用其一可求AB。∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，略解：Rt△ACD中，AD=1/cos30o

△BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。由余弦定理在△ABD中可求AB。在測量過程中,要根據(jù)實際需要選取合適的基線長度,使測量具有較高的精確度.在例題中我們根據(jù)測量需要適當確定的線段叫做基線.練習1、一艘船以32.2nmile/hr的速度向正北航行。在A處看燈塔S在船的北偏東20o的方向，30min后航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65o的方向，已知距離此燈塔6.5nmile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？練習2、自動卸貨汽車的車箱采用液壓機構.設計時需要計算油泵頂桿BC的長度（如圖所示）.已知車箱最大仰角為60油泵頂點B與車箱支點A之間的距離為1.95m,AB與水平線之間的夾角為620，AC為1.40m,計算BC的長.BACD抽象數(shù)學模型解：由余弦定理，得BC2==3.571

∴BC≈1.89(m)．

答：頂桿BC約長1.89m．AB2+AC2-2AB·ACcosAABCD1、解決應用題的思想方法是什么？2、解決應用題的步驟是什么？實際問題數(shù)學問題（畫出圖形）解三角形問題數(shù)學結論分析轉化檢驗小結：把實際問題轉化為數(shù)學問題，即數(shù)學建模思想。1、審題（分析題意，弄清已知和所求，根據(jù)提意，畫出示意圖；2.建模（將實際問題轉化為解斜三角形的數(shù)學問題）3.求模（正確運用正、余弦定理求解）4，還原。小結：求解三角形應用題的一般步驟：例3AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到達的，所以不能直接測量出建筑物的高。由解直角三角形的知識，只要能測出一點C到建筑物的頂部A的距離CA,并測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高。所以應該設法借助解三角形的知識測出CA的長。解：選擇一條水平基線HG,使H,G,B三點在同一條直線上。由在H,G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是α，β，CD=a,測角儀器的高是h.那么，在⊿ACD中，根據(jù)正弦定理可得例3AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法例4在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角α＝54°40′，在塔底C處測得A處的俯角β＝50°1′。已知鐵塔BC部分的高為27.3m，求出山高CD(精確到1m)分析：根據(jù)已知條件，應該設法計算出AB或AC的長解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根據(jù)正弦定理，CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)答：山的高度約為150米。例5一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時測得公路南側遠處一山頂D在東偏南15°的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在東偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.分析：要測出高CD,只要測出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長。根據(jù)已知條件，可以計算出BC的長。例5一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時測得公路南側遠處一山頂D在東偏南15°的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在東偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.解：在⊿ABC中，∠A=15°,∠C=25°-15°=10°.根據(jù)正弦定理，CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)答：山的高度約為1047米。例6一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達海島B,然后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應