中考數(shù)學(xué)圓的最值問(wèn)題(含答案)匯編（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）

中考數(shù)學(xué)圓的最值問(wèn)題(含答案)匯編（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）數(shù)學(xué)組卷圓的最值問(wèn)題一．選擇題（共7小題）1．（2021春?興化市月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2，設(shè)tan∠BOC=m，則m的取值范圍是（）A．m≥0 B． C． D．2．（2021?武漢模擬）如圖∠BAC=60°，半徑長(zhǎng)1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最大值為（）A．3 B．6 C． D．3．（2021?武漢模擬）如圖，P為⊙O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，A為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP、AO分別與⊙O交于B、C兩點(diǎn)．若⊙O的半徑長(zhǎng)為3，OP=，則弦BC的最大值為（）A．2 B．3 C． D．34．（2021?黃陂區(qū)校級(jí)模擬）如圖，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，點(diǎn)P為弧AD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A和D重合），PQ⊥OD于Q，點(diǎn)I為△OPQ的內(nèi)心，過(guò)O，I和D三點(diǎn)的圓的半徑為r．則當(dāng)點(diǎn)P在弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，r的值滿足（）A．0＜r＜3 B．r=3 C．3＜r＜3 D．r=35．（2021?蘇州）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（﹣1，0），半徑為1．若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是（）A．2 B．1 C． D．6．（2021?市中區(qū)模擬）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，﹣6），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，7），半徑為5．若P是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PB與x軸交于點(diǎn)D，則△ABD面積的最大值是（）A．63 B．31 C．32 D．307．（2021?棗莊）如圖，已知線段OA交⊙O于點(diǎn)B，且OB=AB，點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么∠OAP的最大值是（）A．90° B．60° C．45° D．30°二．填空題（共12小題）8．（2021?武漢）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是．9．（2021?黃陂區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=2，M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是．10．（2021?寧波）如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為．11．（2021?峨眉山市一模）如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=10，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C．若⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則半徑r的取值范圍是：．12．（2021?長(zhǎng)春模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則PQ長(zhǎng)的最小值為．13．（2021?陜西）如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn)．若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為．14．（2021?咸寧）如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為．15．（2021?內(nèi)江）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A（13，0），直線y=kx﹣3k+4與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為．16．（2021?蘇州校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫(huà)⊙O，P是⊙O是一動(dòng)點(diǎn)且P在第一象限內(nèi)，過(guò)P作⊙O切線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．則線段AB的最小值是．17．（2021秋?江陰市校級(jí)期中）如圖，⊙O與正方形ABCD的兩邊AB、AD相切，且DE與⊙O相切于E點(diǎn)．若正方形ABCD的周長(zhǎng)為28，且DE=4，則sin∠ODE=．18．（2021春?興化市校級(jí)月考）如圖所示，已知A（1，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y=圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是．19．（2021?泰興市二模）如圖，定長(zhǎng)弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動(dòng)（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，若CD=3，AB=8，PM=l，則l的最大值是．三．解答題（共5小題）20．（2021?武漢模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑作圓O，C為半圓AB上不與A、B重合的一動(dòng)點(diǎn)，射線AC交⊙O于點(diǎn)E，BC=a，AC=b．（1）求證：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是關(guān)于x的方程：x2+ax=b2+ab的一個(gè)根，求m的取值范圍．21．（2021春?泰興市校級(jí)期中）如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于H．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，解決下列問(wèn)題：（1）求證：BE⊥AG；（2）求線段DH的長(zhǎng)度的最小值．22．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，在AB的兩側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AB=5，AC=3．點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與A，B重合），CP交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．（1）求∠P的正切值；（2）當(dāng)CP⊥AB時(shí)，求CD和CQ的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)．23．（2021?日照）問(wèn)題背景：如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b），已知，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A在⊙O上，∠ACD=30°，B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為．（2）知識(shí)拓展：如圖（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫(xiě)出解答過(guò)程．24．（2021?蘇州）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長(zhǎng)為x（2＜x＜4）．（1）當(dāng)x=時(shí)，求弦PA、PB的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，PD?CD的值最大？最大值是多少？25、如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合），過(guò)A、D、E三點(diǎn)作⊙O，⊙O交AC于另一點(diǎn)F，在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，線段EF長(zhǎng)度的最小值為．26、如圖，線段AB=4，C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AC、BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE，⊙O外接于△CDE，則⊙O半徑的最小值為().A.4 B.C. D.227、如圖，已知直角△AOB中，直角頂點(diǎn)O在半徑為1的圓心上，斜邊與圓相切，延長(zhǎng)AO，BO分別與圓交于C，D．試求四邊形ABCD面積的最小值．

初中數(shù)學(xué)組卷圓的最值問(wèn)題參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．（2021春?興化市月考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2，設(shè)tan∠BOC=m，則m的取值范圍是（）A．m≥0 B． C． D．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【分析】C在以A為圓心，以2為半徑的圓周上，只有當(dāng)OC與圓A相切（即到C點(diǎn)）時(shí)，∠BOC最小，根據(jù)勾股定理求出此時(shí)的OC，求出∠BOC=∠CAO，根據(jù)解直角三角形求出此時(shí)的值，根據(jù)tan∠BOC的增減性，即可求出答案．【解答】解：C在以A為圓心，以2為半徑作圓周上，只有當(dāng)OC與圓A相切（即到C點(diǎn)）時(shí)，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC==，隨著C的移動(dòng)，∠BOC越來(lái)越大，∵C在第一象限，∴C不到x軸點(diǎn)，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，勾股定理，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能確定∠BOC的變化范圍是解此題的關(guān)鍵，題型比較好，但是有一定的難度．2．（2021?武漢模擬）如圖∠BAC=60°，半徑長(zhǎng)1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最大值為（）A．3 B．6 C． D．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】連接AO并延長(zhǎng)，與圓O交于P點(diǎn)，當(dāng)AF垂直于ED時(shí)，線段DE長(zhǎng)最大，設(shè)圓O與AB相切于點(diǎn)M，連接OM，PD，由對(duì)稱性得到AF為角平分線，得到∠FAD為30度，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OM垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AO的長(zhǎng)，由AO+OP求出AP的長(zhǎng)，即為圓P的半徑，由三角形AED為等邊三角形，得到DP為角平分線，在直角三角形PFD中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出PF的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出FD的長(zhǎng)，由DE=2FD求出DE的長(zhǎng)，即為DE的最大值．【解答】解：連接AO并延長(zhǎng)，與ED交于F點(diǎn)，與圓O交于P點(diǎn)，此時(shí)線段ED最大，連接OM，PD，可得F為ED的中點(diǎn)，∵∠BAC=60°，AE=AD，∴△AED為等邊三角形，∴AF為角平分線，即∠FAD=30°，在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，∴OA=2，∴PD=PA=AO+OP=3，在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，∴PF=，根據(jù)勾股定理得：FD==，則DE=2FD=3．故選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．3．（2021?武漢模擬）如圖，P為⊙O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，A為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP、AO分別與⊙O交于B、C兩點(diǎn)．若⊙O的半徑長(zhǎng)為3，OP=，則弦BC的最大值為（）A．2 B．3 C． D．3【考點(diǎn)】垂徑定理；三角形中位線定理．【分析】當(dāng)OP⊥AB時(shí)，弦BC最長(zhǎng)，根據(jù)三角形相似可以確定答案．【解答】解：當(dāng)OP⊥AC時(shí)，弦BC最長(zhǎng)，又∵AC是直徑，∴∠CBA=90°，所以△APO∽△ABC，∴，又∵OP=，∴BC=2．故答案選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是900這一性質(zhì)的應(yīng)用，以及如何取線段最值問(wèn)題的做法，用好三角形相似是解答本題的關(guān)鍵．4．（2021?黃陂區(qū)校級(jí)模擬）如圖，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，點(diǎn)P為弧AD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A和D重合），PQ⊥OD于Q，點(diǎn)I為△OPQ的內(nèi)心，過(guò)O，I和D三點(diǎn)的圓的半徑為r．則當(dāng)點(diǎn)P在弧AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，r的值滿足（）A．0＜r＜3 B．r=3 C．3＜r＜3 D．r=3【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【分析】連OI，PI，DI，由△OPH的內(nèi)心為I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易證△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦，并且所對(duì)的圓周角為135°的一段劣弧上；過(guò)D、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，在優(yōu)弧AO取點(diǎn)P′，連P′D，P′O，可得∠DP′O=180°﹣135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=3．【解答】解：如圖，連OI，PI，DI，∵△OPH的內(nèi)心為I，∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），而PH⊥OD，即∠PHO=90°，∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，在△OPI和△ODI中，，∴△OPI≌△ODI（SAS），∴∠DIO=∠PIO=135°，所以點(diǎn)I在以O(shè)D為弦，并且所對(duì)的圓周角為135°的一段劣弧上；過(guò)D、I、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，在優(yōu)弧DO取點(diǎn)P′，連P′D，P′O，∵∠DIO=135°，∴∠DP′O=180°﹣135°=45°，∴∠DO′O=90°，而OD=6，∴OO′=DO′=3，∴r的值為3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．5．（2021?蘇州）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（﹣1，0），半徑為1．若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是（）A．2 B．1 C． D．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．【分析】由于OA的長(zhǎng)為定值，若△ABE的面積最小，則BE的長(zhǎng)最短，此時(shí)AD與⊙O相切；可連接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的長(zhǎng)，即可得到△ADC的面積；易證得△AEO∽△ACD，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出△AOE的面積，進(jìn)而可得出△AOB和△AOE的面積差，由此得解．【解答】解：若△ABE的面積最小，則AD與⊙C相切，連接CD，則CD⊥AD；Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2；∴S△ACD=AD?CD=；易證得△AOE∽△ADC，∴=（）2=（）2=，即S△AOE=S△ADC=；∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣=2﹣；另解：利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等更簡(jiǎn)單！故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角形面積的求法等知識(shí)；能夠正確的判斷出△BE面積最小時(shí)AD與⊙C的位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．6．（2021?市中區(qū)模擬）如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，﹣6），⊙C的圓心坐標(biāo)為（0，7），半徑為5．若P是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PB與x軸交于點(diǎn)D，則△ABD面積的最大值是（）A．63 B．31 C．32 D．30【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．【分析】當(dāng)直線BP與圓相切時(shí)，△ABD的面積最大，易證△OBD∽△PBC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得OD的長(zhǎng)，則AD的長(zhǎng)度可以求得，最后利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：當(dāng)直線BP與圓相切時(shí)，△ABD的面積最大．連接PC，則∠CPB=90°，在直角△BCP中，BP===12．∵∠CPB=90°．∴∠DOB=∠CPB=90°又∵∠DBP=∠CBP，∴△OBD∽△PBC，∴===，∴OD=PC=．∴AD=OD+OA=+8=，∴S△ABD=AD?OB=××6=31．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，理解△ADB的面積最大的條件是關(guān)鍵．7．（2021?棗莊）如圖，已知線段OA交⊙O于點(diǎn)B，且OB=AB，點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么∠OAP的最大值是（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【分析】當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，∠OAP有最大值，連結(jié)OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得OP⊥AP，由OB=AB得OA=2OP，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到此時(shí)∠OAP的度數(shù)．【解答】解：當(dāng)AP與⊙O相切時(shí)，∠OAP有最大值，連結(jié)OP，如圖，則OP⊥AP，∵OB=AB，∴OA=2OP，∴∠PAO=30°．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．二．填空題（共12小題）8．（2021?武漢）如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是﹣1．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，則OH=AO=AB=1，在Rt△AOD中，OD===，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，最小值=OD﹣OH=﹣1．（解法二：可以理解為點(diǎn)H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)O、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH長(zhǎng)度最小）故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時(shí)點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．9．（2021?黃陂區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=2，M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CM長(zhǎng)度的取值范圍是＜CM＜．【考點(diǎn)】軌跡．【分析】作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及三角形的中位線定理求得CE和EM的長(zhǎng)，然后在△CEM中根據(jù)三邊關(guān)系即可求解．【解答】解：作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE．在直角△ABC中，AB===5，∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，∴CE=AB=．∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，∴ME=AD=1．∴在△CEM中，﹣1＜CM＜+1，即＜CM＜．故答案是：＜CM．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡，要結(jié)合勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．10．（2021?寧波）如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫(huà)⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長(zhǎng)度的最小值為．【考點(diǎn)】垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，此時(shí)線段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，因此當(dāng)半徑OE最短時(shí)，EF最短，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH．【解答】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，如圖，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，∴AD=BD=2，即此時(shí)圓的直徑為2，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=，由垂徑定理可知EF=2EH=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形．11．（2021?峨眉山市一模）如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=10，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)C．若⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則半徑r的取值范圍是：2≤r＜10．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】首先證明AB=AC，再根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線上，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范圍即可．【解答】解：連接OB．如圖1，∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，如圖2，∴OE=AC=AB=，又∵圓O與直線MN有交點(diǎn)，∴OE=≤r，∴≤2r，即：100﹣r2≤4r2，∴r2≥20，∴r≥2．∵OA=10，直線l與⊙O相離，∴r＜10，∴2≤r＜10．故答案為：2≤r＜10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．本題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．12．（2021?長(zhǎng)春模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，則PQ長(zhǎng)的最小值為．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；垂線段最短；勾股定理．【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D，在△ABC中，由勾股定理求出AB=13，由三角形面積公式求出CD=，當(dāng)CD為過(guò)C點(diǎn)的圓的直徑時(shí)，此時(shí)圓的直徑最短，是，求出PQ為圓的直徑即可．【解答】解：過(guò)C作CD⊥AB于D，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，由勾股定理得：AB=13，由三角形面積公式得：S=AC×BC=AB×CD，CD=，當(dāng)CD為過(guò)C點(diǎn)的圓的直徑時(shí)，此時(shí)圓的直徑最短，是，∵∠BCA=90°，∴PQ為圓的直徑，即此時(shí)PQ的長(zhǎng)是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形面積，圓周角定理，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出圓的直徑．13．（2021?陜西）如圖，AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°，點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于G、H兩點(diǎn)．若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為10.5．【考點(diǎn)】圓周角定理；三角形中位線定理．【專題】壓軸題．【分析】由點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出EF=AB=3.5為定值，則GE+FH=GH﹣EF=GH﹣3.5，所以當(dāng)GH取最大值時(shí)，GE+FH有最大值．而直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，故當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值14﹣3.5=10.5．【解答】解：當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值．當(dāng)GH為直徑時(shí)，E點(diǎn)與O點(diǎn)重合，∴AC也是直徑，AC=14．∵∠ABC是直徑上的圓周角，∴∠ABC=90°，∵∠C=30°，∴AB=AC=7．∵點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴EF=AB=3.5，∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．故答案為：10.5．【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合動(dòng)點(diǎn)考查了圓周角定理，三角形中位線定理，有一定難度．確定GH的位置是解題的關(guān)鍵．14．（2021?咸寧）如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ（點(diǎn)Q為切點(diǎn)），則切線PQ的最小值為2．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】首先連接OP、OQ，根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，可得當(dāng)OP⊥AB時(shí)，即線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．【解答】解：連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；根據(jù)勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=6，∴OP==3，∴PQ===2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當(dāng)PO⊥AB時(shí)，線段PQ最短是關(guān)鍵．15．（2021?內(nèi)江）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A（13，0），直線y=kx﹣3k+4與⊙O交于B、C兩點(diǎn)，則弦BC的長(zhǎng)的最小值為24．【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)直線y=kx﹣3k+4必過(guò)點(diǎn)D（3，4），求出最短的弦CB是過(guò)點(diǎn)D且與該圓直徑垂直的弦，再求出OD的長(zhǎng)，再根據(jù)以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A（13，0），求出OB的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．【解答】解：∵直線y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4，∴k（x﹣3）=y﹣4，∵k有無(wú)數(shù)個(gè)值，∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得x=3，y=4，∴直線必過(guò)點(diǎn)D（3，4），∴最短的弦CB是過(guò)點(diǎn)D且與該圓直徑垂直的弦，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，4），∴OD=5，∵以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A（13，0），∴圓的半徑為13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的長(zhǎng)的最小值為24；故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是垂徑定理、勾股定理、圓的有關(guān)性質(zhì)，關(guān)鍵是求出BC最短時(shí)的位置．16．（2021?蘇州校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫(huà)⊙O，P是⊙O是一動(dòng)點(diǎn)且P在第一象限內(nèi)，過(guò)P作⊙O切線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．則線段AB的最小值是4．．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為C，連接OP，由于AB是圓的切線，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以當(dāng)OC與OP重合時(shí)，OC最短；【解答】解：（1）線段AB長(zhǎng)度的最小值為4，理由如下：連接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中點(diǎn)C，∴AB=2OC；當(dāng)OC=OP時(shí)，OC最短，即AB最短，此時(shí)AB=4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)求解，屬于基礎(chǔ)性題目．17．（2021秋?江陰市校級(jí)期中）如圖，⊙O與正方形ABCD的兩邊AB、AD相切，且DE與⊙O相切于E點(diǎn)．若正方形ABCD的周長(zhǎng)為28，且DE=4，則sin∠ODE=．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．【分析】先證得四邊形ANOM是正方形，求出AM長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求得OD的長(zhǎng)，根據(jù)解直角三角形求出即可．【解答】解：設(shè)切線AD的切點(diǎn)為M，切線AB的切點(diǎn)為N，連接OM、ON、OE，∵四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的周長(zhǎng)為28，∴AD=AB=7，∠A=90°，∵圓O與正方形ABCD的兩邊AB、AD相切，∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，∵OM=ON，∴四邊形ANOM是正方形，∵AD和DE與圓O相切，∴OE⊥DE，DM=DE=4，∴AM=7﹣4=3，∴OM=ON=OE=3，在RT△ODM中，OD==5，∵OE=OM=5，∴sin∠ODE==．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AM長(zhǎng)和得出DE=DM．18．（2021春?興化市校級(jí)月考）如圖所示，已知A（1，y1），B（2，y2）為反比例函數(shù)y=圖象上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，0）．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；三角形三邊關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），再利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式為y=﹣x+，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到|PA﹣PB|≤AB，當(dāng)點(diǎn)P為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)，則線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，然后確定直線y=﹣x+與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：把A（1，y1），B（2，y2）代入y=得y1=1，y2=，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（1，1），B（2，）代入得，解得，所以直線AB的解析式為y=﹣x+，因?yàn)閨PA﹣PB|≤AB，所以當(dāng)點(diǎn)P為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，線段AP與線段BP之差達(dá)到最大，把y=0代入y=﹣x+得﹣x+=0，解得x=3，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．故答案為（3，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．19．（2021?泰興市二模）如圖，定長(zhǎng)弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動(dòng)（點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合），M是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，若CD=3，AB=8，PM=l，則l的最大值是4．【考點(diǎn)】垂徑定理；三角形中位線定理．【分析】當(dāng)CD∥AB時(shí)，PM長(zhǎng)最大，連接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC長(zhǎng)即可．【解答】解：法①：如圖：當(dāng)CD∥AB時(shí)，PM長(zhǎng)最大，連接OM，OC，∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，OM過(guò)O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四邊形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直徑AB=8，∴半徑OC=4，即PM=4，故答案為：4．法②：連接CO，MO，根據(jù)∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四點(diǎn)共圓，且CO為直徑．連接PM，則PM為⊙E的一條弦，當(dāng)PM為直徑時(shí)PM最大，所以PM=CO=4時(shí)PM最大．即PMmax=4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出符合條件的CD的位置，題目比較好，但是有一定的難度．三．解答題（共5小題）20．（2021?武漢模擬）如圖，在邊長(zhǎng)為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以O(shè)為圓心OA長(zhǎng)為半徑作圓O，C為半圓AB上不與A、B重合的一動(dòng)點(diǎn)，射線AC交⊙O于點(diǎn)E，BC=a，AC=b．（1）求證：AE=b+a；（2）求a+b的最大值；（3）若m是關(guān)于x的方程：x2+ax=b2+ab的一個(gè)根，求m的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】（1）首先連接BE，由△OAB為等邊三角形，可得∠AOB=60°，又由圓周角定理，可求得∠E的度數(shù)，又由AB為⊙D的直徑，可求得CE的長(zhǎng)，繼而求得AE=b+a；（2）首先過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由x2+ax=b2+ab，可得（x﹣b）（x+b+a）=0，則可求得x的值，繼而可求得m的取值范圍．【解答】解：（1）連接BE，∵△OAB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB為直徑，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC?BC=AB?CH，∴AC?BC=AB?CH，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值為，（3）∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴（x+b）（x﹣b）+a（x﹣b）=0，∴（x﹣b）（x+b+a）=0，∴x=b或x=﹣（b+a），當(dāng)m=b時(shí)，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，當(dāng)m=﹣（b+a）時(shí)，由（1）知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范圍為0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)、完全平方公式的應(yīng)用以及一元二次方程的解法．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．21．（2021春?泰興市校級(jí)期中）如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于H．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，解決下列問(wèn)題：（1）求證：BE⊥AG；（2）求線段DH的長(zhǎng)度的最小值．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用“邊角邊”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，然后求出OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°，∴∠AHB=180°﹣90°=90°，∴BE⊥AG；（2）解：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，則OH=AO=AB=2，在Rt△AOD中，OD===2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，DH的最小值=OD﹣OH=2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時(shí)點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．22．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，在AB的兩側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AB=5，AC=3．點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與A，B重合），CP交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．（1）求∠P的正切值；（2）當(dāng)CP⊥AB時(shí)，求CD和CQ的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)圓周角定理得出∠A=∠P，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；（2）三角形的面積公式求出∠A的正切值，故可得出CD的長(zhǎng)，再由垂徑定理求出PC的長(zhǎng)，由（1）中∠P的正切值即可得出CQ的長(zhǎng)；（3）由相似三角形的性質(zhì)可得出△ABC∽△PQC，故可得出=，故可得出CQ==PC，故當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)CQ取得最大值，再把AB的長(zhǎng)代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵AB=5，AC=3，∴BC===4，∴tan∠A==，∵∠A與∠P是同弧所對(duì)的圓周角，∴tan∠P=tan∠A=；（2）∵Rt△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，CD⊥AB，∴CD===，∵AB⊥CD，∴PC=2CD=2×=，∴CQ=PC?tan∠P=×=；（3）∵PC⊥CQ，∴∠PCQ=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠PCQ=∠ACB=90°，∵∠A=∠P，∴△ABC∽△PQC，∴=，∴CQ==PC，∴當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)CQ最長(zhǎng)，∴CQ最長(zhǎng)=×5=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及圓周角定理等知識(shí)，難度適中．23．（2021?日照）問(wèn)題背景：如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b），已知，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A在⊙O上，∠ACD=30°，B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為2．（2）知識(shí)拓展：如圖（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫(xiě)出解答過(guò)程．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題．【分析】（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和CD的交點(diǎn)P就是所求作的位置．根據(jù)題意先求出∠C′AE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜邊AC上截取AB′=AB，連結(jié)BB′，再過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段B′F的長(zhǎng)即為所求．【解答】解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小，且等于AE．作直徑AC′，連接C′E．根據(jù)垂徑定理得=．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，∴∠C′AE=45°，又AC′為圓的直徑，∴∠AEC′=90°，∴∠C′=∠C′AE=45°，∴C′E=AE=AC′=2，即AP+BP的最小值是2．故答案為：2；（2）如圖，在斜邊AC上截取AB′=AB，連結(jié)BB′．∵AD平分∠BAC，∴∠B′AM=∠BAM，在△B′AM和△BAM中，∴△B′AM≌△BAM（SAS），∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90°，∴點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線AD對(duì)稱．過(guò)點(diǎn)B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段B′F的長(zhǎng)即為所求．（點(diǎn)到直線的距離最短）在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，∴B′F=AB′?sin45°=AB?sin45°=10×=5，∴BE+EF的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問(wèn)題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P位置是解題關(guān)鍵．24．（2021?蘇州）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長(zhǎng)為x（2＜x＜4）．（1）當(dāng)x=時(shí)，求弦PA、PB的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，PD?CD的值最大？最大值是多少？【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；勾股定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）由直線l與圓相切于點(diǎn)A，且AB為圓的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB垂直于直線l，又PC垂直于直線l，根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△PCA與△PAB相似，由相似得比例，將PC及直徑AB的長(zhǎng)代入求出PA的長(zhǎng)，在直角三角形PAB中，由AB及PA的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出PB的長(zhǎng)；（2）過(guò)O作OE垂直于PD，與PD交于點(diǎn)E，由垂徑定理得到E為PD的中點(diǎn)，再由三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到OACE為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，可得出EC=OA=2，用PC﹣EC的長(zhǎng)表示出PE，根據(jù)PD=2PE表示出PD，再由PC﹣PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關(guān)于x的二次函數(shù)，配方后根據(jù)自變量x的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時(shí)x的取值．【解答】解：（1）∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，且AB為⊙O的直徑，∴AB⊥l，又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA=∠PAB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB=90°，又PC⊥l，∴∠PCA=∠APB=90°，∴△PCA∽△APB，∴=，即PA2=PC?AB，∵PC=，AB=4，∴PA==，∴Rt△APB中，AB=4，PA=，由勾股定理得：PB==；（2）過(guò)O作OE⊥PD，垂足為E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四邊形OACE為矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴PD=2（x﹣2），∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，∴PD?CD=2（x﹣2）?（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴當(dāng)x=3時(shí)，PD?CD的值最大，最大值是2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．中考數(shù)學(xué)真題匯編:反比例函數(shù)一、選擇題1.給出下列函數(shù)：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函數(shù)中符合條作“當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大“的是（

）A.

①③

B.

③④

C.

②④

D.

②③【答案】B2.已知點(diǎn)、都在反比例函數(shù)的圖象上，則下列關(guān)系式一定正確的是（

）A.

B.

C.

D.

【答案】A3.一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中大致圖像是（

）A.B.C.D.【答案】A4.若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖像上，則，，的大小關(guān)系是（

）A.

B.

C.

D.

【答案】B5.如圖，菱形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B、D在反比例函數(shù)的圖像上，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)O，已知點(diǎn)A(1，1)，∠ABC＝60°，則k的值是（

）

A.

﹣5

B.

﹣4

C.

﹣3

D.

﹣2【答案】C6.如圖，是函數(shù)上兩點(diǎn)，為一動(dòng)點(diǎn)，作軸，軸，下列說(shuō)法正確的是(

)

①；②；③若，則平分；④若，則A.

①③

B.

②③

C.

②④

D.

③④【答案】B7.如圖，平行于x軸的直線與函數(shù)（k1＞0，x＞0），（k2＞0，x＞0）的圖像分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)，C為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若△ABC的面積為4，則k1-k2的值為（

）A.

8

B.

-8

C.

4

D.

-4【答案】A8.如圖，點(diǎn)C在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，過(guò)點(diǎn)C的直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，且AB=BC，△AOB的面積為1，則k的值為（

）A.

1

B.

2

C.

3

D.

4【答案】D9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)（，）的圖象上，橫坐標(biāo)分別為1，4，對(duì)角線軸．若菱形ABCD的面積為，則k的值為（

）

A.

B.

C.

4

D.

5【答案】D10.如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C，D在反比例函數(shù)的圖象上，AC//BD//軸，已知點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為1，2，△OAC與△ABD的面積之和為，則的值為（

）A.

4

B.

3

C.

2

D.

【答案】B二、填空題11.已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則________．【答案】12.已知點(diǎn)在直線上，也在雙曲線上，則的值為_(kāi)_______.【答案】613.已知A(﹣4，)、B(﹣1，)是反比例函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，則與的大小關(guān)系為_(kāi)_______．【答案】14.如圖，點(diǎn)A，B是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B分別作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x于點(diǎn)D，連接OA，BC，已知點(diǎn)C（2，0），BD＝2，S△BCD＝3，則S△AOC＝________。【答案】515.過(guò)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，P是直線AB上的點(diǎn)，且滿足AP=2AB，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交此雙曲線于點(diǎn)C，如果△APC的面積為8，則k的值是________。【答案】12或416.已知，,,,是反比例函數(shù)圖象上四個(gè)整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))，分別過(guò)這些點(diǎn)向橫軸或縱軸作垂線段，以垂線段所在的正方形(如圖)的邊長(zhǎng)為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成四個(gè)橄欖形(陰影部分)，則這四個(gè)橄欖形的面積總和是________(用含的代數(shù)式表示)．【答案】17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（x＞0）與正比例函數(shù)y=kx、（k＞1）的圖像分別交于點(diǎn)A、B，若∠AOB＝45°,則△AOB的面積是________.【答案】218.如圖,反比例函數(shù)與一次函數(shù)在第三象限交于點(diǎn).點(diǎn)的坐標(biāo)為(一3,0),點(diǎn)是軸左側(cè)的一點(diǎn).若以為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______.

【答案】(-4,-3),(-2,3)19.如圖，正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=的圖象有一個(gè)交點(diǎn)A(2，m)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，平移直線y=kx使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到直線l，則直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是________.

【答案】y=x-320.如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（－10,0），對(duì)角線AC和OB相交于點(diǎn)D且AC·OB=160.若反比例函數(shù)y=

(x＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，并與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,則S△OCE∶S△OAB=________

.

【答案】1:5三、解答題21.如圖，已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn).（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為，連結(jié).求的面積.【答案】（1）解：（1）∵反比例函數(shù)y=（m≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4），∴4=，解得m=4，故反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=，

∵一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)Q（﹣4，n），

將Q（-4，n）代入反比例函數(shù)y=，得n=-1，∴點(diǎn)Q（-4,-1），

將點(diǎn)Q（-4,-1）代入一次函數(shù)y=﹣x+b，

得4+b=-1，解得b=-5，

∴一次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=﹣x﹣5.

（2）解：∵

解得，，則點(diǎn)P（-1，-4）.由直線y=-x-5，當(dāng)y=0時(shí)，-x-5=0，解得x=-5，則A（-5,0）；

當(dāng)x=0時(shí)，y=-5，則B（0，-5）.

則==?.22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）．

（1）求圖象過(guò)點(diǎn)B的反比例函數(shù)的解析式；（2）求圖象過(guò)點(diǎn)A，B的一次函數(shù)的解析式；（3）在第一象限內(nèi)，當(dāng)以上所求一次函數(shù)的圖象在所求反比例函數(shù)的圖象下方時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．【答案】（1）解：由C的坐標(biāo)為（1，），得到OC=2，

∵菱形OABC，

∴BC=OC=OA=2，BC∥x軸，

∴B（3，），

設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，

把B坐標(biāo)代入得：k=3，

則反比例解析式為y=

（2）解：設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，

把A（2，0），B（3，）代入得：，

解得：

則直線AB解析式為y=﹣2

（3）解：聯(lián)立得：，

解得：或，即一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）或（﹣1，﹣3），

則當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方時(shí)，自變量x的取值范圍為x＜﹣1或0＜x＜323.設(shè)P（x，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離為。（1）求關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖像（2）若反比例函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．①求k的值

②結(jié)合圖像，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出x的取值范圍。【答案】（1）解：∵P（x，0）與原點(diǎn)的距離為y1，

∴當(dāng)x≥0時(shí)，y1=OP=x，

當(dāng)x＜0時(shí)，y1=OP=-x，

∴y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為，即為y=|x|，

函數(shù)圖象如圖所示：

（2）解：∵A的橫坐標(biāo)為2，

∴把x=2代入y=x，可得y=2，此時(shí)A為（2，2），k=2×2=4，

把x=2代入y=-x，可得y=-2，此時(shí)A為（2，-2），k=-2×2=-4，

當(dāng)k=4時(shí)，如圖可得，y1＞y2時(shí)，x＜0或x＞2。

當(dāng)k=-4時(shí)，如圖可得，y1＞y2時(shí)，x＜-2或x＞0。

24.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）求此反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)在軸上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）解：把點(diǎn)A（-1，a）代入，得,

∴A（-1，3）

把A（-1，3）代入反比例函數(shù)，得,

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為．

（2）解：聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式得,解得，．

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（-3，1）．

當(dāng)時(shí)，得.

∴點(diǎn)C（-4，0）．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0）．

∵，

∴

．

即,

解得，.

∴點(diǎn)P（-6，0）或（-2，0）．25.平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)為的點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象.點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）設(shè)，點(diǎn)在函數(shù)，的圖像上.①分別求函數(shù)，的表達(dá)式；

②直接寫(xiě)出使成立的的范圍；（2）如圖①，設(shè)函數(shù)，的圖像相交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為16，求的值；（3）設(shè)，如圖②，過(guò)點(diǎn)作軸，與函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，以為一邊向右側(cè)作正方形，試說(shuō)明函數(shù)的圖像與線段的交點(diǎn)一定在函數(shù)的圖像上.【答案】（1）解：∵點(diǎn)在函數(shù)，的圖像上.∴k=4×2=8

∴

∵點(diǎn)A在上

∴x=a=2，y=4

∴點(diǎn)A（2,4）

∵A和點(diǎn)A'關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（-2，-4）

∵一次函數(shù)y2=mx+n的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A'和點(diǎn)B

-2m+n=-4

4m+n=2

解之：m=1，n=-2

y2=x-2

②由圖像可知，當(dāng)時(shí)0＜x＜4；

（2）解：∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a∴點(diǎn)A（a，）

∵A和點(diǎn)A'關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（-a，-）

∵點(diǎn)A'在y2=mx+n的圖像上，

∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（-a，-am+n）

∴

a2m=an+k①

∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3a

∴點(diǎn)B（3a,3am+n）（3a，）

∴3am+n=，即9a2m+3an=k②

由①②得：，an=

過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，交A'B于點(diǎn)D，則點(diǎn)D（a，am+n）

∴AD=

∵S△A'AB=

∴k-a2m-an=8

∴，解之：k=6

（3）解：設(shè)A(，)，則A′(﹣，﹣)，代入得，

∴，

∴D(，)

∴AD＝，

∴，代入得，即P(，)

將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入得縱坐標(biāo)為，可見(jiàn)點(diǎn)P一定在函數(shù)的圖像上．人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)圓知識(shí)點(diǎn)歸納及練習(xí)(含答案)圓知識(shí)點(diǎn)一圓的定義圓的定義:第一種:在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種:圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知:第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但是都說(shuō)明確定了定點(diǎn)與定長(zhǎng)，也就確定了圓。知識(shí)點(diǎn)二圓的相關(guān)概念(1)弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫作直徑。(2)弧:圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。(3)等圓:等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。(4)等弧:在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦是線段，弧是曲線，判斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才是等弧，而不是長(zhǎng)度相等的弧。知識(shí)點(diǎn)一圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)二垂徑定理(1)垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。如圖所示，直徑為CD，AB是弦，且CD?AB，CMABAM=BM垂足為MAC=BCAD=BDD垂徑定理的推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點(diǎn)M，CD?ABAM=BMAC=BCAD=BD注意:因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不是直徑，否則結(jié)論不成立。1知識(shí)點(diǎn)弦、弧、圓心角的關(guān)系(1)弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。(2)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量也相等。(3)注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角相等，所對(duì)的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。知識(shí)點(diǎn)一圓周角定理(1)圓周角定理:在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。(2)圓周角定理的推論:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90?的圓周角所對(duì)弦是直徑。(3)圓周角定理揭示了同弧或等弧所對(duì)的圓周角與圓心角的大小關(guān)系。“同弧或等弧”是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對(duì)的圓周角有兩類。知識(shí)點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形:如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。24.2點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有:點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。(2)用數(shù)量關(guān)系表示:若設(shè)?O的半徑是r，點(diǎn)P到圓的距離OP=d，則有:點(diǎn)P在圓外d,r;點(diǎn)p在圓上d=r;點(diǎn)p在圓內(nèi)d,r。知識(shí)點(diǎn)二過(guò)已知點(diǎn)作圓(1)經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)的圓(如點(diǎn)A)以點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)(如點(diǎn)O)為圓心，以O(shè)A為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。?O1A?O2?O3(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的圓(如點(diǎn)A、B)以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)(如點(diǎn)O)為圓心，以O(shè)A(或OB)為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無(wú)數(shù)個(gè)。2AB(3)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓?經(jīng)過(guò)在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓?不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓，且只能作一個(gè)圓。如經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C作圓，作法:連接AB、BC(或AB、AC或BC、AC)并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A(或OB、OC)的長(zhǎng)為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個(gè)。?AOBC知識(shí)點(diǎn)三三角形的外接圓與外心(1)經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。(2)外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。知識(shí)點(diǎn)四反證法(1)反證法:假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。(2)反證法的一般步驟:?假設(shè)命題的結(jié)論不成立;?從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相矛盾的結(jié)論;?由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。知識(shí)點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系有:相交、相切、相離三種。(2)直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)?O的半徑是r，直線l與圓心0的距離為d，則有:直線l和?O相交d,r;直線l和?O相切d=r;直線l和?O相離d,r。知識(shí)點(diǎn)二切線的判定和性質(zhì)(1)切線的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。(2)切線的性質(zhì)定理:圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。(3)切線的其他性質(zhì):切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn);切線到圓心的距離等于半徑;經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn);必過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。知識(shí)點(diǎn)三切線長(zhǎng)定理(1)切線長(zhǎng)的定義:經(jīng)過(guò)園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。3(2)切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。(3)注意:切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線是直線，是不能度量的;切線長(zhǎng)是一條線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)是在圓外一點(diǎn)，另一個(gè)是切點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心(1)三角形的內(nèi)切圓定義:與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。(2)三角形的內(nèi)心:三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。(3)注意:三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過(guò)三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。知識(shí)點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓的位置關(guān)系有五種:?如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種;?如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種;?如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示:(2)若設(shè)兩圓圓心之間的距離為d，兩圓的半徑分別是r1r2,且r1,r2，則有兩圓外離d,r1+r2兩圓外切d=r1+r2兩圓相交2-r1,d,r1+r2兩圓內(nèi)切d=r2-r1兩圓內(nèi)含d,r2-r124.3正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n(n是大于2的自然數(shù))等份，順次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。正多邊形的中心:一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑:外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角:正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距:中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)(1)正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。(2)所有的正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，每個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都經(jīng)過(guò)正n邊形的中心;當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正n邊形也是中心對(duì)稱圖形，正n邊形的中心就是對(duì)稱中心。(n,2)，180:360:(3)正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于，中心角和外角相等，等于。nn424.4弧長(zhǎng)和扇形面積n,R知識(shí)點(diǎn)一弧長(zhǎng)公式l=180nR,n360180在半徑為R的圓中，360?的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓的周長(zhǎng)C=2πR，所以n?的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式l=×2πR=。知識(shí)點(diǎn)二扇形面積公式2n,R2在半徑為R的圓中，360?的圓心角所對(duì)的