[問題]反映變量次數分布特征主要有哪些呢？當前第1頁\共有93頁\編于星期三\9點當前第2頁\共有93頁\編于星期三\9點1、集中趨勢指的是數據分布中大量數據向某方向集中的程度。用以刻劃集中程度的統計量，即集中量數。（平均數等）當前第3頁\共有93頁\編于星期三\9點2、離中趨勢（離散性）刻劃變量出現（一組數據）的分散程度，即數據分布的離散程度。當前第4頁\共有93頁\編于星期三\9點第一部分：集中趨勢一、算術平均數簡稱平均數、均數或均值，為與其它幾種平均數相區別，也稱算術平均數。■符號表示：M、、、

觀察數據的平均數總體均值當前第5頁\共有93頁\編于星期三\9點2、公式其中：是算術平均數；N是總體容量；是變量X的第i次觀察值；

①未分組觀察數據平均數當前第6頁\共有93頁\編于星期三\9點[例]某項研究在一年級學生總體中抽取出10名被試，測得他們的分數為60、70、65、78、98、64、89、75、69、75，試求他們的平均分數。當前第7頁\共有93頁\編于星期三\9點②觀察數據整理成次數分布表后平均的計算■注

◆公式隱含了觀察數據在各分組區間均勻散布的假設；

◆、f分別是各分組區間的組中值與相應次數當前第8頁\共有93頁\編于星期三\9點分組區間

組中值劃記次數相對次數(頻率)累加次數累積相對次數[96.5,99.5)97||

2.021001.00[93.5,96.5)94|||3.0398.98[90.5,93.5)91||||4.0495.95[87.5,90.5)

88||||||||8.0891.91[84.5,87.5)85|||||||||||11.1183.83[81.5,84.5)82|||||||||||||||||17.1772.72[78.5,81.5)79|||||||||||||||||||19.1955.55[75.5,78.5)76||||||||||||||14.1436.3688名高考考生數學成績統計結果中數動差當前第9頁\共有93頁\編于星期三\9點3、算術平均數的性質一組數據中每一個數與平均數之差（稱為離均差）的總和等于0，即：①性質1當前第10頁\共有93頁\編于星期三\9點給一組數據中的每一個數加上一個常數C則所得到的新數組的平均數為原來數組的平均數加上常數C，即：②性質2當前第11頁\共有93頁\編于星期三\9點給一組數據中的每一個數乘上一個常數C，則所得到的新數組的平均數為原來數組的平均數（設為）乘以常數C，即：③性質3當前第12頁\共有93頁\編于星期三\9點4、平均數的意義應用最廣泛的一種集中量數。是總體均值（或“真值”）的最佳估計。依概率1當前第13頁\共有93頁\編于星期三\9點■通俗的理解

設共有n個觀察數據，第i個為，設真值或總體均值為，則有：觀察值與真值的差為：當前第14頁\共有93頁\編于星期三\9點◆算術平均數易受極端數據的影響；◆無法對模糊數據進行處理；5、評價①優點

具有反應靈敏、確定嚴密、簡明易解、計算簡單、適合進一步演算和較小受抽樣變化的影響等優點。②缺點當前第15頁\共有93頁\編于星期三\9點6、應用平均數的原則⑴同質性原則⑵平均數與個體數據結合的原則⑶平均數與方差相結合的原則當前第16頁\共有93頁\編于星期三\9點二、中數1、定義又稱中位數，符號Mdn,是指位于一組數據中較大一半與較小一半中間位置的那個數。中數所處的位置以表示。

■注：這個數可能是數據中的某一個，也可能根本不是原有的數據。當前第17頁\共有93頁\編于星期三\9點是將數據依大小次序排列：◆若數據個數為奇數，則取數列中間的那個數為中數；◆若數據個數為偶數，則取中間兩個數的平均數為中數。2、計算方法及分類⑴未分組數據求中數的方法（無重復數據）當前第18頁\共有93頁\編于星期三\9點①求數據３、６、７、9、20的中數；②求數據３、６、７、9、20、60的中數；■例

當前第19頁\共有93頁\編于星期三\9點⑵未分組數據求中數的方法（有重復數據）■例子

求數據11、11、11、11、13、13、13、17、17的中數；（數據個數為奇數）1312.513.544當前第20頁\共有93頁\編于星期三\9點■例子

求數據11、11、11、11、13、13、13、17、17、18的中數；（數據個數為奇數）1312.513.545當前第21頁\共有93頁\編于星期三\9點⑶分組數據求中數的方法①分組數據的中數當觀察數據整理成次數分布表以后，中數的求取也是取序列中將N（觀察數據總數）平分為兩半的那點作為中數。當前第22頁\共有93頁\編于星期三\9點②中數的計算公式

i、公式1

◆為中數所在組的精確下限；◆為中數所在組以下各組的累積次數；◆為中數所在組數據的個數；◆i為組距；當前第23頁\共有93頁\編于星期三\9點ii、公式2

◆為中數所在組的精確上限；◆為中數所在組以上各組的累積次數；◆為中數所在組數據的個數；當前第24頁\共有93頁\編于星期三\9點■累加曲線求中數示意圖當前第25頁\共有93頁\編于星期三\9點■例子-求下列數據的中數分組區間次數96~99

293~96390~93487~90884~871181~841778~811975~7814當前第26頁\共有93頁\編于星期三\9點3、中數的特點①計算簡單，不受極端數據影響；②沒有反映所有數據的信息，從而具有較大的抽樣誤差，不如平均數穩定．也無法進行進一步的數學分析。當前第27頁\共有93頁\編于星期三\9點4、應用◆出現兩極端數據時；◆當次數分布的兩端數據或個別數據不清楚時；◆快速估記時；當前第28頁\共有93頁\編于星期三\9點三、眾數1、定義又稱密集數、通常數，符號Mo，它指在一組數中出現次數最多的那個數。2、計算方法直接找出現次數最多的那個數。當前第29頁\共有93頁\編于星期三\9點■例子３、６、７、7、7、9、20、60當前第30頁\共有93頁\編于星期三\9點4、應用范圍◆一組數據出現不同質的情況◆一組數據中出現極端數據，也用眾數作為集中量數的粗略估計。3、皮爾遜經驗公式（數據偏態分布）當前第31頁\共有93頁\編于星期三\9點

ThedataaboutannualsalariesofManagementandExployeesofXYZcompanyarepresentedbelow,canyoucalculatethevaluesofthemode,themedianandthemean(threedifferentmeasuresofcentraltendency)$72,000.0054,000.0026,400.0019,200.0019,200.0019,200.0019,200.0018,000.0016,800.0016,800.0016,800.0014,400.0014,400.0014,400.0014,400.00[Exercise]當前第32頁\共有93頁\編于星期三\9點◆估計數據次數分布是否呈偏態；估計指標M-Mo>0，正偏態M-Mo<0，負偏態當前第33頁\共有93頁\編于星期三\9點5、平均數、中數、眾數的關系⑴正態分布⑵偏態分布

待圖(P68)當前第34頁\共有93頁\編于星期三\9點四、幾何平均數1、幾何平均數計算⑴統計學表示法：或Mg⑵計算公式設有一組觀察數據，則公式為：當前第35頁\共有93頁\編于星期三\9點2、適用場合①一組數據中任何兩個相鄰數據之比接近于常數；

■比較適合求平均增長率②當一組數據中存在極端數據，分布呈偏態時；當前第36頁\共有93頁\編于星期三\9點欲研究介于與兩感覺之間的感覺的物理刺激是多少，隨機抽取10個被試，讓其調節一個可變的物理量的刺激量，使所產生的感覺恰好介于與之間，然后測量所調節的物理量，結果如下：5.7、6.2、6.7、6.9、7.5、8.0、7.6、10.0、15.6、18.0。求介于與之間的感覺平均物理刺激量是多少?■例（心理物理學）當前第37頁\共有93頁\編于星期三\9點■例2（平均增長率）在一項有關閱讀能力的實驗中，閱讀的遍數與每遍理解的程度依次是：第一遍：40%第二遍：52%，第三遍：65%，第四遍：75%第五遍：86%，第六遍：97%。問在該實驗中被試閱讀程度的平均進步率是多少？閱讀理解程度的平均增加比率又是多少？當前第38頁\共有93頁\編于星期三\9點五、加權平均數（Mw）1、計算公式■即權數，刻劃各變量在構成總體

的相對重要性當前第39頁\共有93頁\編于星期三\9點2、為什么要加權？在實際測量數據中，有些數據的權重不一樣，此時刻劃數據分布的中心位置只能用加權平均數。（生活例子）當前第40頁\共有93頁\編于星期三\9點■例子某課題組在全國8個省區進行了一項調查，各省區接受調查的人數和平均數如下表，求該項調查的總平均數。當前第41頁\共有93頁\編于星期三\9點省區代碼12345678人數627268400670411314610500平均分數9860829680659688當前第42頁\共有93頁\編于星期三\9點六、調和平均數MH1、計算公式■N為數據個數是第i個觀察數據，或第i個變量值；當前第43頁\共有93頁\編于星期三\9點2、調和平均數適用范圍調和平均數在描述速度方面的集中趨勢時，優于其他平均數。◆工作量固定，記錄被試完成相同工作量所需時間◆時間量固定，記錄被試完成的工作量當前第44頁\共有93頁\編于星期三\9點■例1[工作量固定]有一學生15分鐘學會生詞30個，后10分鐘學會生詞也是30個，問該生平均學習速度是多少？當前第45頁\共有93頁\編于星期三\9點■例2[時間固定]在一個學習實驗中，統計了6名被試在2個小時內完成的解題量，依次為24題、20題、16題、12題、8題、4題，試問這6名被試每小時的平均解題量是多少？當前第46頁\共有93頁\編于星期三\9點■例子三個不同被試對某詞的聯想速度如下表，求三個被試的平均聯想速度。被試ABC聯想詞數131313時間（分）2325當前第47頁\共有93頁\編于星期三\9點第二部分：差異量數■引例當前第48頁\共有93頁\編于星期三\9點1、動差是借用力學上測量力的旋轉趨勢的術語而來的一個統計學概念，表示數據離散情況。它將分組數據各組的次數f看成力，且以數值（或組中值）與原點之差作為距離來計算動差。■注：若以平均數作為原點，這種動差稱為中心動差。一、動差體系當前第49頁\共有93頁\編于星期三\9點⑴一級動差2、常見的中心動差（centrelmoment）⑵二級動差

當前第50頁\共有93頁\編于星期三\9點⑶三級動差⑷四級動差當前第51頁\共有93頁\編于星期三\9點■注◆三級動差是表示數據分布偏態性的指標；☆表示偏態系數；☆表示數據分布呈正偏態，☆表示數據分布呈負偏態；☆表示數據分布呈對稱形；當前第52頁\共有93頁\編于星期三\9點◆四級動差是表示數據分布峰態性的指標；☆表示峰態系數；☆表示數據次數分布呈高狹峰；☆表示數據分布呈低闊峰；☆表示數據分布呈正態峰；當前第53頁\共有93頁\編于星期三\9點二、常用刻劃數據離散程度的指標㈠平均差（averagedeviation）

1、平均差公式（以符號AD表示）設一組原始數據為，則計算平均差的公式：■是離均差；當前第54頁\共有93頁\編于星期三\9點有5個被試的錯覺實驗數據如下，求其平均差？被試12345錯覺量（單位：毫秒）1618202217■例當前第55頁\共有93頁\編于星期三\9點①它是一個能較好地刻劃數據分布離散程度的差異量數；②不足之處是它利用了絕對值以致不便于作進一步代數演算，故其實際應用上被方差或標準差取代；2、評價當前第56頁\共有93頁\編于星期三\9點方差也稱變異數，均方，是每個數據與該組數據平均數之差的平方的均值，即離均差平方的平均數。標準差是方差的平方根■樣本方差常用表示；樣本標準差總體方差常用表示；總體標準差㈡方差與標準差（最常用）1、方差（二級動差）、標準差當前第57頁\共有93頁\編于星期三\9點設是一個容量為N的總體的第次測定，那么有：⑴總體方差、標準差公式當前第58頁\共有93頁\編于星期三\9點設從一個總體X中抽取一個容量為n的樣本，是樣本第次測定值，則樣本方差為：注意：是n-1⑵樣本方差、標準差當前第59頁\共有93頁\編于星期三\9點■例子計算一組數據5、6、7、9、8、7的方差與標準差。當前第60頁\共有93頁\編于星期三\9點⑶分組數據方差與標準差的計算■是各分組區間的組中值；

（AM是估計平均值）當前第61頁\共有93頁\編于星期三\9點■例子分組區間96～93～90～87～84～81～78～75～72～69～66～63～60～979491888582797673706764612348111719141073116543210-1-2-3-4-5-61215162422170-14-20-21-12-5-67275647244170144063482536當前第62頁\共有93頁\編于星期三\9點2、方差（或標準差）的合成公式心理學研究有時需要將幾組數據的方差合成一個總的方差。（例）⑴總標準差（或）合成公式（符號解釋）當前第63頁\共有93頁\編于星期三\9點■例子在某測定被試反應時的實驗中，主試先后對4組被試進行測試，測驗的數據如下：（單位：毫秒）組別n（人數）均值S2018.52.13621.62.691117.23.11219.23.0當前第64頁\共有93頁\編于星期三\9點3、方差與標準差的性質①性質1設有一組觀察值，對其每一個觀察值加上一個常數C后，得到一組新的一組數據，其中，則這組新的數據的方差與標準差等于原標準差；當前第65頁\共有93頁\編于星期三\9點②性質2（練習題）一組數據乘以一個常數C，得到新數組，其中設原數據組的標準差是，新數據組的標準差，則有：當前第66頁\共有93頁\編于星期三\9點③性質3（練習題）設一組觀察數據中每一個觀察值都乘以同一個常數C（C≠0），再加上一具常數D，得到新數據，其中，則有新數據的標準差等于原先數據的標準差乘以|C|，即：當前第67頁\共有93頁\編于星期三\9點4、方差與標準差的特點①反應靈敏、計算精確②受抽樣變動的影響較少；③計算公式嚴密確定，容易計算；④適合做代數運算，因方差具有可加性，即總的變異可以分成各種原因造成變異之和；當前第68頁\共有93頁\編于星期三\9點方差與標準差是表示一組數據離散程度的最好指標；■評價當前第69頁\共有93頁\編于星期三\9點5、方差與標準差的應用⑴差異系數（Coefficientofvariation又稱相對標準差）①功能

刻劃幾組性質（單位）不同數據和

同性質但樣本平均水平（均值）相差

懸殊數據的相對離散程度。[例]宇宙天體與微觀世界之間的距離當前第70頁\共有93頁\編于星期三\9點②差異系數計算公式■s為某樣本的標準差；

為該樣本的平均數；當前第71頁\共有93頁\編于星期三\9點某校高考考生語文科平均分63分，標準差為11分，數學科平均分為75分，標準差為12分，試比較該校考生哪一科離散程度大些？■例子當前第72頁\共有93頁\編于星期三\9點⑶標準分數（Z分數）

①內涵是一個以平均數為參照點、以標準差為單位的表示原始分數在團體中所處位置的相對位置量數。當前第73頁\共有93頁\編于星期三\9點②計算公式◆X是某個原始數據；◆是X所在數據組的平均數；◆S是X所在數據組的標準差；當前第74頁\共有93頁\編于星期三\9點③標準分數的應用i、比較性質不同的觀察值（數據）在各自數據分布中的相對位置的高低；[例1]當前第75頁\共有93頁\編于星期三\9點■例1某被試同時接受韋克斯勒智力測驗與EPQ的內外向分量表的測驗，韋氏智力測驗智商得分112分，EPQ內外向分量表的量表分數70分，試求該被試在這二個測驗上的Z分數？（已知韋氏智力測驗智商平均數是100，標準差是15，EPQ內外向分測驗量表分的平均數是50，標準差是10）當前第76頁\共有93頁\編于星期三\9點ii、計算不同性的觀察數據的總和或平均值，以表示在團體中的相對位置；[例2]當前第77頁\共有93頁\編于星期三\9點■例2下表是高等學校入學考試中兩名考生甲、乙的成績分數，試問根據考試成績應該錄取哪個考生？考試科目原始成績甲乙全體考生平均數標準差Z分數甲乙語文政治外語數學理化89706268725340728770106556985067581.51.91-.6-.125.375.5-1.67-.3751.5當前第78頁\共有93頁\編于星期三\9點iii、導出標準測驗分數■常見的幾種標準測驗分數IQ=15Z+100T=10Z+50當前第79頁\共有93頁\編于星期三\9點iv、異常值的統計取舍當前第80頁\共有93頁\編于星期三\9點③標準分數的性質i、性質1Z分數無實際單位，是以平均數為參照點，以標準差為單位的一個相對量。ii、性質2Z分數的平均數為0，標準差為1。當前第81頁\共有93頁\編于星期三\9點iii、性質3（略，后面補充）設原始數據呈正態分布，則將原始分數轉化為Z分數后服從標準正態分布。當前第82頁\共有93頁\編于星期三\9點㈢全距與百分位差

1、全距⑴計算公式（舉例）⑵評價⑴最簡單、最易直觀理解；⑵利用數據信息量少，最為粗糙，易受極端值的影響，不可靠；當前第83頁\共有93頁\編于星期三\9點2、百分位差⑴百分位數（percentile）它指的是量尺上的一個點（數），在此點以下，包括數據分布中全部數據個

數的一定百分比。第m位百分位數就是指在數值Q