微分方程模型第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

描述對象特征隨時間(空間)的演變過程分析對象特征的變化規律預報對象特征的未來性態研究控制對象特征的手段

根據函數及其變化率之間的關系確定函數根據建模目的和問題分析作出簡化假設按照內在規律或用類比法建立微分方程動態模型微分方程建模第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六§3.1微分方程的簡單應用問題例1（物體達到的最大高度）在地面上以初速度v0鉛直向上發射一質量為m的物體，設地球引力與物體到地心距離的平方成正比，求物體可能達到的最大高度.若物體脫離太陽系，則v0應為多少？模型建立記地球半徑為R，假設空氣阻力不計.設在時刻t物體上升的高度為s=s(t)，則根據Newton（牛頓）的萬有引力定律知，物體受地球的引力為：第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

又當物體在地面上時，s=0,F=-mg又物體在上升過程中滿足Newton(牛頓)第二定律這是一個二階微分方程第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

模型求解第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

由于物體到達最大高度時，v=0，所以由此即第二宇宙速度第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

例2液體的濃度稀釋問題在甲、乙兩個大桶內各裝有100L的鹽水（兩桶均為裝滿），其濃度均為5g/L.現用一根細管將凈水以2L/min的速度輸入甲桶，攪拌均勻，同時又將混合溶液仍以2L/min的速度用細管輸入乙桶（兩桶容積足夠大，在稀釋過程中均不會溢出）；然后用細管以1L/min的速度從乙桶將混合溶液輸出.問時刻t時乙桶鹽水的濃度是多少？模型建立與求解設y1(t)和y2(t)分別表示時刻t時甲、乙兩桶內含鹽的數量先分析甲桶第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

兩邊同除以△t,并令△t→0,得甲桶內含鹽的數學模型：分析乙桶同理在任意時間段[t,t+△t]內乙桶內含鹽量的變化為：兩邊同除以△t,并令△t→0,得乙桶內含鹽的數學模型：第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

這是一階線性微分方程，第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

例3兇手作案時間的推斷問題某天在一住宅發生一起兇殺案，下午16：00刑偵人員和法醫趕到現場，立即測得尸體溫度為30°C，室內環境溫度為20°C.已知在環境溫度20°C狀況下尸體最初2小時其溫度下降2°C.若假定室內環境基本為恒溫，試推斷這一兇殺作案時間.第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

問題分析該問題屬于物理上的冷卻現象，需要運用Newton（牛頓）冷卻定律：“物質在介質中的冷卻速度同該物體溫度與介質溫度之差成正比.”而“冷卻速度就是溫度對時間的導數.”模型建立記Tt為時刻t物體的溫度，T0為初始時刻t0物體的溫度（即被害者被害時的體溫），Te為介質（環境）的溫度，則由牛頓冷卻定律，得：（其中λ>0為比例系數）第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

模型求解現在的問題是λ如何求？方法一利用已知介質（環境）溫度Te下物體在最初時間段t1-t0其溫度下降為Td這一條件來確定λ.第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

應用第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

方法二利用現場過一段時間，再增加一次溫度測定，從而增加一個條件來確定λ.第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

例4馬王堆一號墓入葬年代的測定問題湖南長沙市馬王堆一號墓于1972年8月發掘出土，其時測得出土的木炭標本中碳—14平均（C—14）原子蛻變數為29.78次/分鐘，而新燒成的同種木材的木炭標本中碳—14的原子蛻變數為38.37次/分鐘，又知碳—14的半衰期為5730年，試由此推斷墓人入葬的大致年代.問題分析放射性元素的衰變的速度不受環境的影響，它總是和該元素當前的量成正比.運用C—14測定文物或化石年代的理由：第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

（1）宇宙射線不斷襲擊大氣層，使大氣層中產生C—14，而同時C—14又不斷衰變，從而大氣層中C—14的含量處于動態平衡中，且其含量自古至今基本上不變；（2）C—14被動植物體所吸收，所以活著的生物體由于不斷的新陳代謝，體內的C—14也處于動態平衡中，其含量自古至今也都是一樣的；（3）動植物的尸體由于停止了從環境中攝取C—14，從而其體內C—14含量將由于衰變而不斷減少.碳定年代法就是根據C—14的減少量來判斷生物體的大致死亡時間.運用C—14測定文物或化石年代的理由：第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

建立模型設t時刻生物體中C—14的含量為x(t)，x0為生物體死亡時間t0時所含C—14的含量，放射性物質的半衰期為T，則C—14衰變規律的數學模型為：模型求解運用分離變量法，得：第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

模型應用把T=5730,x0=38.37,x(1972)=29.78代入上式得：即馬王堆墓入葬的年代大約在公元前123年左右的西漢中期。第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

§3.2運動軌跡問題例1航跡曲線設河邊點O的正對岸為點A，河寬OA=h,兩岸為平行直線，平行于河岸的水流速度為常數v1,有一小船從A點出發，駛向點O.設小船速度為v2(靜水中速度），且|v2|>|v1|.小船在航行中船頭恒指向O點，求小船航行的軌跡.模型建立設O為坐標原點，河岸沿y軸方向延伸,如右圖.小船航行的軌跡為y=y(x).第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

設小船t時刻位于點(x,y)處，則有：第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

模型求解這是一階齊次微分方程第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

這就是小船的航行軌跡曲線.第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

例2追蹤問題在南海海域，我緝私艦雷達發現在距離艦艇dnmile(海里）處有一艘走私船正以勻速anmile(海里）朝垂直方向逃竄，緝私艦立即以最大的速度vnmile(海里）追趕.在雷達的指引下，緝私艦的速度方向始終指向走私船.試求緝私艦的追蹤軌跡及追上所用的時間.模型建立如果v≤a,則緝私艦不可能追上走私船，因此假設v>a.以緝私艦發現走私船的位置記為坐標原點O，走私船逃竄的方向為y軸方向，建立坐標系，走私船的起點位置為A（d,0),如圖.第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

對該式兩邊求導并整理，即得追蹤曲線模型模型求解這是一個二階微分方程第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

緝私艦追上走私船的時間第二十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六§3.3

火車彎道緩和曲線的設計問題火車駛上彎道時，根據力學原理，會產生離心力F=mv2/R.在軌道的直道與彎道（圓弧）的銜接處，列車受到的離心力若由0突然變到F，會損壞路軌和車輛，并使乘客趕到不適，甚至發生危險.為此火車軌道在彎道處采取“外軌超高”的辦法，使產生的向心力抵消部分離心力，以保證列車安全運行.為使等高的直線軌道與外軌超高的圓弧平緩銜接，同時避免離心力的突然出現，要在彎道與直道間加設一段曲線，以使列車受到的離心力從0均勻地增大到F，外軌的超高也從0逐漸增大到h.所加的曲線稱為緩和曲線.試求滿足上述要求的緩和曲線的模型.第二十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

模型建立如圖，設鐵路軌道沿x負半軸直到原點為直線，從第一象限的B處開始，是半徑為R0的圓弧，OB弧是所求的緩和曲線，OB弧的總長度為l0.當列車行駛