文檔來源網絡整理侵權刪除專題28.3銳角三角函數（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．在△ABC中，∠C＝90°，，則（）A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝2．已知在RtABC中，C90°，AC8,BC15，那么下列等式正確的是（

）A． B．cosA= C．tanA= D．cotA=3．如果等腰三角形的底角為30°，腰長為6cm，那么這個三角形的面積為（）A．4.5cm2 B．9cm2 C．18cm2 D．36cm24．若菱形的周長為，高為2，則菱形兩鄰角的度數比為（

）A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位線，連結CD．下列各組線段的比值一定與cosA相等的是（

）A． B． C． D．6．如圖，在等腰三角形ABC中，，點D為BC的中點，于點E，則的值等于（

）A． B． C． D．7．如圖，菱形的對角線與相交于點，，將沿著方向平移的長度得到，連接，則等于（

）A． B． C． D．8．如圖，A(4，0)、B(0，3)，在第一象內作Rt△ABC，其中∠BAC=90°且tan∠ABC=2，點P是直線AC上的動點，點Q是直線BC上的動點，則PB+PQ的最小值是(

)A．5 B．10 C． D．9．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點H是高AD和BE的交點，∠CAD＝30°，CD＝4，則線段BH的長度為（

）A．6 B． C．8 D．10．如圖，在正方形中，E，F分別是BC，CD的中點，AE交BF于點H，交BF于點G，下列結論，①；②；③；④其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④二、填空題11．若，那么的形狀是_____．12．已知是銳角，那么cos=_________．13．如圖，△ABC的頂點是正方形的格點，則sin∠BAC的值為_____________14．如圖，在矩形ABCD中，連接AC，分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN分別交AC于點E，交AB于點F，若，，則線段BF的長為______．15．如圖，已知第一象限內的點A在反比例函數的圖象上，第二象限內的點B在反比例函數的圖象上，且OA⊥OB，tanA=，則k的值為_________．16．如圖，在等邊三角形ABC中，E為AB邊上的一個動點，連接CE，將AC沿著CE折疊得到，A的對應點為，連接，當時，的值為__________．17．如圖，在四邊形中，連接，，，．若，，則______．18．如圖，木工師傅在板材邊角處做直角時，往往使用“三弧法”，其做法是：（1）作線段AB，分別以為A、B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧的交點為C；（2）以C為圓心，仍以AB長為半徑做弧，交AC的延長線于點D；（3）連接BD、BC．下列說法正確的是：_____（把所有正確的序號都寫出來）①∠CBD＝30°；②S△BDC＝AB2；③點C是的外心；④sin2A+cos2D＝1三、解答題19．計算：（1）；（2）．20．如圖，已知在中，，垂足為點，點是邊的中點．(1)求邊的長；(2)求的正弦值．21．將矩形紙片沿翻折，使點落在線段上，對應的點為，若，求的長.22．如圖，點P為函數與函數圖象的交點，點P的縱坐標為4，軸，垂足為點B．（1）求m的值；（2）點M是函數圖象上一動點，過點M作于點D，若，求點M的坐標．23．如圖，直線經過上的點，直線與交于點和點，與交于點，與交于點，，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求圖中陰影部分面積．24．如圖，拋物線交軸于、兩點，其中點坐標為，與軸交于點．（1）求拋物線的函數表達式；（2）如圖①，連接，點在拋物線上，且滿足．求點的坐標；（3）如圖②，點為軸下方拋物線上任意一點，點是拋物線對稱軸與軸的交點，直線、分別交拋物線的對稱軸于點、．請問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．參考答案1．D【分析】設AB=5a，BC=3a，則AC=4a，然后根據三角函數的定義逐項排查即可．解：設AB=5a，BC=3a，則AC=4a，則cosA＝＝，故A錯誤；sinB＝＝，故B錯誤；tanA＝，故C錯誤；tanB＝＝，故D正確．故選：D．【點撥】本題主要考查了三角函數的定義和勾股定理，掌握并靈活運用三角函數的定義成為解答本題的關鍵．2．D【分析】根據銳角三角函數的定義進行作答.解：由勾股定理知，AB=17；A.,所以A錯誤；B.，所以，B錯誤；C.，所以，C錯誤；D.=，所以選D.【點撥】本題考查了銳角三角函數的定義，熟練掌握銳角三角函數的定義是本題解題關鍵.3．B【分析】作底邊上的高運用等腰三角形的性質及三角函數定義分別求三角形的高和底邊長，代入公式計算求解．解：如圖，作底邊上的高AD，∵∠B＝30°，AB＝6cm，AD為高，∴AD＝ABsinB＝ABsin30°＝3，BD＝ABcosB＝6×＝3，∴BC＝2BD＝6，∴S△ABC＝，故選：B．【點撥】此題考查了等腰三角形的面積的求法和三角函數的應用，解題的關鍵是利用等腰三角形中底邊上的高也是底邊上的中線求解．4．D【分析】如圖，為菱形的高，，利用菱形的性質得到，利用正弦的定義得到，則，從而得到的比值．解：如圖，為菱形的高，，菱形的周長為，，在中，，，，，．故選：D．【點撥】本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質．5．C【分析】根據特殊角銳角三角函數的定義以及直角三角形斜邊上的中線性質即可求出答案．解：∵是的中位線∴點、分別是、的中點∵∴∴∴故選：C【點撥】本題考查三角形綜合問題，涉及直角三角形斜邊上的中線性質，中位線的性質以及特殊角銳角三角函數的定義，本題屬于中等題型．6．B【分析】如圖所示，連接，由為中點得出，，從而根據勾股定理得出，然后由，得出，最后根據三角函數定義即可得出答案．解：如圖所示，連接，，，為中點，，，，，，，．故選：B．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理及三角函數的定義，解題的關鍵是通過等量代換得出，進而得出答案．7．C【分析】過點C作CF⊥ED交ED的延長線于點F，沿著方向平移的長度得到，得到AODE，AO＝ED＝AC，再證明四邊形OCFD是矩形，OC＝DF＝AC，CF＝OD＝BD，得到EF＝ED＋DF＝AC＋AC＝AC，由tan∠DEC＝即可求得答案．解：過點C作CF⊥ED交ED的延長線于點F，∵四邊形ABCD為是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OD＝BD，∵沿著方向平移的長度得到，∴AODE，AO＝ED＝AC，∵AC⊥BD，∴DO⊥DE，∵CF⊥ED，∴∠COD＝∠ODF＝∠CFD＝90°，∴四邊形OCFD是矩形，∴OC＝DF＝AC，CF＝OD＝BD，∴EF＝ED＋DF＝AC＋AC＝AC，在Rt△CFE中，∴tan∠DEC＝，故選：C【點撥】此題考查了菱形的性質、矩形的判定和性質、平移的性質、銳角三角函數的定義等知識，證明四邊形OCFD是矩形是解題的關鍵．8．D【分析】延長BA到，使，過點作于點Q，交AC于點P，此時，即的最小值為，根據求的值即可．解：延長BA到，使，過點作于點Q，交AC于點P如圖所示：∵A(4，0)、B(0，3)，∴，，在Rt△OAB中根據勾股定理可知，，∴，∵∠CAB=90°，∴，∴垂直平分，∴，∴，∵直線外一點與直線上各個點的連線中垂線段最短，此時最小，即最小，∵，∴設，則，∵在中，根據勾股定理可知，，∴，解得：，（舍去），則，∴最小值為，故D正確．故選：D．【點撥】本題主要考查了勾股定理，垂直平分線的性質，三角函數的應用，作出輔助線，找出什么情況下最小是解決本題的關鍵．9．C【分析】結合題意，根據直角三角形兩銳角互余、三角函數、分式方程的性質，得，再根據等腰三角形和三角函數的性質分析，即可得到答案．解：根據題意，得∴∴∵CD＝4∴∴經檢驗，是的解∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，∴∴∴∴∴∴∴經檢驗，是的解故選：C．【點撥】本題考查了三角函數、分式方程、等腰三角形、直角三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握三角函數的性質，從而完成求解．10．D【分析】①根據正方形的性質求證是直角三角形即可得到結果；②由①求證，利用其對應邊成比例即可得到結論；③由①求證即可得出結論；④利用相似三角形對應邊成比例即可得出結論；解：∵在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC，CD的中點，∴，∴，∵CG∥AE，∴，∴，∴，即△CGF為直角三角形，∵CG∥AE，∴△BHE也是直角三角形，∴．故①正確；由①得，∴，∴，故②正確；由①得，∴BH=CG，而不是BH=FG，故③錯誤；∵，∴，即，同理可得：，可得，∴，∴④正確；綜上所述，正確的有①②④．故答案選D．【點撥】本題主要考查了銳角三角函數的定義判斷，準確結合相似三角形性質和全等三角形性質是解題的關鍵．11．銳角三角形【分析】根據二次根式和絕對值的非負數性質及特殊角的三角函數值可求出∠A和∠B的度數，然后根據三角形內角和求出∠C的度數，即可得到答案．解：∵，∴cos2A-=0，tan-=0，∴cosA=（負值舍去），tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°-45°-60°=75°，∴△ABC是銳角三角形，故答案為：銳角三角形【點撥】本題考查了特殊角的三角函數值及非負數性質的應用，熟練掌握非負數的性質，熟記特殊角的三角函數值是解題關鍵．12．【分析】根據已知條件設出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據勾股定理求出另一直角邊的長，由三角函數的定義直接解答即可．解：由sinα==知，如果設a=x，則c=2x，結合a2+b2=c2得b=x.∴cos==.故答案為：.【點撥】本題考查的知識點是同角三角函數的關系，解題的關鍵是熟練的掌握同角三角函數的關系.13．【分析】找到方格點D，連接CD，由直角三角形逆定理得出三角形ADC為直角三角形，然后根據正弦函數的定義求解即可．解：：找到方格點D，連接CD，根據題意可得：AD2=12+12=2，，AC2=12+32=10，，CD2=22+22=8，，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴，故答案為：．【點撥】題目主要考查勾股定理及其逆定理，求角的正弦等，理解題意，找準直角三角形求解是解題關鍵．14．【分析】連接CF，MN為AC的垂直平分線，則可得，由銳角三角函數和勾股定理可得DC、BC的長，再設，利用勾股定理列方程求解即可．解：連接CF，由題意可知：MN為AC的垂直平分線，，∵矩形ABCD，，，在中，AC=10，，，在中，，設，則，在中，，即：，解得：，．故答案為：．【點撥】本題考查了垂直平分線的畫法和性質，矩形的性質，銳角三角函數以及勾股定理，熟練掌握垂直平分線的性質以及應用勾股定理列方程是本題的關鍵．15．-12【分析】作軸于，軸于，如圖，利用反比例函數系數的幾何意義得到，再根據正切的意義得到，接著證明，利用相似三角形的性質得，所以，然后根據反比例函數的性質確定的值．解：作軸于，軸于，如圖，則，在中，，，，，∴，，，，而，．故答案為-12．【點撥】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征：反比例函數為常數，的圖象是雙曲線，圖象上的點的橫縱坐標的積是定值，即．也考查了相似三角形的判定與性質．16．【分析】根據折疊對稱性把各邊和角表示出來，利用等邊三角形性質把OB表示出來即可求出．解：C沿著CE折疊得到，與AB交于O．設AE=x，則=x．∵AC沿著CE折疊得到，A的對應點為，∴∠ECA==60°∴，EO=∴AO=AE+EO=又∵等邊三角形ABC，∴AO=OB=∴tan==故答案為：．【點撥】本題考查了正切值、等邊三角形的性質，解題的關鍵是構造直角三角形并把各邊表示出來．17．【分析】過點C作BD垂線，垂足為E，設BE為x，DE為y，根據，可得為等腰直角三角形，以及可證，根據勾股定理和相似三角形的性質列方程求出x、y的值，即可求得BD的值．解：如圖：過點C作BD垂線，垂足為E，在中，，，設BE為x，DE為y，則根據勾股定理可得：，即：，，，，，，，即；根據，解得：，則，故答案為：．【點撥】本題主要考查銳角三角函數，相似三角形，勾股定理等知識點，根據相似三角形性質以及勾股定理列出方程是解題的關鍵．18．①②③【分析】①根據尺規作圖的過程即可得結論；②根據①和勾股定理即可得結論；③根據直角三角形的外接圓的性質即可得結論；④根據銳角三角函數即可得結論．解：①根據題意的作圖過程，可知是等邊三角形，∠ABD＝90°，∴∠CBD＝30°．故①正確．②∵∠ABD＝90°，∠CBD＝30°．∴2AB＝AD，根據勾股定理，得∵BC是的中線，∴S△ABC＝S△BCD＝故②正確．③∵點C是直角三角形ABD斜邊AD的中點，∴點C是的外心．故③正確．④在Rt中，∴sin2A+cos2D＝≠1．故④不正確．故答案為：①②③．【點撥】本題考查了尺規作圖、三角形的外接圓、直角三角形、勾股定理、三角形的面積、銳角三角函數，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識．19．（1）；（2）．【分析】（1）根據二次根式與特殊角的三角函數值即可求解；（2）根據特殊角的三角函數值即可求解．解：（1）原式＝＝＝．（2）原式．【定睛】此題主要考查實數的運算。解題的關鍵是熟知特殊角的三角函數值．20．(1)(2)【分析】（1）由求出，在中由勾股定理可求出的長；（2）過點作于點F，證明，根據相似三角形的性質求出EF，DF的長，根據勾股定理求出AE的長，再根據正弦的定義求解即可．解：（1）∵∴和均為直角三角形，∵∴∵∴∵由勾股定理得，（2）過點作于點F，如圖，∵，∴//∴∴∵點是邊的中點∴∴∵∴∴∴在中，∵∴∴【點撥】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質，解直角三角形等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解答本題的關鍵．21．10【分析】設，根據三角函數表示出其它線段，最終表示出BE、AB，然后在三角形ABE中根據勾股定理即可求出AB.解：∵是矩形，沿翻折∴，BE=EF，∠AFE=∠B=∠D=，∴∠AFD+∠DAF=∠AFD+∠EFC=,∴∠DAF=∠EFC,∴,設，則∴,∴,∴AD=8k，∴，∴，∴,∴,∵,∴，∴,∴.【點撥】此題考查了折疊的性質、矩形的性質、三角函數的定義以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用.22．（1）24；（2）M點的坐標為【分析】(1)根據交點坐標的意義，求得點P的橫坐標，利用k=xy計算m即可；（2）利用分類思想，根據正切的定義，建立等式求解即可.解：（1）∵點P縱坐標為4，∴，解得，∴，∴．（2）∵，∴，設，則，當M點在P點右側，∴M點的坐標為，∴（6+2t）（4-t）=24，解得：，（舍去），當時，，∴M點的坐標為，當M點在P點的左側，∴M點的坐標為，∴（6-2t）（4+t）=24，解得：，，均舍去．綜上，M點的坐標為．【點撥】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，反比例函數解析式的確定，三角函數，一元二次方程的解法，熟練掌握函數圖像交點的意義，靈活運用三角函數的定義，構造一元二次方程并準確解答是解題的關鍵．23．（1）見分析；（2）【分析】（1）連接，證明即可；（2）由已知條件得出，利用特殊角銳角三角函數求出OD、OG的長度，再由扇形面積公式以及三角形面積公式求即可．解：.（1）證明：連接．∵，．∴．∵是的半徑，∴是切線．（2）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，在中，，∴，∴．【點撥】本題