《計算機控制系統》研究生課程媒體教學計算機控制系統授課教師：

李志-Mail：jzhli@QQ:4602542187現代控制技術

在經典控制理論中，用傳遞函數模型來設計和分析單輸入單輸出系統，但傳遞函數模型只能反映出系統的輸出變量與輸入變量之間的關系，而不能了解系統內部的變化情況。在現代控制理論中，用狀態空間模型來設計和分析多輸入多輸出系統，便于計算機求解，同時也為多變量系統的分析研究提供了有力的工具。7.1狀態空間的輸出反饋設計法7.2狀態空間的極點配置設計法7.3離散狀態空間的最優化設計法線性定常系統被控對象的連續狀態方程為：

式中，x(t)是n維狀態向量；u(t)是r維控制向量；y(t)是n維輸出向量；A是nxn維狀態矩陣；B是r維控制矩陣；C是mxn維輸出矩陣。采用狀態空間的輸出反饋設計法的目的是：利用狀態空間表達式，設計出數字控制器D(z)，使多變量計算機控制系統滿足所需要的性能指標。7.1采用狀態空間的輸出反饋設計法

在控制器D(z)的作用下，系統輸出y(t)經過N次采樣(N拍)后，跟蹤參考輸入函數r(t)的瞬變響應時間為最小，這就是系統的性能指標。設系統的閉環結構形式如圖7-1所示。假設參考輸入函數r(t)是m維階躍函數向量，即

先找出在D(z)的作用下，輸出是最少N拍跟蹤輸入的條件。設計是，應首先把被控對象離散化，用離散狀態空間方程表示被控對象。7.1采用狀態空間的輸出反饋設計法7.1采用狀態空間的輸出反饋設計法7.1.1連續狀態方程的離散化7.1.2最少拍無紋波系統的跟蹤條件7.1.3輸出反饋設計法的設計步驟

在u(t)的作用下，式(7.1.1)的解為

是被控對象的狀態轉移矩陣，x(t0)是初始狀態向量。若已知被控對象的前面有一零階保持器，即

u(t)=u(k),kT≤t<(k+1)T(7.1.4)其中，T為采樣周期，現在要求將連續被控對象模型連同零階保持器一起進行離散化。7.1.1連續狀態方程的離散化

在式(7.1.3)中，令t0=kT,t=(k+1)T,同時考慮到零階保持器的作用，則式(7.1.3)變為

若令t=kT+T-z,則上式化為

式(7.1.6)即為(7.1.1)的離散狀態方程，由此可見離散化的關鍵是求式(7.1.7)中的F和G

。7.1.1連續狀態方程的離散化關于狀態轉移矩陣的求法：2.Cayley-Hamilton法3.拉普拉斯法1.直接法4.變換A為對角矩陣5.變換A為約當型矩陣6.變換A為模式矩陣7.1.1連續狀態方程的離散化

由(7.1.1)的輸出方程可知，y(t)以最少N拍跟蹤參考輸入r(t)，必須滿足條件

但按此條件設計的系統是有紋波系統，為設計無紋波系統，還必須滿足條件

這是因為在NT≤t≤(N+1)T的間隔內，控制信號u(t)=u(N)為常向量，由(7.1.1)知,當時，則在NT≤t≤(N+1)T的間隔內x(t)=x(N),而且不改變即若使t≥NT時的控制信號滿足7.1.2最少拍無紋波系統的跟蹤條件此時，x(t)=x(N)且保持不變，使條件(7.1.8)對t≥NT時始終滿足下式

式(7.1.8)確定的跟蹤條件為m個，式(7.1.9)確定的附加條件為n個，為滿足式(7.1.8)和(7.1.9)組成的(m+n)個跟蹤條件，(N+1)個r維的控制向量{u(0),u(1),…,u(N)}必須至少提供(m+n)個控制參數，即最少拍數N應取滿足式(7.1.12)的最小整數。7.1.2最少拍無紋波系統的跟蹤條件1.將連續狀態方程進行離散化2.求滿足跟蹤和附加條件的控制序列的z變換U(z)

被控對象的離散狀態方程式(7.1.6)的解為

對于由(7.1.1)給出的被控對象的連續狀態方程，用采樣周期T對其進行離散化，通過計算式(7.1.7),可求得離散狀態方程式(7.1.6).

被控對象在N步控制信號{u(0)u(1)…u(N-1)}作用下的狀態為7.1.3輸出反饋設計法的設計步驟

假定系統的初始條件x(0)=0,則有用分塊矩陣形式來表示，得到根據條件式(7.1.8)有7.1.3輸出反饋設計法的設計步驟再由條件(7.1.9)和(7.1.1)知或將式(7.1.14)代入上式，得7.1.3輸出反饋設計法的設計步驟由式(7.1.15)和(7.1.16)可以組成確定(N+1)個控制序列{u(0)u(1)…u(N)}的統一方程組為當k=N時，控制信號應滿足u(k)=u(N)=P(N)r0(k≥N)這樣就求得了控制序列{u(k)},其Z變換為設方程(7.1.17)有解，并設解為7.1.3輸出反饋設計法的設計步驟3.求誤差序列{e(k)}的Z變換E(z)設x(0)=0,將(7.1.13)代入上式得誤差向量為則{e(k)}的Z變換為再將(7.1.18)代入上式，則7.1.3輸出反饋設計法的設計步驟

式中，因為滿足跟蹤條件式(7.1.8)和附加條件式7.1.9)，即當k≥N時，誤差信號應消失，因此4.求控制器的脈沖傳遞函數D(z)根據式(7.1.19)和(7.1.20)可求得D(z)為7.1.3輸出反饋設計法的設計步驟[例7.1]設二階單輸入單輸出系統，其狀態方程為采樣周期T=1秒，試設計最少拍無紋波控制器D(Z).求解過程7.1.3輸出反饋設計法的設計步驟

在計算機控制系統中，除了使用輸出反饋控制外，還較多地使用狀態反饋控制，因為由狀態輸入就可以完全地確定系統的未來行為。圖7-2給出了計算機控制系統的典型結構。在7.1.1節中，討論了連續被控對象同零階保持器一起進行離散化的問題，同時忽略數字控制器的量化效應，則圖7-2可以簡化為圖7-3所示的離散系統。7.2采用狀態空間的極點配置設計法

下面按離散系統的情況來討論控制器的設計。本節討論利用狀態反饋的極點配置方法來進行設計控制規律，首先討論調節系統(r(k)=0)的情況，然后討論跟蹤系統，即如何引入外界參考輸入r(k)。按極點配置設計的控制器通常有兩部分組成。一部分是狀態觀測器，它根據所量測到的輸出量y(k)重構出全部狀態,另一部分是控制規律，它直接反饋重構的全部狀態。圖7-4給出了調節系統的情況（即r(k)=0)。7.2采用狀態空間的極點配置設計法7.2采用狀態空間的極點配置設計法7.2.1按極點配置設計控制規律7.2.2按極點配置設計狀態觀測器7.2.3按極點配置設計控制器7.2.4跟蹤系統設計態空間的極點配置設計法

為了按極點配置設計控制規律，暫設控制規律反饋的是實際對象的全部狀態，而不是重構的狀態，如圖7-5所示。設連續被控對象的狀態方程為

由7.1.1節知，相應的離散狀態方程為7.2.1按極點配置設計控制規律

若圖7-5中的控制規律為線性狀態反饋，即則要設計出反饋控制規律L，以使閉環系統具有所需要的極點配置。將式(7.2.4)代入式(7.2.2)得到閉環系統的狀態方程為顯然，閉環系統的特征方程為設給定所需要的閉環系統的極點為zi(i=1,2,…n),則很容易求得所要求的閉環系統的特征方程為7.2.1按極點配置設計控制規律由式(7.2.6)和式(7.2.7)可知，反饋控制規律應滿足如下的方程

將上式的行列式展開，并比較兩邊z的同次冪的系數，則一共可得到n個代數方程。對于單輸入的情況，L中未知元素的個數與方程的個數相等，因此一般情況下可獲得L的唯一解。而對于多輸入的情況，僅根據式(7.2.8)并不能完全確定L，設計計算比較復雜，這時需同時附加其他的限制條件才能完全確定L。本節只討論單輸入的情況。可以證明，對于任意的極點配置，L具有唯一解的充分必要條件是被控對象完全能控，即7.2.1按極點配置設計控制規律

這個結論的物理意義也是很明顯的，只有當系統的所有狀態都是能控的，才能通過適當的狀態反饋控制，使得閉環系統的極點配置在任意指定的位置。由于人們對于S平面中的極點分布與系統性能的關系比較熟悉，因此可首先根據相應連續系統性能指標的要求來給定S平面中的極點，然后再根據的關系求得Z平面中的極點分布，其中T為采樣周期。[例7.2]被控對象,采樣周期T為0.1s，采用零階保持器。要求閉環系統的動態響應相當于阻尼系數為0.5，無阻尼自然振蕩頻率3.6的二階連續系統，用極點配置方法設計狀態反饋控制規律L，并求u(k).求解過程7.2.1按極點配置設計控制規律[例7.3]被控對象設計反饋控制器u=-Lx，使閉環系統極點為u12=-2±j2√3，u3=10。求解過程7.2.2按極點配置設計狀態觀測器常用的狀態觀測器有三種：預報觀測器、現時觀測器和降階觀測器。1、預報觀測器常用的觀測器方程為7.2.2按極點配置設計狀態觀測器

其結構如圖7-6所示。設計觀測器的關鍵在于如何合理地選擇觀測器的增益矩陣K，定義狀態重構誤差為

因此，如果選擇K使系統(7.2.14)漸進穩定，那么重構誤差必定回收斂到零，即使系統式(7.2.2)是不穩定的，在重構中引入觀測量反饋，也能使誤差趨于零。式(7.2.14)稱為觀測器的誤差動態方程，該式表明，可以通過選擇K，使狀態重構誤差動態方程的極點配置在期望的位置上。如果出現觀測器期望的極點zi(I=1,2,…,n),那么求得觀測器期望的特征方程為

由式(7.2.14)可得觀測器的特征方程為7.2.2按極點配置設計狀態觀測器為了獲得期望的狀態重構性能，由式(7.2.15)和式(7.2.16)可得

對于單輸入單輸出系統，通過比較式(7.2.17)兩邊z的同冪次系數，可求得K中n個未知數。對于任意的極點配置，K具有唯一解的充分必要條件是系統完全能觀，即7.2.2按極點配置設計狀態觀測器2、現時觀測器

當(k+1)T時刻的狀態重構x’(k+1)用到了現時刻的量測量y(k+1)，因此式(7.2.19)稱為現時觀測器。7.2.2按極點配置設計狀態觀測器由式(7.2.2)和(7.2.19)可得狀態重構誤差為從而求得現時觀測器狀態重構誤差的特征方程為同樣，為了獲得期望的狀態重構性能，可由下式確定K的值系統必須完全能觀時才能求得唯一的K。7.2.2按極點配置設計狀態觀測器預報和現時觀測器都是根據輸出量重構全部狀態，即觀測器的階數等于狀態的個數，因此稱為全階觀測器。3、降階觀測器實際系統中，所能量測到的y(k)中，已直接給出了一部分狀態變量這部分狀態變量不必通過估計獲得。因此只要估計其余的狀態變量就可以了，這種階數低于全階的觀測器稱為降階觀測器。將原狀態變量分成兩部分，即

其中，xa(k)是能夠量測到的部分狀態，xb(k)是需要重構的部分狀態。由此，原被控對象的狀態方程(7.2.2)可以分塊寫成7.2.2按極點配置設計狀態觀測器將上式展開并寫成比較式(7.2.25)與式(7.2.2)，可得如下的關系7.2.2按極點配置設計狀態觀測器

參考預報觀測器方程式(7.2.12),可以寫出相應于式(7.2.25)的觀測器方程為上式便是根據已量測到的狀態xa(k),重構其余狀態xb(k)的觀測器方程。由于xb(k)的階數低于x(k)的階數，所以稱為降階觀測器。由式(7.2.25)和式(7.2.26)可的狀態重構誤差為7.2.2按極點配置設計狀態觀測器從而求得降階觀測器狀態重構誤差的特征方程為同理，為了獲得期望的狀態重構性能，由式(7.2.15)和式(7.2.28)可得

觀測器的增益矩陣K可由上式求得。若給定降階觀測器的極點，也即(z)為已知，如果仍只考慮單輸出(即xa(k)的維數為1)的情況，根據式(7.2.29)即可解得增益矩陣K。這里對于任意給定的極點，K具有唯一解的充分必要條件也是系統完全能觀，即式(7.2.18)成立。7.2.2按極點配置設計狀態觀測器[例7.4]設被控對象的連續狀態方程為其中采樣周期T=0.1s，要求確定K。1)設計預報觀測器，并將觀測器特征方程的兩個極點配置在z1,2=0.2處。2)設計現時觀測器，并將觀測器特征方程的兩個極點配置在z1,2=0.2處。3)假定x1是能夠量測的狀態，x2是需要估計的狀態，設計降階觀測器，并將觀測器特征方程的極點配置在z1,2=0.2處。求解過程7.2.2按極點配置設計狀態觀測器

前面分別討論了按極點配置設計的控制規律和狀態觀測器，這兩部分組成了狀態反饋控制器，如圖7-4所示的調節系統(r(k)=0的情況)。1、控制器的組成

設被控對象的離散狀態方程為

設控制器由預報觀測器和狀態反饋控制規律組合而成，即7.2.3按極點配置設計控制器2、分離性原理由式(7.2.39)和(7.2.40)構成的閉環系統(圖7-4)的狀態方程可寫成將上式改寫成7.2.3按極點配置設計控制器

由此可見，式(7.2.42)構成的閉環系統的2n個極點由兩部分組成：一部分是按狀態反饋控制規律設計所給定的n個控制極點；另一部分是按狀態觀測器設計的n個觀測器極點，這就是“分離性原理”。由上式構成的閉環系統的特征方程為

即7.2.3按極點配置設計控制器3、狀態反饋控制器的設計步驟綜上可歸納出采用狀態反饋的極點配置的步驟如下：1)按閉環系統的性能要求給定幾個控制極點；2)按極點配置設計狀態反饋控制規律，計算L；3)合理地給定觀測器的極點，并選擇觀測器的類型，計算觀測器增益矩陣K；4)最后根據所設計的控制規律和觀測器，由計算機來實現。7.2.3按極點配置設計控制器4、觀測器及觀測器類型選擇

采用狀態反饋控制器的設計，控制極點是按閉環系統的性能要求來設置的，因而控制極點成為整個系統的主導極點。觀測器極點的設置應使狀態重構具有較快的跟蹤速度。如果量測輸出中無大的誤差或噪聲，則可考慮觀測器極點都設置在Z平面的原點。如果量測輸出中含有較大的誤差或噪聲，則可考慮按觀測器極點所對應的衰減速度比控制極點對應的衰減速度快約4或5倍的要求來設置。7.2.3按極點配置設計控制器7.2.3按極點配置設計控制器觀測器的類型選擇應考慮以下兩點：1)如果控制器的計算延時與采樣周期處于同一數量級，則可考慮選用預報觀測器，否則可選用現時觀測器。2)如果量測輸出比較準確，而且它是系統的一個狀態，則可考慮選用降階觀測器，否則可選用全階觀測器。[例7.5]

在[例7.2]中的系統的離散狀態方程為并知系統是能控的。系統的輸出方程為

系統的采樣周期為0.1s，試設計狀態反饋控制器，以使控制極點配置在z1=0.6,z2=0.8，使觀測器(預報觀測器)的極點配置在z1=0.9+j0.1,z2=0.9-j0.1處。求解過程7.2.3按極點配置設計控制器

前面討論了調節系統的設計，即在圖7-4中r(k)=0的情況。在調節系統中，控制的目的在于有效地克服干擾的影響，使系統維持在平衡狀態。不失一般性，系統的平衡狀態可取為零狀態，假設干擾為隨機干擾，且相鄰脈沖干擾之間的間隔大于系統的響應時間。當出現脈沖干擾時，它將引起系統偏離零狀態。當脈沖干擾撤除后，系統將從偏離的狀態逐漸回到零狀態。

然而,對于階躍型或常值干擾,前面所設計的控制器不一定使系統具有滿意的性能.按照前面的設計,其控制規律為狀態的比例反饋，因此若在干擾加入點的前面不存在積分作用,則對于常值干擾,系統的輸出將存在穩態誤差。克服穩態誤差的一個有效方法是加入積分控制。下面研究如何按極點配置設計PI(比例積分)控制器，以克服常值干擾所引起的穩態誤差。7.2.3按極點配置設計控制器

設被控對象的離散狀態方程為

其中v(k)為階躍干擾，當k≥1時，△v(k)=0,則將上式改寫成令7.2.3按極點配置設計控制器

則有

仍然利用按極點配置設計控制規律的算法，針對式(7.2.48)設計如下的狀態反饋控制規律

對式(7.2.49)兩邊作求和運算得

顯然，上式u(k)由兩部分組成：前項代表積分控制，由于假設r(k)=0，平衡狀態又取為零狀態，所以上式是輸出量的積分控制；后項代表狀態的比例控制，并要求全部狀態直接反饋。式(7.2.51)稱為按極點配置設計的PI控制規律。圖7-7所示為采用PI控制規律的系統結構圖。7.2.3按極點配置設計控制器

下面說明為什么這樣的控制規律能夠抑制階躍型干擾而無穩態誤差。將式(7.2.49)代入式(7.2.48)得

矩陣(F-GL)的特征值即為給定的閉環極點，顯然它們都應在單位元內，也即式(7.2.52)所示的閉環系統一定是穩定的。從而對于任何初始條件均有

由于y(k)是m(k)的一個狀態，顯然也應有

上式表明，盡管存在常值干擾v(k)，輸出的穩態值終將回到零，也即不存在穩態誤差。圖7-7,PI控制規律要求全部狀態直接反饋，實際上是不現實的。因此可通過觀測器重構狀態，然后再線性反饋，如圖7-8所示。7.2.3按極點配置設計控制器

為了消除常值干擾所產生的穩態誤差，我們討論了調節系統(r(k)=0)的PI控制規律設計(如圖7-7,這里暫時不考慮觀測器)。在圖7-7的基礎上，我們可以很容易地畫出引入參考輸入時相應的跟蹤系統的結構圖如圖7-9所示。根據圖7-9可得控制規律為

其中L1和L2仍按極點配置方法進行設計，如式(7.2.49).對于這樣的控制規律，在常值參考輸入以及在常值干擾作用下均不存在穩態誤差，下面來說明這一點。7.2.4跟蹤系統設計根據迭加原理，可分別考慮以下兩種情況：①r(k)=0,v(k)=常數；②r(k)=常數,v(k)=0。對于①圖7-9即化簡為圖7-7，前面已說明圖7-7的控制規律對常值干擾不存在穩態誤差。對于②即只考慮常值參考輸入的情況，系統可描述為7.2.4跟蹤系統設計將式(7.2.58)代入(7.2.56)可得由式(7.2.57)得

按極點配置法設計的閉環系統是漸近穩定的，所以當r(k)=常數時一定有y(∞)=常數。ue(∞)是誤差e(k)=r(k)-y(k)的積分，所以一定有e(∞)=0即y(∞)=r(∞)，也就是說，對于常值參考輸入，系統2的穩態誤差等于零。7.2.4跟蹤系統設計

為了進一步提高系統的無靜差度，還可引入參考輸入r(k)的順饋控制，如圖7-10所示。

圖7-10比圖7-9多了一個輸入順饋通道，控制規律中的其它參數L1和L2仍用和以前一樣的方法進行設計。剩下的問題是如何確定順饋增益系數L3。仿照和前面式(7.2.62)的推導不難求得當r(k)為常數時

穩態時有y(∞)=r(∞),同時希望在上式中ue(∞)=0以提高系統的無靜差度，因此得到7.2.4跟蹤系統設計從而得

在圖7-10中，仍然要求全部狀態直接反饋，這在生產實際中幾乎是不可能的。因此可仿照與前面類似的方法，通過構造觀測器來獲得狀態重構x’(k),然后再反饋x’(k)。包含觀測器及積分的控制器如圖7-11所示。在圖7.11中，可根據需要選用前面討論過的任何一種形式的觀測器。7.2.4跟蹤系統設計

前面我們用極點配置法解決了系統的綜合問題，其主要設計參數是閉環極點的位置，而且僅限于說明單輸入單輸出系統中。這兒討論更一般的控制問題。假設過程對象是線性的，且可以是時變的并有多個輸入和多個輸出，另外在模型中還加入了過程噪聲和量測噪聲。若性能指標是狀態和控制信號的二次型函數，則綜合問題被形式化為使此性能指標為最小的問題，由此可得到的最優控制器是線性的，這樣的問題稱為線性二次型LQ(LinearQuadratic)控制問題。如果在過程模型中考慮了高斯隨機擾動，則稱為線性二次型高斯LQG(LinearQuadraticGaussian)控制問題。7.3采用狀態空間的最優化設計法

我們首先討論在所有狀態都可用的條件下導出了LQ問題的最優控制規律，如果全部狀態是不可測的，就必須估計出它們，這可用狀態觀測器來完成。然后對隨機擾動過程，可以求出使估計誤差的方差為最小的最優估計器，它稱為卡爾曼(Kalman)濾波器。這種估計器的結構與狀態觀測器相同，但其增益矩陣K的確定方法是不同的，而且它一般為時變的。最后根據分離性原理來求解LQG問題的最優控制，并采用卡爾曼濾波器來估計狀態。采用LQG最優控制器的調節系統(r(k)=0)如圖7.12所示。7.3采用狀態空間的最優化設計法

現在來求解完全狀態信息情況下的LQ最優控制問題。其最優控制器由離散動態規劃來確定。7.3.1LQ最優控制器設計1.問題的描述

首先考慮確定性問題,即無過程干擾Vc(t)和量測噪聲w(t)的情況。設被控對象的連續狀態方程為且連續的被控對象和離散控制器之間采用零階保持器連接，即其中：T為采樣周期。將連續狀態方程離散化得7.3.1LQ最優控制器設計系統控制的目的是按線性二次型性能指標函數其中為最小，來設計離散的最優控制器L，使其中，加權矩陣Q0和/Q1為非負定對稱矩陣，/Q2為正定對稱矩陣，N為正整數。7.3.1LQ最優控制器設計

公式(7.3.5)即為LQ最優控制器。帶LQ最優控制器調節系統(r(k)=0)如圖7.13所示。

當N為最小正整數時，稱為最少拍時間最優調節器問題。實際上應用最多的是要求N=∞，設計無限時間最優調節器，計算L(k)的穩態解。7.3.1LQ最優控制器設計2.二次型性能指標函數的離散化

二次型性能指標函數式(7.3.5)是以連續時間形式表示的，并可進一步表示為而且

由式(7.3.1)、(7.3.2)，當kT≤t≤(k+1)T時可求得7.3.1LQ最優控制器設計其中將式(7.3.9)、(7.3.2)，代入式(7.3.8)，并整理可得將式(7.3.10)代入式(7.3.7)得到等效的離散二次型性能指標函數為7.3.1LQ最優控制器設計2.最優控制規律計算

對式(7.3.3)所示的離散被控對象，若使式(7.3.14)所示的離散二次型性能指標函數為最小，則式(7.3.6)所示的離散控制規律L的遞推公式為7.3.2狀態最優估計器設計

全部狀態全用于反饋。這在實際上是難于做到的，因為有些狀態是無法量測的，即使量測到的信號中還可能含有量測噪聲，下面討論狀態最優估計。

設連續被控對象的狀態方程(如圖7.12所示)為其中，Vc為非負定對稱矩陣，W為正定對稱矩陣，并假設vc(t)和w(t)互不相關。7.3.2狀態最優估計器設計1.連續被控對象的狀態方程的離散化

為了設計離散的Kalman濾波器，可首先將式(7.3.20)所示的連續模型進行離散化，從而采樣系統的Kalman濾波問題便轉化為相應的離散系統的設計問題。方程(7.3.20)的解可寫為這里也假定在連續的被控對象前有一零階保持器，因而有7.3.2狀態最優估計器設計其中T為采樣周期，令t0=kT,t=(k+1)T,則式(7.3.23)變為進一步將系統的量測方程離散化為則(7.3.20)所對應的離散方程為7.3.2狀態最優估計器設計2.Kalman濾波公式的推導

在方程(7.3.27)中，由于存在隨機的干擾vd(k)和隨機的測量噪聲w(k)。因此系統的狀態向量x(k)也為隨機向量。其中y(k)是能夠量測的輸出量。問題是根據量測量y(k)估計x(k)，若記x(k)的估計量為x^(k),則為狀態估計誤差，因而為狀態估計誤差的協方差陣。顯然，P(k)為對稱非負定矩陣。根據最優估計理論，最小方差估計為7.3.2狀態最優估計器設計

最后將所有的Kalman濾波遞推公式歸納如下x^(0)和P(0)給定，k=1,2,3,…

從上面的遞推公式可以看出，若Kalman濾波增益矩陣K(k)已知，由(7.3.32)、(7.3.33)便可依次計算狀態最優估計，因此必須先計算出K(k)7.3.2狀態最優估計器設計3.Kalman濾波增益矩陣的計算K(k)可以直接根據式(7.3.34)~(7.3.36)的遞推公式進行計算，下面給出迭代計算的流程：①給定參數F,C,V,W,P(0)，給定迭代步數N，并置k=1;②按式(7.3.35)計算P(k|k-1);③按式(7.3.36)計算P(k);④按式(7.3.34)計算K(k);⑤如果k=N，轉⑦，否則轉⑥;⑥k=k+1，轉②;⑦輸出K(k)和P(k)，k=1,2,3,…N.7.3.2狀態最優估計器設計

在上述迭代過程中，當k逐漸增加時，K(k)和P(k)將趨于穩態值。而且只要初始P(0)是非負定對稱矩陣，則K(k)和P(k)的穩態值將與P(0)無關。因此，如果只需要計算K(k)的穩態值，則可取P(0)=0或P(0)=I。7.3.3LQG最優控制器設計

由LQ最優控制器和狀態最優估計兩部分，就組成了LQG最優控制器。設連續被控對象即式(7.3.20)的離散狀態方程即式(7.3.27)為由狀態最優估計器和LQ最優控制器組成的LQG的方程為7.3.3LQG最優控制器設計

顯然，設計LQG最優控制器的關鍵是按分離性原理分別計算Kalman濾波器增益矩陣K和最優控制器L。圖7.12給出了采用LQG最優控制器的系統框圖。

為了計算LQG最優控制器,首先按式(7.3.34)~(7.3.36)迭代計算K(k)，直至趨于穩態值K為止；然后按(7.3.16)~(7.3.18)迭代計算L(k)直至趨于穩態值L為止。7.3.3LQG最優控制器設計

閉環系統的調節性能取決于最優控制器，而最優控制器的設計又依賴于被控對象的模型(矩陣A,B,C)、干擾模型(協方差矩陣V,W)和二次型性能指標函數中加權矩陣(Q0,/Q1,/Q2)的選取。被控對象的模型可通過機理分析、實驗方法和系統辨識方法來獲取。Kalman濾波器增益矩陣K的計算取決于過程干擾協方差陣V和量測噪聲協方差陣W，而最優控制器L的計算又取決于加權矩陣。在設計過程中，一般憑經驗或試湊給出V，W和加權矩陣，通過計算不斷調整，逐步達到滿意的調節系統。7.3.4跟蹤系統的設計

前面討論了調節系統(如圖7.12所示)的設計，它主要考慮了系統的抗干擾性能。對于跟蹤系統，除了考慮系統應有好的抗干擾性能外，還要求系統對參考輸入具有好的跟蹤響應性能。因此，對于跟蹤系統，可首先按調節系統來設計，使具有好的抗干擾性能，然后再按一定的方式引入參考輸入，使其滿足跟蹤性能的要求。

由于這里的LQG系統與7.2.4節的采用狀態空間的極點配置設計的系統具有完全相同的結構，因此，這里可與第7.2.4節所介紹的同樣方法來引入參考輸入。在第7.2.4節主要討論了單輸入單輸出的情況，本節LQG問題可適合于一般的多變量系統。為了消除由于模型參數不準所引起的跟蹤穩態誤差和常值干擾所產生的穩態誤差，可采用與圖7.11類似的系統結構如圖7.14所示。7.3.4跟蹤系統的設計

在圖7.14所示的系統中，狀態最優估計按第7.3.2節中給出的方法進行設計，L1和L2按第7.2.4節中介紹PI調節的方法進行設計，如果進一步提高系統的無靜差度，可以引入順饋增益矩陣L3，參考公式(7.2.65)可求得（假設控制量和輸出量的維數相等）第七講

作業7-1.設一階單輸入單輸出系統的狀態方程為采樣周期T=0.5s，試設計最少拍無紋波控制器D(z)。7-2.被控對象的傳遞函數為采樣周期T=0.1s，采用零階保持器。按極點配置法設計狀態反饋控制規律L，使閉環系統的極點在z1,2=0.8±j0.25處，求L和u(k)。第七講

作業7-3.被控對象的傳遞函數為T=0.5秒，設計控制器u=kx+k1r，使閉環系統具有極點-2±j2√3，10。7-4.試比較三種觀測器的特點及應用場合。7-5.簡述分離性原理。第七講

作業7-6.被控對象的傳遞函數為采樣周期T=0.1s，采用零階保持器。進行全狀態直接反饋，但只能測到一個狀態變量。設計狀態觀測器，極點配置在z1,2=0.3±j0.5處，試求觀測器的增益矩陣。第七講

作業7-7.被控對象為設采樣周期T=0.1s，設計控制器使閉環極點為z1,2=-1.8±j2.4。設計狀態觀測器，使閉環極點為z1,2=-8。謝謝！圖6-1具有輸出反饋的計算機控制系統D(z)CBAr(t)u(t)u(k)e(k)y(t)x(t)-T+T++被控對象圖7-1具有輸出反饋的多變量計算機控制系統y(k)Tr(k)u(k)u(t)y(t)控制器零階保持器控制器圖7-2計算機控制系統的典型結構r(k)u(k)y(t)控制器被控對象圖7-3簡化的離散系統結構圖y(k)u(k)u(t)y(t)觀測器控制規律零階觀測器被控對象圖7-4調節系統(r(k)=0)中控制器的結構12控制器y(k)u(k)u(t)x(t)y(t)控制規律零階觀測器C圖7-5按極點配置設計控制規律v(k)y(k)x(k)U(k)PI控制規律C圖7-6預報觀測器v(k)y(k)x(k)U(k)PI控制規律C圖7-7按極點配置設計的PI控制規律v(k)y(k)x(k)U(k)PI控制器被控對象觀測器圖7-8按極點配置設計的PI控制器r(k)v(k)y(k)x(k)U(k)PI控制規律Ce(k)Ue(k)圖7-9帶PI控制規律的跟蹤系統r(k)v(k)y(k)x(k)U(k)PI和輸入順饋控制規律Ce(k)ue(k)ur(k)圖7-10帶PI控制和輸入順饋的跟蹤系統v(k)y(k)x(k)U(k)PI控制器被控對象觀測器r(k)圖7-11按極點配置設計的PI控制器圖7-12調節系統(r(k)=0)中LQG最優控制器的結構x(k)u(k)u(t)y(t)狀態最優估計器LQ最優控制規律零階觀測器被控對象Vc(k)最優裝置w(k)控制器返回7.3.2返回7.3返回7.3.3返回7.3.4圖7-13調節系統(r(k)=0)中LQ最優控制器的結構LQ最優控制器X(k+1)=Fx(k)+Gu(k)Cu(k)-Lx(k)y(t)圖7-14帶最優估計器及PI和順饋控制的跟蹤系統++-+-y(k)r(k)v(k)x(k)U(k)控制器x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+vd(k)狀態最優估計器y(k)=Cx(k)+w(k)w(k)[解]實際上，求解此題關鍵是求得系統的離散狀態方程，而求離散狀態方程的關鍵又是求狀態轉移矩陣eAt，這兒給出兩種求eAt的方法：

(1)拉普拉斯變換法[例7.1]則(2)卡萊-哈密爾頓法則[例7.1]顯然[例7.1]由上述兩種方法的任一種均可得要設計無紋波系統，應滿足而n=2,r=1,m=1,因此取N=2可滿足上式條件。由式(7.1.17)可得[例7.1]即進一步得由式(7.1.19)和N=2知[例7.1]由式(7.1.20)和N=2知所以數字控制器D(z)為[例7.1][解]被控對象的微分方程為，定義兩個狀態變量分別為得到，故有故有對應的離散狀態方程為[例7.2]代入T=0.1s得而且系統能控[例7.2]根據要求，求得S平面上兩個期望的極點為利用的關系，可求得Z平面上的兩個期望極點為于是得到期望的閉環系統特征方程為若狀態反饋控制規律為[例7.2]比較(7.2.10)與(7.2.11)的同冪次系數，可得則閉環系統的特征方程為求解上式，得L1=10,L2=3.5所以[例7.2][解]定義狀態變量為x1=y，x2=x1’，x3=x2’，則系統狀態方程為[例7.3]將系統狀態方程離散化，見MATLAB程序Exam331[解]散狀態方程為其中將T=0.1s代入式(7.2.32)得(1)由已知條件知[例7.4]比較式(7.2.33)與(7.2.34)的同冪系數得解得[例7.4](2)由已知條件知比較式(7.2.35)與(7.2.36)的同冪系數得解得[例7.4](3)由前面知比較式(7.2.37)與(7.2.38)的同冪系數得 K=0.8

解畢[例7.4][解]由[例7.2]和[例7.3]中知系統是能控和能觀的。根據分離性原理，系統控制器設計可按以下進行(1)設計控制規律求對應控制極點z1