學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精3．4概率的應用［學習目標]了解概率在解決實際問題中的應用,樹立學生的數學應用意識．［預習導引］1.概率的應用比較廣泛,我們日常用的微機的鍵盤，空格鍵不僅最大，而且放在使用方便的位置,原因是空格的使用頻率最高；在漢字輸入時，當輸入拼音“shu”，則提示有以下幾種選擇1。數，2。書,3.樹，4。屬，5.署…這個顯示順序基本上就是按照拼音為“shu"的漢字出現頻率從大到小排列的．2。在密碼的編制和破譯中，概率論起著重要的作用．3。社會調查人員希望從人群的隨機抽樣調查中得到對他們所提問題誠實的回答．但是被采訪者常常不愿意如實地作出應答.1965年StanleyL。Warner發明了一種應用概率知識來消除這種不愿意情緒的方法.要點一概率在破譯密碼中的應用例1為了保證信息安全傳輸，有一種稱為密鑰的密碼系統（Private。KeyCryptosystem），其加密、解密原理如下：明文eq\o（→,\s\up14(加密密鑰））密文eq\o(→，\s\up14（解密密鑰)）明文設加密密鑰為y＝ax＋1,明文“3”通過加密后得到密文“16"，接收方收到密文后，通過解密密鑰解密得到明文“3"．（1）若接收方接到密文為“64”，則解密后的明文是多少?(2）若用數字1，2,3,…分別表示A,B，C…（字母表中的順序），且在英文常用文章中字母“E”(即5)出現的概率為10。5％，則上述密碼系統中，其對應的密文出現的概率是多少？解由題意知，16＝a3＋1,解得a＝2.（1)由64＝2x＋1，得x＝5，所以解密后的明文是“5”(2)因為明文與密文之間是一一對應關系,所以其對應密文出現的概率也是10。5％.規律方法密碼技術在軍事、政治、經濟方面有著廣泛的用途．為了使密碼設計更難破譯，人們發明了許多反破譯的方法，利用隨機序列就是一種極為重要的方法，其原理是:利用取值在1到26之間的整數值隨機數序列，使每個字母出現在密碼中的概率都相等．跟蹤演練1現代社會對破譯密碼的要求越來越高,有一種密碼把英文的明文（真實文）按字母分解，其中英文的a，b，c,…，z的26個字母（不論大小寫）依次對應1，2,3，…,26，這26個自然數，見表格：abcdefghijklm12345678910111213nopqrstuvwxyz14151617181920212223242526給出下列一個變換公式：x′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（x＋1，2)x∈N，1≤x≤26,x不能被2整除，，\f（x,2)＋13x∈N,1≤x≤26，x能被2整除。）)將明文轉換成密文，如8→eq\f(8,2）＋13＝17，即h變成q；5→eq\f（5＋1，2）＝3，即e變成c。(1)按上述規定，將明文good譯成密文是（）A．love B．eovlC．dhho D．ohhd（2）按上述規定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是（)A．lhho B．ohhlC．love D．eovl答案（1)C(2)C解析（1)g→7→eq\f(7＋1，2）＝4→d，o→15→eq\f（15＋1,2)＝8→h，d→4→eq\f(4，2)＋13＝15→o，故明文good的密文是dhho.（2）逆變換公式為x＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x′－1x′∈N，1≤x′≤13，，2x′－26x′∈N,14≤x′≤26，))則s→19→2×19－26＝12→l,h→8→2×8－1＝15→o，x→24→2×24－26＝22→v，c→3→2×3－1＝5→e，故密文shxc的明文是love.要點二社會調查問題例2深夜，某市某路段發生一起出租車交通事故．該市有兩家出租車公司,紅色出租車公司和藍色出租車公司，其中紅色出租車公司和藍色出租車公司的出租車分別占整個城市出租車的15%和85％.據現場目擊證人說,事故現場的出租車是紅色的，并對現場目擊證人的辨別能力做了測試,測得他辨認的正確率為80%，于是警察就認定紅色出租車具有較大嫌疑．你覺得警察這樣的認定公平嗎？解設該市的出租車有1000輛，那么依題意可得如下信息：證人眼中的顏色（正確率80％）真實顏色實際數據藍色紅色藍色(85％)850680170紅色(15％)15030120合計1000710290從表中可以看出，當證人說出租車是紅色時，確定它是紅色的概率為eq\f(120,290）≈0.41，而它是藍色的概率為eq\f（170，290)≈0.59.在實際數據面前，警察僅以目擊證人的證詞作為推斷的依據對紅色出租車公司顯然是不公平的．規律方法社會調查人員希望從人群的隨機抽樣調查中得到對他們所提問題誠實的回答．但是被采訪者常常不愿意如實地作出應答。1965年StanleyL。Warner發明了一種應用概率知識來消除這種不愿意情緒的方法．Warner的隨機化應答方法要求人們隨機地回答所提兩個問題中的一個，而不必告訴采訪者回答的是哪個問題．兩個問題中有一個是敏感的或者是令人為難的;另一個問題是無關緊要的．這樣應答者將樂意如實地回答問題，因為只有他知道自己回答的是哪個問題．跟蹤演練2某地政府準備對當地的農村產業結構進行調整,為此政府進行了一次民意調查。100個人接受了調查，他們被要求在“贊成調整”“反對調整"“對這次調查不發表看法”中任選一項,調查結果如下表:男女合計贊成調整18927反對調整122537對這次調查不發表看法201636合計5050100隨機選取一個被調查者，他對這次調整表示反對或不發表看法的概率是多少？解用A表示事件“對這次調整表示反對”，B表示事件“對這次調整不發表看法”，則A和B是互斥事件,并且A∪B就表示事件“對這次調整表示反對或不發表看法”．由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B）＝P(A)＋P（B)＝eq\f(37,100)＋eq\f(36，100)＝0.73。要點三利用概率知識解決實際生活中的決策問題例3如圖所示，有兩個可以自由轉動的均勻轉盤A,B.轉盤A被平均分成3等份,分別標上1，2,3三個數字;轉盤B被平均分成4等份,分別標上3,4,5，6四個數字．有人為甲、乙兩人設計了一個游戲規則：自由轉動轉盤A與B，轉盤停止后，指針各指向一個數字,將指針所指的兩個數字相加，如果和是6，那么甲獲勝,否則乙獲勝．你認為這樣的游戲規則公平嗎？如果公平,請說明理由;如果不公平，怎樣修改規則才能使游戲公平？解列表如下:BA3456145672567836789由表可知，等可能的結果有12種，和為6的結果只有3種．因為P（和為6)＝eq\f（3,12)＝eq\f（1，4），即甲、乙獲勝的概率不相等，所以這種游戲規則不公平．如果將規則改為“和是6或7，則甲勝，否則乙勝"，那么游戲規則就是公平的．規律方法游戲規則的公平與否應看其發生的概率是否一樣，故計算出其概率觀察即可．跟蹤演練3在生活中,我們有時要用抽簽的方法來決定一件事情．例如，5張票中有1張獎票，5個人按照順序從中各抽1張以決定誰得到其中的獎票,那么,先抽還是后抽（后抽的人不知道先抽的人抽出的結果）對各個人來說公平嗎？也就是說，各個人抽到獎票的概率相等嗎？解把5張票隨機地排列在位置1，2,3，4,5上．對于這張獎票來說，由于是隨機排列,因此它的位置有五種可能，故它排在任一位置上的概率都是eq\f（1,5)，5個人按排定的順序去抽，比如甲排在3號位置上，那么他抽得獎票的概率，即獎票恰好排在3號位置上的概率為eq\f（1,5）.因此，不管先抽還是后抽,在不知前面的人抽出的結果的前提下，抽到獎票的概率都是eq\f(1,5)。因此，先抽還是后抽(后抽的人不知道先抽的人抽出的結果）對各個人來說都是公平的，即各個人抽到獎的概率相等．1。從一群游戲的小孩中抽出k人，一人分一個蘋果，讓他們返回繼續游戲，一會兒后，再從中任取m人,發現其中有n個小孩曾分過蘋果，估計一共有小孩(）A．（k·eq\f(n,m))人 B．(k·eq\f(m,n))人C．(k＋m－n）人 D.eq\f（1，2）（k＋m－n)人答案B2.據人口普查統計,育齡婦女生男生女是等可能的，如果允許生育二胎，則某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是（）A.eq\f(1，2）B。eq\f(1,3）C。eq\f(1，4)D.eq\f（1,5)答案C解析所含的基本事件總數為4，分別為（男，男），(男，女），(女，男),（女，女)，∴兩胎均是女孩的概率為eq\f（1，4）。3．在所有的兩位數10～99中，任取一個數，則這個數能被2或3整除的概率為（）A.eq\f(5,6)B.eq\f（4,5)C。eq\f(2，3）D.eq\f（1，2)答案C解析10~99中有90個兩位數，這些兩位數中,偶數有45個，10～99中有30個能被3整除的數,其中奇數有30÷2＝15（個)，∴所求的概率為eq\f（45＋15,90)＝eq\f(2,3）.4．甲、乙兩人進行下棋比賽，甲獲勝的概率是0。4，兩人下成和棋的概率是0。2，則甲不輸的概率是()A．0.2 B．0.4C．0。6 D．0.8答案C解析甲不輸包括兩種情況：甲獲勝和兩人下成和棋，所以甲不輸的概率為0。6。5．有下列三個命題：①A，B是兩個事件，則P（A＋B）＝P(A）＋P(B）；②對立事件一定是互斥事