2022高考數學真題分類匯編

五、函數與導數

一、選擇題

1.（2022?全國甲（文T7）（理T5））函數y=（3*—fcoSX在區間一卦的圖象大致為（）

2.（2022?全國甲（文T8）（理T6））.當x=l時，函數岡取得最大值—2,則八2）=（）

1]

A.—1B.-----C.-D.1

22

3.（2022?全國乙（文T8）如圖是下列四個函數中的某個函數在區間國二I的大致圖像，則該函數是（）

\'r\一

-3\Jr;y

A尸B2xcosx

cy=?

x+1

4.（2022?全國乙（理）T12）已知函數國的定義域均為R,且

f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱，g⑵=4,則

岡)

A.-21B.-22C.-23D.-24

5.(2022?新高考I卷T10)已知函數岡，則（）

A."X）有兩個極值點B./（x）有三個零點

C.點（0,1）是曲線y=/（X）的對稱中心D.直線I岡I是曲線y=/（X）的切線

6.（2022?新高考I卷T12）已知函數/（x）及其導函數/'（X）的定義域均為R,記g（x）=/'（x）,若

,|可|均為偶函數,則（

C./(-1)=/(4)D.岡

7.(2022?新高考口卷T8)若函數/(x)的定義域為R,且/(X+>)+/(》->)=/(x)/(y),/(l)=1,則

8.（2022?北京卷T4）己知函數I__________I,則對任意實數X,有（）

A./（-x）+/（%）=0B.|臼

C.|廚------D.因

9.（2022?北京卷T7）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術,

為實現綠色冬奧作出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與7和炮尸的關系，其中7表示

溫度,單位是K：P表示壓強，單位是bar.下列結論中正確的是（）

Igp

A.當|yI，I岡I時,二氧化碳處于液態

B.當T=270,|口時,二氧化碳處于氣態

C.當|岡|可耐,二氧化碳處于超臨界狀態

D.當|乂I，I乂時,二氧化碳處于超臨界狀態

10.（2022?浙江卷T7）已知團，則4"厘=（）

A.25B.5C

二、填空題

1.（2022?全國乙（文T16）若0是奇函數，則。=_____,h

2.（2022?全國乙（理）T16）已知回|和行々分別是函數=（|岡|且|四|）的極小

值點和極大值點.若再＜々，則。的取值范圍是.

3.（2022?新高考I卷T15）若曲線|岡|有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是

4.（2022?新高考H卷T14）寫出曲線y=In|x|過坐標原點的切線方程：,.

/（X）=-+41-X

5.（2022?北京卷T11）函數X的定義域是.

a

6.（2022?北京卷T14）設函數I_____________________I若,（X）存在最小值，則。的一個取值為—

〃的最大值為

7.(2022?浙江卷T14)已知函數則岡；若當|反］時,

1</(%)<3,則〃一a的最大值是.

三、解答題

1.(2022?全國甲(文)T20)已知函數|岡曲線y=f(x)在點向|處的切

線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若回，求〃；

(2)求〃的取值范圍.

2.(2022,全國甲(理)T21)已知函數1.

(1)若|岡求。的取值范圍；

(2)證明：若“X)有兩個零點4X?,則環岡.

3.(2022?全國乙(文)T20)已知函數岡.

(1)當a=0時，求/(x)的最大值；

(2)若/(x)恰有一個零點，求a的取值范圍.

4.(2022?全國乙(理)T21)已知函數國

(1)當國二］時，求曲線回在點|區］處的切線方程;

(2)若“X)在區間憫肉恰有一個零點,求。的取值范圍.

5.(2022?新高考I卷T22)已知函數|岡和|刀|有相同最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線)，=匕，其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三

個交點的橫坐標成等差數列.

6.(2022?新高考口卷T22)已知函數|~^一.

(1)當|T］I時,討論，(X)的單調性；

(2)當x>0時，H|，求”的取值范圍;

(3)設|岡證明：問

7.(2022?北京卷T20)已知函數

(1)求曲線y=f(x)在點|處切線方程;

(2)設g(x)=/'(x),討論函數g(x)在［0,+8)上的單調性;

(3)證明：對任意的|岡有|岡______________.

8.(2022?浙江卷T22)設函數/(X)=士+lnX(X>0).

2x

(1)求/(X)的單調區間；

(2)已知a,/?eR,曲線y=/(x)上不同的三點(西,/(王)),(工2，/(工2))，(》3，/(%3))處的切線都經過點

(a,b).證明:

(i)若I,則0<8一/(a)<1］；

(ii)若0<a<e,%<工2<￡，則囚

(注：e=2.71828…是自然對數底數)

參考答案

一、選擇題

1.【答案】A

【解析】

【分析】由函數的奇偶性結合指數函數、三角函數的性質逐項排除即可得解.

【詳解】令/'(x)=(3工-3f)cos尤,xe

則0

所以為奇函數，排除BD；

又當回時，岡卜所以回I排除C.

故選：A.

2.【答案】B

【解析】

【分析】根據題意可知回|叵］眄可解得。力,再根據國二］即可解出.

【詳解】因為函數“X)定義域為(0,+8),所以依題可知，舊舊卜而3

所以|臼I，即。=-21=一2,所以r(x)=——+不，因此函數:(x)在晅］上遞增,在

XX

(1,+8)上遞減，％=1時取最大值，滿足題意，即有岡

故選：B.

3.【答案】A

【解析】

【分析】由函數圖像的特征結合函數的性質逐項排除即可得解.

【詳解】設岡，則叵故排除B;

設W，當岡時，0<cosx<1,

所以可，故排除C;

1Isin3

設岡，則g(3)=一二>0,故排除D.

故選：A.

4.【答案】D

【解析】

【分析】根據對稱性和已知條件得到百從而得到了⑶+〃5)+...+/(21)=—10,

臼然后根據條件得到|岡|的值,再由題意得到國|從而得到國

的值即可求解.

【詳解】因為y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱，

所以回

因為|底所以|五即|臼

因為I■I,所以I同

代入得a,即/(x)+/(x—2)=-2,

所以0

a

因為I臼i，所以?,i，即g，所以回

因為I反ii，所以?■i，又因為國

聯立得，岡,

所以y=g(x)的圖像關于點百中心對稱,因為函數g(x)的定義域為R,

所以叵-

因為后］所以國

所以

岡

故選：D

【點睛】含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據已知條件進行恰當的轉化，然后

得到所需的一些數值或關系式從而解題.

5.【答案】AC

【解析】

【分析】利用極值點的定義可判斷A,結合Ax)的單調性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利用導數的

兒何意義判斷D.

［詳解］由題，?岡］,令?岡?得［岡卜］丁~|，

令|狂I得岡，

所以□是極值點，故A正確;

綜上所述，函數/(x)有一個零點，故B錯誤;

令g,該函數的定義域為R，區

則〃(%)是奇函數,(0,0)是h{x}的對稱中心,

將//(x)的圖象向上移動一個單位得到f(x)的圖象,

所以點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心，故C正確;

令|岡可得IT]I，又恒

當切點為(U)時，切線方程為任丁當切點為|W|時,切線方程為同-|,

故D錯誤.

故選：AC

6.【答案】BC

【解析】

【分析】轉化題設條件為函數的對稱性，結合原函數與導函數圖象的關系，根據函數的性質逐項判斷即可

得解.

【詳解】因為國，|-|均為偶函數,

所以a即

所以|岡卜g(4—x)=g(x),則/(-1)=/(4),故C正確；

函數f(x),g(x)的圖象分別關于直線網對稱，

又g(x)=/'(x)，且函數/(x)可導，

所以岡，

所以同|，所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x),

所以岡，|日I，故B正確，D錯誤；

若函數/(x)滿足題設條件，則函數(C為常數)也滿足題設條件，所以無法確定/*)的函數值，

故A錯誤.

故選：BC.

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是轉化題干條件為抽象函數的性質，準確把握原函數與導函數圖象

間的關系，準確把握函數的性質(必要時結合圖象)即可得解.

7.【答案】A

【解析】

【分析】根據題意賦值即可知函數“X)的一個周期為6,求出函數一個周期中的舊|的

值，即可解出.

[詳解]因為|同令|7]|可得,咽所以

7],令x=0可得，岡,即0,所以函數/(X)為偶函數，令7]

得，a,即有國，從而可知

------------------------------------------—

0,g，故國，即/(%)=/(%+6),所以函

數“X)的一個周期為6.

因為[x],[x],[x]

岡，岡，所以

一個周期內的同.由于22除以6余4,

所以a

故選：A.

8.【答案】C

【解析】

【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤.

【詳解】岡，故A錯誤，C正確;

12,12V-1,

/(-x)T(x)---------=-:=1不是常數，故BD錯誤;

1+2-、1+2'1+2*1+2'2'+12'+1

故選：C.

9.【答案】D

【解析】

【分析】根據T與IgP的關系圖可得正確的選項.

【詳解】當|乂I，IT]I時,|岡|，此時二氧化碳處于固態，故A錯誤.

當T=270,|T]時,|岡I，此時二氧化碳處于液態，故B錯誤.

當|T]I，I乂I時,怛戶與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態,

另一方面，|囚|時對應的是非超臨界狀態,故C錯誤.

當|曰|,|岡I時,因|蟲故此時二氧化碳處于超臨界狀態,故D正確.

故選：D

10.【答案】C

【解析】

【分析】根據指數式與對數式的互化，塞的運算性質以及對數的運算性質即可解出.

a

【詳解】因為ga，即反]所以

故選：C.

二、填空題

1.【答案】①.一1;

②.ln2.

【解析】

【分析】根據奇函數的定義即可求出.

【詳解】因為函數岡為奇函數，所以其定義域關于原點對稱.

由a+」一HO可得，后,所以％="1=-1,解得:

,即函數的定義域為

1一尤一a

S,再由0可得，1^]I-叩0

在定義域內滿足□,符合題意.

故答案為：—二；In2?

2

2.【答案】

【解析】

【分析】由芭,士分別是函數因的極小值點和極大值點，可得3時,

rw<o.s時，a,再分和0<4<1兩種情況討論，方程|口的

與函數|國的圖象有兩個不同的交點，構造函數憫

兩個根為%當,即函數因

根據導數的結合意義結合圖象即可得出答案.

【詳解】解：a

因為苫分別是函數g的極小值點和極大值點,

所以函數“X）在舊做后

上遞減,在g上遞增,

所以當g時，r（x）<o,當g時，國

若a>1時,

當X<0時，岡

則此時岡,與前面矛盾,

故。>1不符合題意,

則切線的斜率為0

故切線方程為同

因為函數I岡I與函數IwI的圖象有兩個不同的交點,

所以I.解得尸I,

XO<a<l,所以回，

綜上所述，。的范圍為

【點睛】本題考查了函數的極值點問題，考查了導數的幾何意義，考查了轉化思想及分類討論思想，有一

定的難度.

3.［答案］因_________

【解析】

【分析】設出切點橫坐標國利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于目的方程,

根據此方程應有兩個不同的實數根，求得。的取值范圍.

設切點為區］，則區，切線斜率g

切線方程為：g

?..切線過原點，，區

整理得：g

?.?切線有兩條，QH"解得a<-4或a〉0,

二。的取值范圍是g

故答案為：7］

4.【答案】①.S②.)=一：*

【解析】

【分析】分x>0和x<0兩種情況，當x〉0時設切點為因，求出函數導函數，即可求出切線的

斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出％,即可求出切線方程，當x<0時同理可得;

【詳解】解：因為因

當x>0時同設切點為|叵I一|，由岡，所以司,所以切線方程為

0

又切線過坐標原點，所以岡，解得回所以切線方程為同

當x<0時向I,設切點為國L由岡，所以岡，所以切線方程為

岡

又切線過坐標原點，所以岡，解得為=-e,所以切線方程為岡，即

y二一x；

e______

故答案為:B3

5.［答案］但_________

【解析】

【分析】根據偶次方根的被開方數非負、分母不為零得到方程組，解得即可；

【詳解】解：因為囚，所以|囚解得耳且國二］，

故函數的定義域為|因"

故答案為：同

6.【答案】①0（答案不唯一）②.1

【解析】

【分析】根據分段函數中的函數「7］|的單調性進行分類討論,可知，。=0符合條件，耳］不符合條

件，可時函數目I沒有最小值,故/(X)的最小值只能取|岡1的最小值,根據定義域討論可

知|岡"［或叵］，解得0<aVL

【詳解】解：若a=0時，臼，|；

若耳ZI時，當時，/(x)=—姓+1單調遞增，當與二I時，|同|,故/*)沒有最小值，不

符合題目要求；

若I岡I時，

當時，f(x)=—or+1單調遞減，|國

0(0<a<2)

當x>a時，f(x).=:{c2

1■*?/、/inin3—2)2(a22)

||或|岡

解得0<。<1,

綜上可得|閃一~|；

故答案為：0(答案不唯一)，1

7.【答案】①.—②.畫螂岡|

【解析】

【分析】結合分段函數的解析式求函數值，由條件求出“的最小值，。的最大值即可.

【詳解】由已知囚，

44728

所以囚，

當I岡］時,由lK/(x)K3可得|7］所以|岡—1，

當|岡|時,由l</(x)<3可得岡,所以|國~

1</(%)<3等價于|岡所以回

所以Z?—a的最大值為舊,.

37

故答案為：—,3+V3-

28

四、解答題

1.【答案】(1)3(2)[-1,4W)

【解析】

【分析】(1)先由/(X)上的切點求出切線方程，設出g(x)上的切點坐標，由斜率求出切點坐標，再由函數

值求出。即可;

(2)設出g(x)上的切點坐標，分別由Ax)和g(x)及切點表示出切線方程，由切線重合表示出構造函數,

求導求出函數值域，即可求得。的取值范圍.

【小問1詳解】

由題意知，/(-1)=-1-(-1)=0,岡舊則y=/(x)在點閆|處的切線方

程為|qI,

即|臼設該切線與g(x)切于點|區則|國~解得|回則

正一|，解得耳|；

【小問2詳解】

f'(x)=3x2-1,則y=f(x)在點|臼|處的切線方程為叵I,整理得

y=(3x；-1)x-,

設該切線與g(x)切于點|因卜管I，則I回I，則切線方程為國

整理得問

岡

則,整理得0

令囚,則〃'(x)=-3尤=3x(3x+l)(x-l),令岡，解得

令I囚|，解得三]或年□,則X變化時,

的變化情況如下表:

二

X國一岡01(1,+°0)

〃(九)—0+0—0+

a

A(x)/]-1/

則h(x)的值域為［-1,+8),故a的取值范圍為［-1,+8).

2.【答案】(1)(―8,e+l]

(2)證明見的解析

【解析】

【分析】(1)由導數確定函數單調性及最值，即可得解；

(2)利用分析法，轉化要證明條件為回，再利用導數即可得證.

【小問1詳解】

/(x)的定義域為反

E--國

令I囚I，得X=1

當xe(0,1)J'(x)<0,f(x)單調遞減

當|底-----|單調遞增|臼

若I司|，則同I，即日jI

所以。的取值范圍為(—8,e+1］

【小問2詳解】

由題知,/(x)一個零點小于1,一個零點大于I

不妨設問

要證且，即證

因為a，即證a

因為g.即證a

v-1

即證-e---Inx+x-xe"-Inx—>O,XG(1,+OO)

XX

即證a

下面證明?岡?時,a

因

設

岡

則

岡

設

，而|因

所以g

所以《一e1>0,所以|可一］

X

所以g(x)在位Ll單調遞增

即I底所以岡

令岡

h\x)=—

XU卜?二針<。

所以〃（X）在II單調遞減

即I*1所以岡

綜上，因，所以向

【點睛】關鍵點點睛：本題極值點偏移問題，關鍵點是通過分析法，構造函數證明不等式

問

這個函數經常出現，需要掌握

3.【答案】（1）-1

(2)

【解析】

【分析】（1）由導數確定函數的單調性，即可得解;

（2）求導得岡，按照。40、0＜。＜1及。＞1結合導數討論函數的單調性，求得函數

的極值，即可得解.

【小問1詳解】

則同

當。=0時,

當a時，因，“X）單調遞增;

當時，/qX）＜0,/（X）單調遞減；

所以|因卜

【小問2詳解】

國I,則小）=0+1一”1=山口,

當時，IV|I，所以當舊|時,舊/（X）單調遞增;

當X€（l,+8）時，＜0,“X）單調遞減；

所以國，此時函數無零點，不合題意;

當0<“<1時，［岡］,在岡上，恒/（x）單調遞增；

在|岡|上,/?x）<0，/（x）單調遞減；

又舊當x趨近正無窮大時，“X）趨近于正無窮大，

所以/（X）僅在］反卜唯一零點,符合題意；

當國二］時，囚，所以“X）單調遞增,又向.

所以“X）有唯一零點，符合題意；

當時，|^1|,在因上，|司“X）單調遞增；

在|岡卜,戶?<0,/（X）單調遞減；此時舊|，

,當〃趨近正無窮大時，|岡卜近負無窮,

所以/（力在R］有一個零點,在??無零點,

所以“X）有唯一零點，符合題意；

綜上，a的取值范圍為（0,+8）.

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數研究函數的極值與單調性，把函數零點問題轉化為函數

的單調性與極值的問題.

4.【答案】（1）回|

⑵|可|

【解析】

【分析】（1）先算出切點,再求導算出斜率即可

（2）求導，對。分類討論，對x分|7|兩部分研究

【小問1詳解】

/(X)的定義域為(-1,+00)

當國二1時，岡，所以切點為(0,0)岡，所以切線斜

率為2

所以曲線。=/&)在點|厚］處的切線方程為|高

【小問2詳解】

0

0

設回

r若當回I，即f\x)>o

所以f(X)在(-1,0)上單調遞增，臼

故/(X)在(-1,0)上沒有零點，不合題意

日斜區I,當I岡則g'(x)=eA-2ax>0

所以g(x)在|司|上單調遞增所以「丁即r(x)>0

所以f(x)在(0,+0Q)上單調遞增后

故/(x)在(0,+8)上沒有零點，不合題意

⑴當IT］］，則g'(x)=e*—2以>0,所以g(x)在(0,+8)上單調遞增

g(0)=1+a<0,g⑴=e>0

所以

當血______________________

當Xf+00,/(X)—>+00

所以."X)在I岡I上有唯一零點

又|71I沒有零點，即f(x)在(0,+0。)上有唯一零點

⑵當|國

設[百------

國一

所以國1在(-1,0)單調遞增

3

所以存在|回],使得|倒

當xe(-1,〃),g'(x)<0,g(x)單調遞減

當|岡|單調遞增|臼

又困

所以存在te(-1,ri)所得|司即|岡一

當|五單調遞增,當|臼單調遞減

有|南

而I底所以當|我

所以"X)在|7]I上有唯一零點,|岡|上無零點

即/(X)在(-1,0)上有唯一零點

所以。<-1,符合題意

所以若/(X)在區間由I各恰有一個零點，求a的取值范圍為國

【點睛】方法點睛：本題的關鍵是對。的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足

即可，肯定要兩方面都說明.

5.【答案】(1)國

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)根據導數可得函數的單調性，從而可得相應的最小值，根據最小值相等可求a注意分類討論.

(2)根據(1)可得當國二|時，e*-x=b的解的個數、無一足％=〃的解的個數均為2,構建新函數

司利用導數可得該函數只有一個零點且可得|叵］帆大小關系,根據存在直線

3="與曲線|臼|、y=g(x)有三個不同的交點可得b的取值，再根據兩類方程的根的關系可證明三

根成等差數列.

【小問1詳解】

的定義域為R，而國

若aWO,則/'(x)>0,此時/(x)無最小值，故同

85)=以一111；1的定義域為(0,+8),而岡

當|岡|時,岡故/(x)在|叵||上為減函數,

【小問2詳解】

由(1)可得|岡|和|臼|的最小值為回

當I岡］時,考慮e'-x=b的解的個數、x—ln尤=6的解的個數.

設同］，可|，

當x<0時，Sr(x)<0,當x>0時，ix］,

故|岡|在(-8,0)上為減函數,在(0,切)上為增函數，

當WI時,IB|>當X>1時，回

故舊忸inr"i上為減函數,在（1,欣）上為增函數,

所以回|，

而因，回

國|有兩個不同的零點即x—lnx=〃的解的個數為2.

當I.|,由（1）討論可得x-lnx=Z?、e*—x=。僅有一個零點，

當臼|時,由（1）討論可得x-lnx=人、e*-x=A均無零點，

故若存在直線y=〃與曲線晅|、y=g（x）有三個不同的交點,

則可.

設If?|，其中x>0,故囚，

設s(x)=e'-x-l,x>0,則回

即I國

岡

所以,所以〃（X）在（0,+8）上為增函數,

而向

a

故人（x）在（0,+8）上有且只有一個零點%,且:

當回時，lx]即[國即a

當|岡|時,〃（%）>0即回即一

因此若存在直線y與曲線但|、y=g（x）有三個不同交點,

故區

此時e*-x=Z?有兩個不同的零點岡

此時x-lnx=Z?有兩個不同的零點入0，工4（°</<1</），

故|叵||國岡岡

所以4-力=111%4即場|即因

故區為方程e'—x=b的解，同理4一。也為方程e*-x=8的解

又|國|可化為|國［即|國惻國|，

故國二|為方程X—Inx=力的解，同理|「|也為方程無一Inx=6的解，

所以｛4,不｝=｛』-"及一耳，而IV］I，

------------

故即臼.

【點睛】思路點睛：函數的最值問題，往往需要利用導數討論函數的單調性，此時注意對參數的分類討論，

而不同方程的根的性質，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關系.

6.【答案】⑴〃x）的減區間為（F,0）,增區間為（0,+8）.

（2）||

（3）見解析

【解析】

【分析】（1）求出畫二討論其符號后可得/（x）的單調性.

（2）設|岡求出|囚先討論|國卜題設中的不等式不成立,再就囚結合放

縮法討論扁一|符號,最后就a40結合放縮法討論〃（X）的范圍后可得參數的取值范圍.

國一

（3）由（2）可得0"對任意的耳1恒成立，從而可得對任意的國二|恒

成立，結合裂項相消法可證題設中的不等式.

【小問1詳解】

當向二1時，叵I，則因

當x<0時，/,x）<0，當x>0時、［岡一］,

故“X）的減區間為（—8,0）,增區間為（0,+8）.

【小問2詳解】

設［liI，則〃⑼=0,

又岡，設臼，

則國

w岡I，則?國一|，

因為國二I為連續不間斷函數，

故存在I區使得I國］總有g")>0,

故gW在國二|為增函數，故|國~I’

故人⑺在國二I為增函數，故〃(x)>〃(o)=-1,與題設矛盾.

若岡，則|國卜

下證：對任意尤>0,總有ln(l+x)<x成立，

1_y

證明:設S(x)=ln(l+x)-無，故S'(x)=-----1=----<0,

故舊］在(0,”)上為減函數,故|因~|即In(1+x)<X成立.

由上述不等式有e(K+ln(l+ar)-ev<eM+ax-ex=e2at-ev<0，

故［叵］|總成立,即〃(力在(0,4w)上為減函數,

所以〃(x)<〃(0)=—1.

當a40時，有L

所以/z(x)在(0,+8)上為減函數，所以力(x)<〃(0)=-1.

綜上，卜］

【小問3詳解】

取岡，則Vx>0，總有雙3_6*+［<0成立，

令叵二|，則|岡卜

故|岡腳岡對任意的耳恒成立.

所以對任意的「司I，有囚

整理得到:因

/“+/，+???+I------------>In2-lnl+ln3-ln24----+ln(n+l)-lnz2

#717^72\)

國卜

故不等式成立.

【點睛】思路點睛：函數參數的不等式的恒成立問題，應該利用導數討論函數的單調性，注意結合端點處

導數的符號合理分類討論，導數背景下數列不等式的證明，應根據已有的函數不等式合理構建數列不等式.

7.【答案［(1)>=*

(2)g(x)在［0,+8)上單調遞增.

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)先求出切點坐標，在由導數求得切線斜率，即得切線方程；

(2)在求一次導數無法判斷的情況下，構造新的函數，再求一次導數，問題即得解；

(3)令皿x)=/(x+r)—f(x),(x,r>0),即證機(x)>/〃(0),由第二問結論可知|岡］在［0,+8)上單

調遞增，即得證.

【小問1詳解】

解：因為|岡所以|叵)

即切點坐標為巨］,

又因，

,切線斜率向

.,?切線方程為：>=%

【小問2詳解】

解：因為因

所以因

令岡

則岡

〃(x)在［0,+OO)上單調遞增,

在［0,+8)上恒成立,

.?.g(x)［0,+8)上單調遞增.

【小問3詳解】

解：原不等式等價于|岡一

令力(x)=/(x+r)-_f(x),(x,/>0),

即證機(x)>加(0),

岡

m'(x)=e'-'ln(l+x+r)H——-----evln(l+x)——--=g(x+/)-g(x),

l+x+t1+x

由(2)知可在［0,+?>)上單調遞增,

:.m(%)>0

二瓦］在(°，的)上單調遞增,又因為171|,

:.m(x)>m(0),所以命題得證.

8.【答案】⑴"X)的減區間為(0,增區間為

,+8

(2)(i)見解析；(ii)見解析.

【解析】

【分析】(1)求出函數的