第03講充分條件與必要條件（2大考點9種解題方法）考點考點考向一、充分條件與必要條件(1)一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q，這時，我們就說，由p可以推出q，記作p?q，并且說，p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)幾點說明若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p二、充要條件(1)如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們就說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件．(2)如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．概括地說，如果p?q，那么p與q互為充要條件．技巧方法技巧方法充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關系；2.若條件p，q以集合的形式出現，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，請寫出集合A，B的其他關系對應的條件p，q的關系．①若AB，則p是q的充分不必要條件；②若A?B，則p是q的必要條件；③若AB，則p是q的必要不充分條件；④若A＝B，則p是q的充要條件；⑤若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．3、充要條件的兩種判斷方法(1)定義法：根據p?q，q?p進行判斷.(2)集合法：根據使p，q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷.4、充分條件、必要條件的應用，一般表現在參數問題的求解上.解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區間端點值的檢驗.尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象.(3)數學定義都是充要條件.考點考點精講考點一：充分條件與必要條件題型一：判斷命題的充分不必要條件一、單選題1．（2022·全國·高一專題練習）已知命題p：，命題q：或，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據不等式的關系，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】因為，所以p是q的充分不必要條件.故選：A2．（2021·湖南·衡陽市田家炳實驗中學高一階段練習）已知，，且，一次函數單調遞增.則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據題意求得命題對應參數的取值范圍，從集合的角度即可判斷充分性和必要性.【詳解】對命題：因為，故可得；對命題：一次函數單調遞增，故可得，因為是的真子集，故是的充分不必要條件.故選：.3．（2022·廣東·化州市第三中學高一期末）已知命題p：x為自然數，命題q：x為整數，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據兩個命題中的取值范圍，分析是否能得到pq和qp．【詳解】若x為自然數，則它必為整數，即p?q．但x為整數不一定是自然數，如x＝－2，即qp．故p是q的充分不必要條件．故選：A.二、多選題4．（2022·全國·高一專題練習）可以作為或的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由充分不必要條件的定義即可得出答案.【詳解】可以作為或的一個充分不必要條件是和.故選：AC.三、填空題5．（2021·江蘇·高一專題練習）已知，或，則p是q的________條件．【答案】充分不必要【分析】根據給定條件，利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【詳解】命題“若p，則q”：假設不正確，即且，則有與已知矛盾，即假設是錯的，于是得q是正確的，因此，“若p，則q”是真命題，即p是q的充分條件，命題“若q，則p”：顯然當時，有，而滿足或，于是得“若q，則p”是假命題，即p不是q的必要條件，所以是q的充分不必要條件．故答案為：充分不必要題型二：根據充分不必要條件求參數一、單選題1．（2022·湖南·長沙市南雅中學高二階段練習）已知p：，q：，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得命題p、q中x的范圍，根據p是q的充分不必要條件，即可得答案.【詳解】命題p：因為，所以，解得，命題q：，因為p是q的充分不必要條件，所以.故選：C二、多選題2．（2022·河南·溫縣第一高級中學高一階段練習）若“”是“”的必要不充分條件，則實數a的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】利用必要不充分條件的定義直接判斷.【詳解】由解得：.因為“”是“”的必要不充分條件，所以只需，對照四個選項，a可以取1，2.故選：AB三、填空題3．（2022·全國·高一專題練習）已知，，若是的充分不必要條件，則實數的取值范圍是______【答案】【分析】根據是的充分不必要條件，可得，從而可得出答案.【詳解】解：因為是的充分不必要條件，所以，所以.故答案為：.四、解答題4．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.(1)若a=3，求；(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要條件，求實數a的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）將a=3代入求出集合P，Q，再由補集及交集的意義即可計算得解.（2）由給定條件可得，再根據集合包含關系列式計算作答.(1)因a=3，則P={x|4≤x≤7}，則有或，又Q={x|-2≤x≤5}，所以.(2)“x∈P”是“x∈Q”充分不必要條件，于是得，當a+1>2a+1，即a<0時，，又，即，滿足，則a<0，當時，則有或，解得或，即，綜上得：，所以實數a的取值范圍是.5．（2022·重慶復旦中學高一開學考試）在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第（2）問的橫線處，求解下列問題：已知集合，(1)當時，求；(2)若______，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)條件選擇見解析，【分析】（1）化簡集合與之后求二者的并集（2）先判斷集合與的關系，再求的取值范圍(1)當時，集合，，所以；(2)若選擇①A∪B＝B，則，因為，所以，又，所以，解得，所以實數的取值范圍是．若選擇②，““是“”的充分不必要條件，則，因為，所以，又，所以，解得，所以實數的取值范圍是．若選擇③，，因為，，所以或，解得或，所以實數的取值范圍是．6．（2022·全國·高一）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據集合的運算法則計算；（2）根據充分不必要條件的定義求解．(1)由已知，或，所以或＝；(2)“”是“”的充分不必要條件，則，解得，所以的范圍是．題型三：判斷命題的必要不充分條件一、單選題1．（2022·江蘇·高一單元測試）“三角形的某兩條邊相等”是“三角形為等邊三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】根據等邊三角形的定義結合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】三角形的某兩條邊相等則三角形是等腰三角形，不一定是等邊三角形，所以充分性不成立；三角形為等邊三角形則其三邊相等，能得到三角形的任意兩邊也是相等的，所以必要性成立.故選：B.2．（2022·全國·高一專題練習）2022年3月21日，東方航空公司MU5735航班在廣西梧州市上空失聯并墜毀．專家指出：飛機墜毀原因需要找到飛機自帶的兩部飛行記錄器（黑匣子），如果兩部黑匣子都被找到，那么就能形成一個初步的事故原因認定.3月23日16時30分左右，廣西武警官兵找到一個黑匣子，雖其外表遭破壞，但內部存儲設備完整，研究判定為駕駛員座艙錄音器．則“找到駕駛員座艙錄音器”是“初步事故原因認定”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】因為兩部黑匣子都被找到，就能形成一個初步的事故原因認定，根據充分與必要條件的定義即可判斷出結果．【詳解】因為兩部黑匣子都被找到，就能形成一個初步的事故原因認定，則“找到駕駛員座艙錄音器”不能形成“初步事故原因認定”；而形成“初步事故原因認定”則表示已經“找到駕駛員座艙錄音器”，故“找到駕駛員座艙錄音器”是“初步事故原因認定”的必要不充分條件，故選：C．3．（2020·安徽·合肥市第十中學高一期中）設集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據集合的包含與充分必要條件的關系判斷．【詳解】由題意集合是集合的真子集，因此“”是“”的必要不充分條件，故選：B．二、多選題4．（2021·廣東·梅州市梅江區梅州中學高一階段練習）下列命題正確的是（

）A．"”是“”的充分不必要條件B．若方程的兩根都是負數，則C．設x，，則“且”是“”的必要而不充分條件D．設a，，則“”是“”的必要而不充分條件【答案】AD【分析】根據充分性、必要性的定義進行逐一判斷即可.【詳解】A正確．“”可推出“”，但是當“”時，a有可能是負數，所以“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件：B錯誤．∵∴；C錯誤．當時，，但是“且”不成立，所以“”推不出“且”，所以“”不是“”的必要條件D正確”推不出但“”可推出”，所以”是的必要而不充分條件，故選：AD三、填空題5．（2022·全國·高一專題練習）寫出的一個必要不充分條件_____．【答案】（答案不唯一）【分析】由充分條件、必要條件的定義即可得出答案.【詳解】?，所以“”是不等式“”成立的一個必要不充分條件.故答案為：.題型四：根據必要不充分條件求參數一、填空題1．（2022·全國·高一）已知集合，或，若“”是“”的必要條件，則實數a的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據充分條件和必要條件的概念可得集合A與B的包含關系，畫出數軸即可得不等式組從而求出a的范圍．【詳解】∵“”是”的必要條件，∴，當時，，則；當時，根據題意作出如圖所示的數軸，由圖可知或，解得或，綜上可得，實數a的取值范圍為．二、解答題2．（2021·江西·豐城九中高一階段練習）已知集合或，集合(1)若，且，求實數的取值范圍．(2)已知集合，若是的必要不充分條件，判斷實數是否存在，若存在求的范圍【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）由集合交運算可得，根據集合的包含關系并討論是否為空集，列不等式組求參數范圍；（2）由題意，列不等式組求參數m范圍.(1)由題設，又，當時，，可得.當時，，可得.綜上，a的范圍.(2)由題意，而，所以，結合（1）有(等號不同時成立)，可得.故存在實數且.3．（2022·江蘇·高一單元測試）已知集合，，全集．(1)當時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據補集與交集的運算性質運算即可得出答案.（2）若“”是“”的必要條件等價于.討論是否為空集，即可求出實數的取值范圍.(1)當時，集合，或，．(2)若“”是“”的必要條件，則，①當時，；②，則且，.綜上所述，或．4．（2022·江蘇·高一）已知其中.(1)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意可得A?B，所以從而可求出實數的取值范圍，（2）由題意可得B?A，然后分a=0，a>0和a<0三種情況求解即可(1)設命題p：A={x|x2>0}，即p：A={x|x>2}，命題q：B={x|ax4>0}，因為p是q的充分不必要條件，所以A?B，.即解得a>2所以實數a的取值范圍為(2)由（1）得p：A={x|x>2}，q：B={x|ax4>0}，因為是的必要不充分條件，所以B?A，①當a=0時，B=，滿足題意；②當a>0時，由B?A，得.>2，即0<a<2；.③當a<0時，顯然不滿足題意.綜合①②③得，實數a的取值范圍為5．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知集合，.(1)若，求實數t的取值范圍；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數t的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先求出集合，再對與兩種情況討論，分別得到不等式，解得即可；（2）依題意可得集合，分與兩種情況討論，分別到不等式，解得即可；(1)解：由得解，所以，又若，分類討論：當，即解得，滿足題意；當，即，解得時，若滿足，則必有或；解得.綜上，若，則實數t的取值范圍為.(2)解：由“”是“”的必要不充分條件，則集合，若，即，解得，若，即，即，則必有，解得，綜上可得,，綜上所述，當“”是“”的必要不充分條件時，即為所求．題型五：充分條件的判定及性質一、單選題1．（2022·江蘇鹽城·高一期末）“”的一個充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依次判斷選項中的滿足的大小關系式，由此可判斷充分性是否成立.【詳解】對于A，當時，滿足，無法得到，充分性不成立，A錯誤；對于B，當時，，或，充分性不成立，B錯誤；對于C，當時，，可得到，C正確；對于D，當時，，或，充分性不成立，D錯誤.故選：C.2．（2022·貴州畢節·高一期末）對于實數x，“”是“”的（

）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用定義法即可判斷.【詳解】充分性：由，能推出，所以是的充分條件，必要性：由，不能推出，所以是的不必要條件.故選A．二、多選題3．（2022·河南·永城市苗橋鄉重點中學高一期末）使成立的一個充分條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】解不等式，根據充分條件的概念即可求解.【詳解】或，故使成立的一個充分條件的x的范圍應該是的子集.故選：AB.4．（2022·湖南·高一課時練習）(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的充分條件的有（

）A．若x＜1，則x＜2 B．若兩個三角形的三邊對應成比例，則這兩個三角形相似C．若|x|≠1，則x≠1 D．若ab＞0，則a＞0，b＞0【答案】ABC【分析】根據充分條件的定義逐一判斷即可.【詳解】由x＜1，可以推出x＜2，所以選項A符合題意；由兩個三角形的三邊對應成比例，可以推出這兩個三角形相似，所以選項B符合題意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以選項C符合題意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如，所以本選項不符合題意，故選：ABC三、解答題5．（2022·江蘇·高一）已知集合，.(1)若，求實數的取值范圍；(2)若是的充分條件，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據，由BA求解;（2）根據是的充分條件，由AB求解.(1)解：因為，，且，所以BA，則，解得，所以實數的取值范圍是；(2)因為是的充分條件，所以AB，則，解得，所以的取值范圍是.題型六：必要條件的判定及性質一、單選題1．（2022·湖北·高一階段練習）如果關于的一元二次方程的兩個解是，（其中），而且不等式的必要條件是，那么（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由必要條件的定義和一元二次方程的解可得選項.【詳解】解：因為不等式的必要條件是，關于的一元二次方程的兩個解是（其中），所以，故選：A.2．（2021·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學高一期中）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關．黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉”的（

）A．必要條件 B．充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】利用充分必要條件判斷即可得解．【詳解】由題意可知：“返回家鄉”則可推出“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉”必要條件，故選：．3．（2022·湖南·新化縣教育科學研究所高一期末）“兩個三角形相似”是“兩個三角形三邊成比例”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據相似三角形的性質，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】根據相似三角形的性質得，由“兩個三角形相似”可得到“兩個三角形三邊成比例”，即充分性成立；反之：由“兩個三角形三邊成比例”可得到“兩個三角形相似”，即必要性成立，所以“兩個三角形相似”是“兩個三角形三邊成比例”的充分必要條件.故選：C.二、多選題4．（2022·江蘇·高一單元測試）(多選)下列“若p，則q”形式的命題中，p是q的必要條件的有（

）A．若x，y是偶數，則x＋y是偶數 B．若a＜2，則方程x2－2x＋a＝0有實根C．若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形 D．若ab＝0，則a＝0【答案】BCD【分析】根據必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】A：x＋y是偶數不一定能推出x，y是偶數，因為x，y可以是奇數，不符合題意；B：當方程x2－2x＋a＝0有實根時，則有，顯然能推出a＜2，符合題意；C：因為菱形對角線互相垂直，所以由四邊形是菱形能推出四邊形的對角線互相垂直，符合題意；D：顯然由a＝0推出ab＝0，所以符合題意，故選：BCD三、填空題5．（2022·全國·高一）給出下列命題：①已知集合，且，則集合的真子集個數是4；②“”是“”的必要不充分條件；③“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件④設，則“”是“”的必要不充分條件其中所有正確命題的序號是__________．【答案】③④【分析】①根據集合描述列舉出元素，進而判斷真子集個數；②③④由充分、必要性的定義判斷條件間的推出關系，即可判斷正誤.【詳解】①，故真子集個數為個，錯誤；②由，可得或，故“”是“”的充分不必要條件，錯誤；③由開口向上且對稱軸為，只需即可保證原方程有一個正根和一個負根，故“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件，正確；④當，時，不成立；當時，且，故“”是“”的必要不充分條件，正確.故答案為：③④6．（2021·湖北孝感·高一期中）寫出的一個必要不充分條件_____【答案】（答案不唯一）【分析】解分式不等式的解集，再寫出一個集合真包含不等式的解集的條件；【詳解】，，所以滿足題意故答案為：四、解答題7．（2022·全國·高一專題練習）已知命題P：方程沒有實數根．(1)若P是真命題，求實數t的取值集合A；(2)集合，若是的必要條件，求a的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）列出關于t的不等式即可求得實數t的取值集合A；（2）分類討論并列不等式組去求a的取值范圍．(1)若P是真命題，則，解得，則．(2)因為是的必要條件，所以，當時，由，得，此時，符合題意；當時，則有，解之得，綜上所述，a的取值范圍為．考點二：充要條件題型七：充要條件的證明一、單選題1．（2021·河南·高一階段練習）已知實數a，b，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據充分必要條件的定義判斷，求解注意分類討論．【詳解】當時，則，中至少有一個數小于0，不妨設此數為，若，則，因為，所以．若，則顯然成立．若，則也顯然成立，所以充分性滿足；當時，則，中至少有一個數小于0，不妨設此數為，若，則，所以，所以．若，則，此時顯然成立．若，此時也顯然成立，所以必要性滿足．所以“”是“”的充要條件．故選：C．二、填空題2．（2022·江蘇·高一）從“充分而不必要條件”“必要而不充分條件”“充要條件”與“既不充分又不必要條件”中選出適當的一種填空：（1）中，是的______；（2）是的______；（3）是的______；（4）是的______．【答案】

充要條件；

必要而不充分條件；

充分而不必要條件；

既不充分又不必要條件.【分析】根據充分性、必要性的定義逐一判斷即可.【詳解】空1：由能推出，由能推出，所以中，是的充要條件；空2：由不一定能推出，比如，由能推出，所以是的必要而不充分條件；空3：由推出，由不一定能推出，比如，所以是的充分而不必要條件；空4：由不一定能推出，比如，由不一定能推出，比如，所以是的既不充分又不必要條件.故答案為：充要條件；必要而不充分條件；充分而不必要條件；既不充分又不必要條件.三、解答題3．（2022·湖南·高一課時練習）求證：對任意實數，，，成立，等號成立的充分必要條件．【分析】化簡可得，再根據充分條件和必要條件的定義即可得出結論.【詳解】證明：，當且僅當時，取等號，所以當時，對任意實數，，，成立，等號成立，當對任意實數，，，成立，等號成立時，，所以對任意實數，，，成立，等號成立的充分必要條件．題型八：探求命題為真的充要條件一、單選題1．（2022·全國·高一）“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】對求解，結合充分條件、必要條件的定義即可得出答案【詳解】由題，將代入，等式成立，所以“”是“”的充分條件；求解，得到，故“”是“”的不必要條件；故選：A二、多選題2．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市第一中學校高一階段練習）下列說法正確的是（

）A．“”是“”的必要不充分條件B．“且”是“”的充分不必要條件C．當時，“”是“方程有解”的充要條件D．若P是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件【答案】ABD【分析】對命題進行正反邏輯推理，并結合四種條件的定義即可判斷答案.【詳解】對A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，滿足成立，但顯然得不到.所以A正確；對B，由且顯然可以得到，但若，滿足，但不滿足且.所以B正確；對C，時，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也無法得到.所以C錯誤.對D，若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件.所以D正確.故選：ABD.3．（2021·安徽·高一期中）已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，下列命題正確的是（

）A．是的必要不充分條件 B．是的充要條件C．是的充分不必要條件 D．是的充要條件【答案】BD【分析】根據充分條件、必要條件的定義逐項判斷可得出結論.【詳解】由題意得，，，，，，所以，，，所以是的充要條件，是的充要條件，是的充要條件，故選：BD.4．（2022·廣東肇慶·高一期末）下列說法中正確的有（

）A．“”是“”的必要條件B．“”是“”的充分不必要條件C．“或”是“”的充要條件D．“”是“”的必要不充分條件【答案】BC【分析】根據充分條件與必要條件的知識，結合不等式或方程的知識對選項逐一判斷即可選出答案.【詳解】對于A，“”成立，“”不一定成立，A錯誤；對于B，“”可以推出“”，取，得，但，所以“”不能推出“”，B正確；對于C，的兩個根為或，C正確；對于D，“”不能推出“”，同時“”也不能推出“”，D錯誤．故選:BC．5．（2021·浙江·麗水外國語實驗學校高一階段練習）在整數集Z中，被5除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為[k]，即，.則下列結論正確的是（

）A．； B．；C．； D．整數，屬于同一“類”的充要條件是“”.【答案】ABD【分析】根據[k]的定義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】A：除以5，所得余數為，滿足的定義，故正確；B：整數集就是由除以所得余數為的整數構成的，故正確；C：，故，故錯誤；D：設，則；若整數，屬于同一“類”，則，所以；反之，若，則，即，屬于同一“類”.故整數，屬于同一“類”的充要條件是“”，正確.故選：.三、解答題6．（2022·湖南·高一課時練習）通過分析初中學過的數學知識，探討邏輯用語和集合的聯系．（例如，“若，則，反之不然”可表述為．）【分析】把邏輯用語的知識等價轉化為集合的關系得解.【詳解】解：是的充分條件，即，可表述為；是的必要條件，即，可表述為；是的充分不必要條件，即，不能推出，可表述為；是的必要不充分條件，即不能推出，，可表述為；是的充要條件，即，可表述為.7．（2022·全國·高一）已知集合，，其中，是關于x的方程的兩個不同的實數根.(1)是否存在實數a，使得“”是“”的充要條件？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.(2)若“”是“”的必要不充分條件，求a的取值范圍.【答案】(1)存在，，(2)或【分析】（1）假設存在，即，根據根與系數的關系求解即可；（2）由題意轉化為BA，根據集合的包含關系列出不等式組求解即可.(1)假設存在滿足條件的實數a，則，即，.因為，是關于x的方程的兩個不同的實數根，所以，即，解得，即當時，“”是“”的充要條件.(2)由題意可知，關于x的方程的兩根分別為和.因為“”是“”的必要不充分條件，所以BA.當，即時，，則解得；當，即時，，則解得.綜上，a的取值范圍是或.題型九：根據充要條件求參數一、單選題1．（2021·山西太原·高一階段練習）設集合，若集合，，則的充要條件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先根據集合的運算，求得，結合，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，可得，因為，所以，解得，反之亦成立，所以的充要條件是．故選：A．2．（2021·全國·高一專題練習）方程至少有一個負實根的充要條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】按和討論方程有負實根的等價條件即可作答.【詳解】當時，方程為有一個負實根，反之，時，則，于是得；當時，，若，則，方程有兩個不等實根，，即與一正一負，反之，方程有一正一負的兩根時，則這兩根之積小于0，，于是得，若，由，即知，方程有兩個實根，必有，此時與都是負數，反之，方程兩根都為負，則，解得，于是得，綜上，當時，方程至少有一個負實根，反之，方程至少有一個負實根，必有.所以方程至少有一個負實根的充要條件是.故選：C3．（2022·江西·新余市第一中學模擬預測（理））設甲是乙的充分不必要條件，乙是丙的充要條件，丁是丙的必要不充分條件，則甲是丁的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】記甲、乙、丙、丁各自對應的條件構成的集合分別為，，，，根據題目條件得到集合之間的關系，并推出D，，所以甲是丁的充分不必要條件.【詳解】記甲、乙、丙、丁各自對應的條件構成的集合分別為A，，，，由甲是乙的充分不必要條件得，B，由乙是丙的充要條件得，，由丁是丙的必要不充分條件得，D，所以D，，故甲是丁的充分不必要條件.故選：A.二、填空題4．（2022·江蘇·高一）若“”是“”的充要條件，則實數m的取值是_________．【答案】0【分析】根據充要條件的定義即可求解.【詳解】，則{x|}＝{x|}，即.故答案為：0.三、解答題5．（2021·全國·高一課時練習）已知，，求的充要條件.【答案】【分析】依題意方程至少有一個非負根，則，即可求出參數的取值范圍，再求出方程有兩個負根時參數的取值范圍，從而求出方程至少有一個非負根的的取值范圍，即可得解；【詳解】解：的充要條件是方程組至少有一組實數解，即方程至少有一個非負根，方程有根則，解得.上述方程有兩個負根的充要條件是且，即，∴.于是這個方程至少有一個非負根的的取值范圍是.故的充要條件為.6．（2021·江蘇·高一單元測試）已知（1）是否存在m∈R使是的充要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）存在，.【分析】（1）依題意，即可得到方程組，由方程組無解即可判斷；（2）依題意可得，再對與分兩種情況討論，即可求出參數的取值范圍；【詳解】解：，．（1）要使是的充要條件，則，即

此方程組無解，則不存在實數，使是的充要條件；（2）要使是的必要條件，則，當時，，解得；當時，，解得，要使，則有解得，所以，綜上可得，當實數時，是的必要條件．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022·重慶南開中學高一階段練習）“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【分析】易知充分性成立，取特殊值檢驗知必要性不成立，即可求解.【詳解】當時，成立，即充分性成立，當時，滿足，但不成立，即必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．（2021·廣東·化州市第三中學高一階段練習）已知命題，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析根據集合的關系判斷即可.【詳解】解：因為是的真子集，所以是的充分不必要條件.故選：A3．（2022·江蘇·高一）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數根”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】討論，，可得“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數根”等價于“”再根據充分條件、必要條件的定義即可得出結果.【詳解】當時，方程即為，解得；當時，，得，；所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個實數根”等價于“”“”能推出“方程至少有一個實數根”，反之不成立；所以“”是“方程至少有一個實數根”的充分不必要條件.故選：B.4．（2021·陜西·西工大附中分校高一期中）已知：關于的方程的解集至多有個子集；：，若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】根據條件得到是的充分不必要條件，再求出命題中的范圍，列出不等式求解即可.【詳解】因為是的必要不充分條件，所以是的充分不必要條件，對于，依題意，知，所以，設，，由題意知，所以，解得，經檢驗滿足題意故選：A.5．（2021·河北·滄縣中學高一階段練習）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：由，顯然由推不出，比如推不出，又推不出，比如推不出，故“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D．6．（2021·山西太原·高一階段練習）設集合，若集合，，則的充要條件是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】先根據集合的運算，求得，結合，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，可得，因為，所以，解得，反之亦成立，所以的充要條件是．故選：A．7．（2021·全國·高一專題練習）方程至少有一個負實根的充要條件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】按和討論方程有負實根的等價條件即可作答.【詳解】當時，方程為有一個負實根，反之，時，則，于是得；當時，，若，則，方程有兩個不等實根，，即與一正一負，反之，方程有一正一負的兩根時，則這兩根之積小于0，，于是得，若，由，即知，方程有兩個實根，必有，此時與都是負數，反之，方程兩根都為負，則，解得，于是得，綜上，當時，方程至少有一個負實根，反之，方程至少有一個負實根，必有.所以方程至少有一個負實根的充要條件是.故選：C二、多選題8．（2022·江西省銅鼓中學高一開學考試）下列選項中，滿足是的充分不必要條件的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AC【分析】利用充分條件、必要條件的定義逐項判斷即得.【詳解】對于A，∵，，∴由能推出，由推不出，即是的充分不必要條件，故A正確；對于B，∵即，即，∴是的充要條件，故B錯誤；對于C，∵，即或，∴由能推出，由推不出，即是的充分不必要條件，故C正確；對于D，∵，，取，則，由推不出；取，由推不出；故是的既不充分也不必要條件，故D錯誤.故選：AC.9．（2022·江蘇·南京師大附中高一期末）設是的必要條件，是的充分條件，是的充分必要條件，是的充分條件，則下列說法正確的有（

）A．是的必要條件 B．是的充分條件C．是的充分必要條件 D．是的既不充分也不必要條件【答案】BC【分析】根據條件得到可判斷每一個選項.【詳解】由題意，，則.故選：BC.10．（2022·江蘇·高一單元測試）已知p：或，q：，則a取下面那些范圍，可以使q是p的充分不必要條件（）A． B．C． D．【答案】AB【詳解】p：或，q：，q是p的充分不必要條件，故，范圍對應集合是集合的子集即可，對比選項知AB滿足條件.故選：AB.11．（2022·福建廈門·高一期末）已知a，，則的必要不充分條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：對于A：由，即，即，所以或，故充分性不成立，由，若時，則，故必要性不成立，故A錯誤；對于B：由，可得，由推得出，故充分性成立，故B錯誤；對于C：由可得，所以或，故充分性不成立，反之當時，可得，所以，故必要性成立，故C正確；對于D：由得不到，如，滿足但，即充分性不成立，反之當時可得故必要性成立，即是的必要不充分條件，故D正確；故選：CD12．（2022·全國·高一專題練習）下列選項中p是q的必要不充分條件的有（）A．p：a≤1，q：a＜1B．p：A∩B＝A，q：A∪B＝BC．p：兩個三角形全等，q：兩個三角形面積相等D．p：x2+y2＝1，q：x＝1，y＝0【答案】AD【分析】根據充分必要條件的定義分別判斷即可．【詳解】解：A：∵a＜1?a≤1，而當a≤1時，不一定有a＜1，∴p是q的必要不充分條件，∴A正確，B：∵p：A∩B＝A，∴A?B，∵q：A∪B＝B，∴A?B，∴p是q的充要條件，∴B錯誤，C：∵兩個三角形全等?兩個三角形面積相等，但兩個三角形面積相等不一定推出兩個三角形全等，∴p是q的充分不必要條件，∴C錯誤，D：當x＝1，y＝0時，則x2+y2＝1，反之，當x2+y2＝1時，x＝1，y＝0不一定成立，∴p是q的必要不充分條件，∴D正確，故選：AD．三、填空題13．（2022·湖南·高一課時練習）判斷下列命題的真假：（1）是的必要條件；()（2）是的充分條件；()（3）兩個三角形的兩組對應角分別相等是兩個三角形相似的充要條件；()（4）是的充分而不必要條件．()【答案】

假

假

真

假【分析】（1）利用四種條件的定義，進行判斷；（2）利用特例進行判斷；（3）利用四種條件的定義，進行判斷；（4）利用四種條件的定義，進行判斷；【詳解】（1）因為，所以，反之，不一定得出，所以是的充分不必要條件；故命題為假.（2）例如，但是；但是，所以是的既不充分也不必要條件；故命題為假.（3）兩個三角形的兩組對應角分別相等則這兩個三角形相似，反之兩個三角形相似則兩個三角形的對應角均相等，所以兩個三角形的兩組對應角分別相等是兩個三角形相似的充要條件；故命題為真.（4）因為，所以或，所以是的必要不充分條件，故命題為假.14．（2022·江蘇·高一）若“”是“”的充要條件，則實數m的取值是_________．【答案】0【分析】根據充要條件的定義即可求解.【詳解】，則{x|}＝{x|}，即.故答案為：0.15．（2022·湖南·高一課時練習）從“充分而不必要條件”“必要而不充分條件”“充要條件”與“既不充分又不必要條件”中選出適當的一種填空：（1）“”是“”的______；（2）“，”是“”的______；（3）“兩個角是對頂角”是“兩個角相等”的______；（4）設，，都是實數，“”是“是方程的一個根”的______．【答案】

充要條件

既不充分又不必要條件

充分而不必要條件

必要而不充分條件【分析】根據充分條件和必要條件的定義逐一分析判斷即可得出答案.【詳解】解：（1）若，則，則充分性成立，若，則，必要性成立，所以“”是“”的充要條件；（2）當，則，所以充分性不成立，當，則，即推不出，，則必要性不成立，所以“，”是“”的既不充分又不必要條件；（3）兩個角是對頂角，則兩個角相等，則充分性成立，當兩個角相等，兩個角不一定是對頂角，如兩角為同位角，則必要性不成立，所以“兩個角是對頂角”是“兩個角相等”的充分而不必要條件；（4）若，當時，方程有無數個根，則是方程的一個根不成立，則充分性不成立，當是方程的一個根時，則有，則必要性成立，所以“”是“是方程的一個根”的必要而不充分條件.故答案為：（1）充要條件；（2）既不充分又不必要條件；（3）充分而不必要條件；（4）必要而不充分條件.16．（2022·江蘇·高一）已知條件，，p是q的充分條件，則實數k的取值范圍是_______．【答案】【分析】設，，則，再對分兩種情況討論得解.【詳解】記，，因為p是q的充分條件，所以.當時，，即，符合題意；當時，，由可得，所以，即.綜上所述，實數的k的取值范圍是．故答案為：．四、解答題17．（2022·全國·高一專題練習）設全集，集合，集合.(1)若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍；(2)若命題“，則”是真命題，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）將充分條件轉化為子集關系，利用子集的定義即可列出不等式求解.（2）將真命題轉化成是的子集，然后分情況討論集合為空集和非空集合，即可求解.(1)是的充分條件，，又，，，，實數的取值范圍為.(2)命題“，則”是真命題，①當時，，，；②當時，，且是的子集.，，;綜上所述：實數的取值范圍.18．（2022·河南河南·高一期末）已知集合，或．(1)當時，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）首先得到集合，再根據交集的定義計算可得；（2）首先求出集合的補集，依題意可得是的真子集，即可得到不等式組，解得即可；(1)解：當時，，或，∴．(2)解：∵或，∴，∵“”是“”的充分不必要條件，∴是的真子集，∵，∴，∴，∴，故實數的取值范圍為．19．（2022·全國·高一專題練習）設集合和或，若是的充分條件，求的取值范圍．【答案】【分析】由是的充分條件，可得出AB，即可求出的取值范圍.【詳解】因為是的充分條件，所以AB，又，所以．故的取值范圍為：.20．（2021·江蘇·高一單元測試）已知（1）是否存在m∈R使是的充要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要條件？若存在，求出m范圍；若不存在，說明理由.【答案】（1）不存在，理由見解析；（2）存在，.【分析】（1）依題意