復變積分第五章第一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六§5.1映射與保角映射的概念1映射的概念2兩曲線的夾角3導數的幾何意義4保角映射的概念5關于保角映射的一般理論第二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六5.1.1映射的概念復變函數反映了兩對變量x,y和u,v之間的對應關系，所以可以看成兩個復平面中點集的對應關系.設是復平面點集D上的復變函數,即z平面中點集D為定義域,其值域G是w平面中點集,記為G=f(D),這時稱w=f(z)為從D到G的映射.對于稱為映射w=f(z)下點z0在w

第三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六平面上的像,而稱z0為映射w=f(z)下點w0在z平面上的原像.同時稱G為映射w=f(z)下D在w平面上的像,稱D為映射w=f(z)下G在z平面上的原像.如果w=f(z)把D中的不同點映射成G中的不同點,即如果都是D中的點,那么有則稱w=f(z)是從D到G的雙方單值映射或一對一的映射.第四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六5.1.2兩曲線的夾角當t增大時,點

z移動的方向為正向.設z平面內的有向光滑曲線yxC..在曲線C上取兩點:作割線P0P,規定割線的正向對應于t增大的方向.于是割線P0P與向量同向.第五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六割線C在P0處切線.C..yx當P時,沿C因為C是光滑曲線,所以于是向量是曲線C的切向量,與C相切于點規定的方向為C上點z0處切線的正向.第六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六C.yx(1)C在點z0處切線正向與x軸正向之間的夾角是(2)設z平面內的兩條有向光.滑曲線和相交于z0(t=t0)點.規定z0處曲線C1和C2正向之間的夾角為兩條曲線在z0處切線正向之間的夾角.第七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六5.1.3導數的幾何意義所以C.yx設w=f(z)在區域D內解析,且在D內(1)

的幾何意義設是D內過的有向光滑曲線,t增大的方向為正向.于是w=f(z)將z平面上有向對于因為C光滑,第八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六光滑曲線t增大的方向C.yxvu.光滑曲線C映射成w平面內過點的有向為正向,且是曲線G在w0處的切向量.第九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六因為所以曲線G在w0處切線正向與u軸正向之間的夾角曲線C在z0處切線正向與x軸正向之間的夾角如果將x軸與u軸重合,將y軸與v軸重合,即將z平面與w平面重疊,那么曲線C在z0處的切線轉動之后與曲線G在w0處的切線方向一致.在這個意義上,就是曲線C經過w=f(z)映射后在z0處的轉動角.顯然轉動角與C無關.第十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六如果是過z0點的D內兩條有向光滑曲線，則在映射w=f(z)下,C1和C2在w平面上的像分別為并且因此第十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六..所以G1和G2在w0處的夾角C1和C2在z0處的夾角過z0兩條光滑曲線C1、C2在z0處夾角的大小與方向和在映射w=f(z)下的像G1、G2在w0處夾角的大小與方向相同,即時,映射w=f(z)具有保角性.第十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六

Cvuyx....(2)的幾何意義當時,是映射w=f(z)在z0處的伸縮率.它與C無關,即映射w=f(z)具有伸縮率不變性.第十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六5.1.4保角映射的概念定義5.1設w=f(z)在點z0的鄰域內有定義.如果w=f(z)在z0處具有保角性和伸縮率不變性,則稱映射w=f(z)在z0處是保角映射.如果w=f(z)在區域D內的每一點都是保角映射,則稱w=f(z)是區域D

上的保角映射.定理5.1若w=f(z)在z0處解析,且則w=f(z)在z0處是保角映射.若w=f(z)在區域D解析,且在D內則w=f(z)是區域D上的保角映射.第十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六例5.1w=z2在z0處是保角映射,但在z=0處不具有保角性.解因為所以當z0時,因此在z0處,w=z2是保角映射.當z=0時,在z平面內取過z=0點的兩條射線為(z)(w)(正實軸)和不保角第十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六5.1.5關于保角映射的一般理論實際上,逆定理也成立.因此映射w=f(z)是區域D上的保角映射的充分必要條件是f(z)在D內解析,并且并且可以證明如果f(z)是區域D上不恒為常數的解析函數,則點集G=f(D)是w平面上的區域,即解析函數把區域映射成區域.第十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六基本問題:

(1)給定兩個區域D和G,是否存在雙方單值的保角映射,把D映射成G?(存在性問題)(2)如果存在這樣的映射,如何求出?(實現性問題)關于存在性問題，有下面的Riemann定理.定理5.2如果D和G分別是z平面和w平面平面上邊界多于一個點的單連通區域,則存在雙方單值的保角映射w=f(z),把D映射成G.第十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六Riemann定理中的保角映射f(z)不一定惟一.但如果再加一些條件,如(其中),則存在惟一的保角映射w=f(z),使得注邊界不多于一個點的情形:(1)擴充復平面(沒有邊界點);(2)擴充復平面除去一個點,例如無窮遠點(只有一個邊界點).第十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六關于實現性問題,可利用下面的邊界對應原理.定理5.3設D是z平面內由一條分段光滑Jordan曲線C圍成的區域,f(z)是D及其邊界C上的解析函數，并把C雙方單值地映射成w平面上的光滑曲線G.如果C的正向映射成G的正向,則在映射w=f(z)下,C

的內部區域D映射成G正向的左側(若G也是Jordan曲線,則映射成G

的內部)區域;如果C的正向映射成G的負向,則C的內部區域映射成G

的右側(若G也是Jordan曲線,則映射成G

的外部)區域.第十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六D對于C不是Jordan曲線的情況也可得出類似的邊界對應原理結論,并且在邊界的個別點不滿足雙方單值的情況也成立,但在這些點不能保證保角性.例5.2求區域在映射w=f(z)=z2下的像G=f(D).解顯然,w=z2在D內處處可導，且因此f(z)是上保角映射.由Oxy(z)第二十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六D可知,D的邊界COxy(z)Ouv(w)在w平面上的像為因D的內點映射成w平面上的點G2i的內點.又因為故w=z2.z0.4i根據,應該是G的第二十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六§5.2分式線性映射1分式線性映射的概念2幾種簡單的分式線性映射3分式線性映射的基本性質4唯一確定分式線性映射的條件5分式線性映射的典型例子第二十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六5.2.1分式線性映射的概念稱為分式線性映射.那么映射的值域是w平面上的一點.(是復常數,)注1因為所以保證了映射是保角映射.否則即w常數,

注2由可得第二十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六即分式線性映射的逆映射也是分式線性映射.注3兩個分式線性映射復合仍是分式線性映射第二十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六注4分式線性映射如果c=0,則由知于是其中如果c

0,則其中所以一般的分式線性映射是由下列簡單的分式線性映射復合而成:第二十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六5.2.2幾種簡單的分式線性映射1.平移映射(為方便起見,令w平面與z平面重合)這是擴充z平面到擴充w平面的雙方單值映射.在此映射下,z沿著復數移距離|b|,得到像w.b所表示的向量方向平第二十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六2.旋轉映射(a是實數).它把點z以原點為中心旋轉a角(a>0時按逆時針,a<0時按順時針)得到點w.3.相似映射

這是模變化為r倍(r>1時放大,0<r<1時縮小),而輻角不變的映射.z對設于是所以是旋轉映射和相似映射的復合.第二十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六4.反演變換此映射可分解為和的復合映射....設于是所以w1和z的幅角相同,并且故w1是z關于單位圓周的w與關于實軸對稱.反演映射是擴充復平面到擴充復平面的雙方單值映射.第二十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六5.2.3分式線性映射的性質(1)一一對應分式線性映射是平移、旋轉、相似、反演映射的復合映射，這些都是從擴充復平面到擴充復平面的雙方單值映射.因此,作為這些映射的復合映射,也是從擴充復平面到擴充復平面的雙方單值映射.(2)保角性對于分式線性映射當時,已知分式線性映射是保角映射.而當第二十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六時,分式線性映射把映射成無窮遠點.下面引入曲線在無窮遠點交角的概念.設C1和C2是z平面上過無窮遠點的曲線,如果C1和C2在反演映射下的像分別為G1和G2,則G1與G2在原點w=0處的交角稱為C1和C2在z=處的交角.當c=0時,分式線性映射變為此時z=對應于w=.令則第三十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六當時,因此，在處保角,故w在z=處保角.

當時,在分式線性映射下,對應于w=,同時z=對應于令則當時,第三十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六因此,在處,分式線性映射是保角映射.令則當時,故w在處是保角映射,即分式線性映射在z=處是保角映射.

總之,分式線性映射是擴充復平面間的保角映射.第三十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六(3)保圓性保圓性是指在擴充復平面上將圓周映射為圓周的性質.特別地,將直線看作半徑為無窮大的圓周.顯然,在平移、旋轉、相似映射下保圓性成立.因此,如果能證明反演映射具有保圓性,則分式線性映射就具有保圓性.在直角坐標系下,圓和直線方程可統一表示成其中當a=0,b與c不全為零時,方程表示直線,而a0,

第三十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六時,方程表示圓,這里的a,b,c,d都是實常數.

設在反演映射下,將其代入到圓和直線的統一方程中,整理可得于是第三十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六這是圓或直線在反演映射下的像的方程.當d=0,b

與c不全為零時,表示直線，時,表示圓.所以反演映射具有保圓性,從而分式線性映射具有保圓性.(4)保對稱性設C是z平面上的圓(包括直線),z1和z2是關于C的對稱點,在分式線性映射下,w1,w2和G分別是z1,z2和C在w平面上的像,則w1和w2是關于G的對稱點.第三十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六為分式線性映射的逆映射仍是分式線性映射,具有保要條件是通過z1和z2的任何圓與圓C直交.下面說明分式線性映射的保對稱性.任取w平面上過w1和w2的圓周(包括直線).因圓性,所以的原像是z平面上過z1和z2的的圓周.根據引理,與C直交.再由分式線性映射的保角性,與C的像與G直交.從而根據引理,w1和w2關于圓周G對稱.不同兩點z1和z2關于圓周C對稱的充分必第三十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六5.2.4惟一決定分式線性映射的條件含有a,b,c,d四個常數，其中有三個是獨立的常數,因此,給定三個條件就能惟一確定分式線性映射.(1)分式線性映射的確定分式線性映射設是擴充z平面上三個互不相同的點，第三十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六是擴充w平面上三個互不相同的點,則存在惟一的一個分式線性映射,將點依次映射成事實上,如果和都是有限點,設將依次映射成則第三十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六于是第三十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六從中可惟一地解出w,得到分式線性映射.如果和中含有無窮遠點,把無窮遠點用模充分大的有限數代替,得出形如的分式線性映射,然后讓該點趨于無窮遠點,即得要證明的結論.例如,若z3=,則用代替z3,得到分式線性映射，第四十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六令則于是如則理解為1.如則理解為1.第四十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六問題圓域內部被映射成什么區域?(2)分式線性映射對圓域的映射結論:

在分式線性映射下,C的內部不是映射成像G的內部就是映射成像G的外部.如果C或G中有直線,則按直線的某一側來理解.方法1

在圓周C內任取一點z0,如果z0的像w0在G內部,則C的內部映射成G的內部;如果z0的像w0在G外部,則C的內部映射G的外部.第四十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六......方法2在C上取三個點如果環繞方向與它們的像在G上的環繞方向相同,則C的內部映射成G的內部;如果環繞方向相反,則C的內部映射成G的外部..........第四十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六.5.2.5分式線性映射的典型例子例5.3求把上半平面映射成上半平面的分式線性映射.解在x軸上取三點使得它們依次對應于u軸上三點...第四十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六于是所求的分式線性映射為化簡可得注如果選取其他三對不同點,也能求出滿足要求,但形式不同的的分式線性映射.并且與的環繞方向相同.w=az+b(a>0,b為實數),即相似和平移映射也滿足要求.但它們是平凡的,沒有實際意義.第四十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六......例5.4求把上半平面映射成單位圓內部的分式線性映射.解在x軸上取三點使得它們依次對應于u軸上三點(方法一)第四十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六于是所求的分式線性映射為化簡可得并且與的環繞方向相同.注同樣,如果選取其他三對不同點,也能求出滿足要求,但形式不同的的分式線性映射.第四十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六方法二解實軸映射成單位圓周.設上半平面中的點...a關于實軸的對稱點映射成w=0關于的對稱點z=.

z=a映射成圓心w=0,由保對稱性和,第四十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六上半平面映為單位圓內部的分式線性映射一般形式說明則所求映射為其中k是待定常數.由于映射成上的點,所以

設(q為實數),則取時,取時,(與方法一相同)第四十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六例5.5求把上半平面映射成圓域內部的分式線性映射,使解由例5.4中的解法二可知，映射把上半平面映射成單位圓內部1再作相似映射與平移映射，得(q

為實數)第五十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六這樣,映射成且因為再由已知條件可見即所以要求的分式線性映射是第五十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六...例5.6求把單位圓內部映射成單位圓內部的分式線性映射.解在內取一點z1=a0,設z1的像為w1=0.因為z1=a關于圓周的對稱點是而條件第五十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六...要求分式線性映射把映射成所以根據分式線性映射的保對稱性,映射成w1=0關于的對稱點這樣的分式線性映射為第五十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六其中是復常數.容易驗證,當時,因為映射成所以當時,設(q

為實數),則所求的分式線性映射為(q

為實數).注旋轉映射(q為實數)也滿足要求.但它是平凡的,沒有實際意義.第五十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六例5.7求一個分式線性映射,把由兩圓周所圍成的偏心圓環域D映射成中心在w=0的同心圓環域G,且使其外半徑為1.yx(z)ODuv(w)OG第五十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六解設所求分式線性映射把z平面內兩點z1和z2

分別映射成w平面內的w1=0和w2=.由于w1和w2同同時關于同心圓環域G的兩個邊界圓周對稱,由分式線性映射的保對稱性,z1和z2應同時關于圓周C1和C2對稱.因此,z1和z2應在C1和C2的圓心連線上，即在實軸上,設根據對稱性解方程得(或).下面只考慮的情形.第五十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六由可知圓周C2映射成外邊界這時于是所求的分式線性映射的形式為(k為復常數).因為z=0在和的內部,在C2取則于是由此可得即(q

為實數).第五十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六§5.3幾個初等函數所構成的映射1冪函數構成的映射2指數函數與對數函數構成的映射第五十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六5.3.1冪函數構成的映射為了討論方便,在本節中設的取值范圍為冪函數在全平面解析，且如果則故該映射在點處處保角.下面討論點.設則在映射下,根式取為主值,整數第五十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六的射線映射成w平面上的射線特別地,把正實軸映射成正實軸因此故在z=0點不具有保角性.))由此可見,映射把z平面上以原點為起點映射將角形區域映射成角形區域第六十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六O特殊情況:)上岸沿正實軸割開的w平面下岸角形區域角形區域映射成正實軸的上岸映射成正實軸的下岸第六十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六角形區域上半平面)同時,把z平面上的圓周映射成w

平面上的圓周在區域內,是雙方單值的保角映射.第六十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六用類似的方法可以討論它也是把角形區域映射成角形區域的映射,不同點只是角形區域的頂角變成原來頂角的實際上它是的逆映射.))若將角形區域映射成角形區域,一般應用冪函數.第六十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六例5.8求把角形區域映射成單位圓內部的雙方單值保角映射.解因此所求映射為)?第六十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六例5.9求把在單位圓的內部,從原點沿正實軸的半徑上有割痕的區域(即在單位圓內去掉)映射成單位圓內部的雙方單值保角映射.O(z)O(w)?第六十五頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六O(z)O(z1)O(z2)O(z3)O(z4)O(w)解第六十六頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六5.3.2指數函數與對數函數

構成的映射

指數函數在全平面解析,且處處不為零.因此,它是全平面上的保角映射.設則OOx0(1)第六十七頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六OO(2)(3)設雙方單值

OO帶形區域角形區域第六十八頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六OOOO特殊情形雙方單值

雙方單值

帶形區域平面從原點沿正實軸有割痕區域上半平面第六十九頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六若將帶形區域映射成角形區域,一般應用指數函數.例5.10求把帶形區域映射成單位圓內部的雙方單值保角映射.O?解O因此所求映射為第七十頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六區域上指數函數的反函數是對數函數主值在復平面除去原點與負實軸的區域D內,因此,D是D上的保角映射.對數函數可以把角形區域映射成帶形區域.第七十一頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六OOO平面從原點沿負實軸有裂痕區域雙方單值

O雙方單值

帶形區域上半平面第七十二頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六§5.4保角映射舉例例5.11求把和的公共部分映射成上半平面的雙方單值保角映射.OO?解圓和交于兩點第七十三頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六并且交角等于因此，映射把與分別映射成平面上的原點和無窮遠點,而將所給區域映射成以原點為頂點的角形區域,且頂角等于當z=0時,應在角形區域的平分線上,所以負實軸為該角形區域的角平分線.于是該角形區域為第七十四頁，共八十九頁，編輯于2023年，星期六OOOO第七十五頁，共八