PAGEPAGE1第二章隨機(jī)變量及其分布1、解： 設(shè)公司賠付金額為，則X的可能值為；投保一年內(nèi)因意外死亡：20萬，概率為0.0002 投保一年內(nèi)因其他原因死亡：5萬，概率為0.0010投保一年內(nèi)沒有死亡：0，概率為1-0.0002-0.0010=0.9988所以的分布律為：2050P0.00020.00100.99882、一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律為也可列為下表X：3，4，5P：3、設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0，1，2個。PPx12Ox12O再列為下表X：0，1，2P：4、進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q=1－p(0<p<1)（1）將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。（此時稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。）（2）將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律。（此時稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布。）（3）一籃球運(yùn)動員的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計算X取偶數(shù)的概率。解：（1）P(X=k)=qk－1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n－1次有n次失敗，且最后一次成功}其中q=1－p，或記r+n=k，則P{Y=k}=（3）P(X=k)=(0.55)k－10.45 k=1,2…P(X取偶數(shù))=5、一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實(shí)的，試求Y的分布律。（3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值為1，2，3，…，n，…P{X=n}=P{前n－1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去}=，n=1，2，……（2）Y的可能取值為1，2，3P{Y=1}=P{第1次飛了出去}=P{Y=2}=P{第1次飛向另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去}=P{Y=3}=P{第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去}=同上，故6、一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時刻t每個設(shè)備使用的概率為0.1，問在同一時刻（1）恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？（3）至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？（4）至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？7、設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時，指示燈發(fā)出信號。（1）進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號的概率。（2）進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號的概率解：設(shè)X為A發(fā)生的次數(shù)。則n=5，7B:“指示等發(fā)出信號“①②8、甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6,0.7，令各投三次。求（1）二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且彼此投籃也獨(dú)立。P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=(0.4)3×(0.3)3+[（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=9、有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率（2）需作第二次檢驗(yàn)的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個數(shù)，Y表示5件中次品的個數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服從）（1）P{X=0}=0.910≈0.349（2）P{X≤2}=P{X=2}+P{X=1}=（3）P{Y=0}=0.95≈0.590（4）P{0<X≤2，Y=0} ({0<X≤2}與{Y=2}獨(dú)立)=P{0<X≤2}P{Y=0}=0.581×0.5900.343（5）P{X=0}+P{0<X≤2，Y=0}≈0.349+0.343=0.69210、有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成功一次。（1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。）解：（1）P(一次成功)=（2）P(連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次)=。此概率太小，按實(shí)際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。11.盡管在幾何教科書中已經(jīng)講過用圓規(guī)和直尺三等分一個任意角是不可能的。但每年總有一些“發(fā)明者”撰寫關(guān)于用圓規(guī)和直尺將角三等分的文章。設(shè)某地區(qū)每年撰寫此類文章的篇數(shù)X服從參數(shù)為6的泊松分布。求明年沒有此類文章的概率。 解：12.一電話交換臺每分鐘收到呼喚的次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布。求（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率。（2）某一分鐘的呼喚次數(shù)大于3的概率。 （1）（2）13.某一公安局在長度為t的時間間隔內(nèi)收到的緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)為（1/2）t的泊松分布，而與時間間隔的起點(diǎn)無關(guān)（時間以小時計）。（1）求某一天中午12時至下午3時沒有收到緊急呼救的概率。（2）求某一天中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率。解：①②14、解：（1）、分鐘時小時，（2）、故（小時）所以（分鐘）15、解：16、解：17、解：設(shè)服從分布，其分布率為，求的分布函數(shù)，并作出其圖形。解一：01的分布函數(shù)為：18．在區(qū)間上任意投擲一個質(zhì)點(diǎn)，以表示這個質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)這個質(zhì)點(diǎn)落在中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求的分布函數(shù)。解：①當(dāng)時。是不可能事件，②當(dāng)時，而是必然事件則③當(dāng)時，是必然事件，有19、以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時間（以分計），X的分布函數(shù)是求下述概率：（1）P{至多3分鐘}；（2）P{至少4分鐘}；（3）P{3分鐘至4分鐘之間}；（4）P{至多3分鐘或至少4分鐘}；（5）P{恰好2.5分鐘}解：（1）P{至多3分鐘}=P{X≤3}=（2）P{至少4分鐘}P(X≥4)=（3）P{3分鐘至4分鐘之間}=P{3<X≤4}=（4）P{至多3分鐘或至少4分鐘}=P{至多3分鐘}+P{至少4分鐘}=（5）P{恰好2.5分鐘}=P(X=2.5)=020、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求（1）P(X<2),P{0<X≤3},P(2<X<)；（2）求概率密度fX(x).解：（1）P(X≤2)=FX(2)=ln2，P(0<X≤3)=FX(3)－FX(0)=1，（2）21、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為（1）（2）求X的分布函數(shù)F(x)，并作出（2）中的f(x)與F(x)的圖形。解：（1）當(dāng)－1≤x≤1時：當(dāng)1<x時：故分布函數(shù)為：解：（2）故分布函數(shù)為（2）中的f(x)與F(x)的圖形如下x120f(x)10F(x)2xx120f(x)10F(x)2x22、⑴由統(tǒng)計物理學(xué)知，分子運(yùn)動速度的絕對值服從邁克斯韋爾(Maxwell)分布，其概率密度為其中，為Boltzmann常數(shù)，為絕對溫度，是分子的質(zhì)量。試確定常數(shù)。解:①即 ②當(dāng)時，當(dāng)時， 或23、某種型號的電子的壽命X（以小時計）具有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立）。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)”。則，24、設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分計）服從指數(shù)分布，其概率密度為：某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P（Y≥1）。解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為因此25、設(shè)K在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率∵ K的分布密度為：要方程有根，就是要K滿足(4K)2－4×4×(K+2)≥0。解不等式，得K≥2時，方程有實(shí)根?！? 26、設(shè)X～N（3.22）（1）求P(2<X≤5)，P(－4)<X≤10)，P{|X|>2}，P(X>3)∵ 若X～N（μ，σ2），則P(α<X≤β)=φφ∴ P(2<X≤5)=φφ=φ(1)－φ(－0.5)=0.8413－0.3085=0.5328 P(－4<X≤10)=φφ=φ(3.5)－φ(－3.5)=0.9998－0.0002=0.9996P(|X|>2)=1－P(|X|<2)=1－P(－2<P<2)= =1－φ(－0.5)+φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977 P(X>3)=1－P(X≤3)=1－φ=1－0.5=0.5（2）決定C使得P(X>C)=P(X≤C)∵ P(X>C)=1－P(X≤C)=P(X≤C)得 P(X≤C)==0.5又 P(X≤C)=φ ∴C=327、某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mm-Hg計）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X。求（1）P(X≤105)，P(100<X≤120). （2）確定最小的X使P(X>x)≤0.05.解:28、由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）服從參數(shù)為μ=10.05，σ=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？設(shè)螺栓長度為X P{X不屬于(10.05－0.12,10.05+0.12)=1－P(10.05－0.12<X<10.05+0.12)=1－=1－{φ(2)－φ(－2)}=1－{0.9772－0.0228}=0.045629、一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時計）服從參數(shù)為μ=160，σ(未知)的正態(tài)分布，若要求P(120＜X≤200＝=0.80，允許σ最大為多少？∵P(120＜X≤200)=又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有φ(－x)=1－φ(x)∴上式變?yōu)榻獬鲈俨楸?，?0、解：31、解：32、解：所以為概率密度函數(shù)33、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：X：－2， －1， 0， 1， 3P：， ， ， ， 求Y=X2的分布律∵Y=X2：(－2)2 (－1)2 (0)2 (1)2 (3)2P： 再把X2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為：∴Y：0 1 4 9P： 34、設(shè)隨機(jī)變量X在（0，1）上服從均勻分布（1）求Y=eX的分布密度∵X的分布密度為： Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又 X=h(Y)=lnY，反函數(shù)存在且 α=min[g(0),g(1)]=min(1,e)=1max[g(0),g(1)]=max(1,e)=e∴Y的分布密度為：（2）求Y=－2lnX的概率密度?！?Y=g(X)=－2lnX 是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。且 α=min[g(0),g(1)]=min(+∞,0)=0β=max[g(0),g(1)]=max(+∞,0)=+∞∴Y的分布密度為：35、設(shè)X～N（0，1）（1）求Y=eX的概率密度∵X的概率密度是 Y=g(X)=eX 是單調(diào)增函數(shù)又 X=h(Y)=lnY反函數(shù)存在且 α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=0β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(0,+∞)=+∞∴Y的分布密度為：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)是FY（y），則 FY(y)=P(Y≤y)=P(2X2+1≤y)=當(dāng)y<1時：FY(y)=0當(dāng)y≥1時：故Y的分布密度ψ(y)是：當(dāng)y≤1時：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0當(dāng)y>1時，ψ(y)=[FY(y)]'==（3）求Y=|X|的概率密度?！?Y的分布函數(shù)為FY(y)=P(Y≤y)=P(|X|≤y)當(dāng)y<0時，F(xiàn)Y(y)=0當(dāng)y≥0時，F(xiàn)Y(y)=P(|X|≤y)=P(－y≤X≤y)=∴Y的概率密度為：當(dāng)y≤0時：ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=0當(dāng)y>0時：ψ(y)=[FY(y)]'=36、（1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)，求Y=X3的概率密度?！? Y=g(X)=X3 是X單調(diào)增函數(shù)，又 X=h(Y)=，反函數(shù)存在，且 α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(0,+∞)=－∞β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(0,+∞)=+∞∴Y的分布密度為：ψ(y)=f[h(h)]·|h'(y)|=（2）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X2的概率密度。xOy=x2y法一：∵X的分布密度為：xOy=x2yY=x2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng)x<0時y=x2反函數(shù)是當(dāng)x<0時y=x2∴Y～fY(y)=－=法二：∴Y～fY(y)=37、設(shè)X的概率密度為求Y=sinX的概率密度?！?FY(y)=P(Y≤y)=P(sinX≤y)當(dāng)y<0時：FY(y)=0當(dāng)0≤y≤1時：FY(y)=P(sinX≤y)=P(0≤X≤arcsiny或π－arcsiny≤X≤π)=當(dāng)1<y時：FY(y)=1∴Y的概率密度ψ(y)為：y≤0時，ψ(y)=[FY(y)]'=(0)'=00<y<1時，ψ(y)=[FY(y)]'==1≤y時，ψ(y)=[FY(y)]'==038、設(shè)電流是一個隨機(jī)變量，它均勻分布在9安11安之間。若此電流通過2歐的電阻，在其上消耗求的概率密度。解：在上服從均勻分布的概率密度為：的取值為分布函數(shù)39、某物體的溫度T(oF)是一個隨機(jī)變量，且有T～N（98.6，2），試求θ(℃)的概率密度。[已知]法一：∵T的概率密度為又是單調(diào)增函數(shù)。反函數(shù)存在。且α=min[g(－∞),g(+∞)]=min(－∞,+∞)=－∞β=max[g(－∞),g(+∞)]=max(－∞,+∞)=+∞∴ θ的概率密度ψ(θ)為法二：根據(jù)定理：若X～N（α1，σ1），則Y=aX+b～N(aα1+b,a2σ2)由于T～N（98.6,2）故故θ的概率密度為：第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、選擇題1．設(shè)兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的方差分別為4和2，則隨機(jī)變量3X-2Y的方差是(A)8(B)16(C)28(D)442．若隨機(jī)變量和的協(xié)方差，則以下結(jié)論正確的是（）(A)與相互獨(dú)立(B)D(X+Y)=DX+DY(C)D(X-Y)=DX-DY(D)D(XY)=DXDY3．設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且，則（）(A)(B)(C)(D)4．設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量ξ=X+Y與η=X-Y不相關(guān)的充要條件為(A)EX=EY(B)E(X2)-(EX)2=E(Y2)-(EY)2(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+(EX)2=E(Y2)+(EY)25．設(shè)、是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都服從于，則的數(shù)學(xué)期望（）(A)(B)0(C)(D)6．設(shè)、是相互獨(dú)立且在上服從于均勻分布的隨機(jī)變量，則（）(A)(B)(C)(D)7．設(shè)隨機(jī)變量和的方差存在且不等于0，則D(X+Y)=DX+DY是X和Y（）(A)不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件(B)獨(dú)立的充分條件，但不是必要條件(C)不相關(guān)的充分必要條件(D)獨(dú)立的充分必要條件8．若離散型隨機(jī)變量的分布列為，則（）(A)2(B)0(C)ln2(D)不存在9．將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于（A）－1（B）0（C）（D）110．設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，具有方差>0，則隨機(jī)變量U=X+Y和V=X-Y（A）獨(dú)立(B)不獨(dú)立（C）相關(guān)(D)不相關(guān)11．隨機(jī)變量X的方差存在，且E(X)=，則對于任意常數(shù)C，必有。（A）E(X-C)2=E(X2)-C2（B）E(X-C)2=E(X-)2（C）E(X-C)2<E(X-)2（D）E(X-C)2E(X-)212．設(shè)X~U(a,b),E(X)=3,D(X)=,則P(1<X<3)=（）（A）0（B）（C）（D）二、填空題1．設(shè)表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次命中目標(biāo)的概率為0.4，則2．設(shè)一次試驗(yàn)成功的概率為，進(jìn)行了100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，當(dāng)時，成功的次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差注意是標(biāo)準(zhǔn)差還是方差！的值最大，其最大值為注意是標(biāo)準(zhǔn)差還是方差！3．設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布，隨機(jī)變量，則的方差是方差不是期望！DY=是方差不是期望！4．，，，則，5．設(shè)隨機(jī)變量服從于參數(shù)為的泊松分布，且已知，則6．設(shè)(X,Y)的概率分布為：YX-10100.070.180.1510.080.320.2則＝E(X^2*Y^2)=0.28!X2Y2不獨(dú)立！E(X^2*Y^2)=0.28!X2Y2不獨(dú)立！7．已知,則E(X)=。8．X~N（，2），Y~N（，2），X與Y相互獨(dú)立,則Cov(X+Y,X-Y)=________。9．隨機(jī)變量X1,X2,X3相互獨(dú)立,且都服從均勻分布U(0,2),令X=3X1-X2+2X3,則E(X)=___________，D(X)＝。10．設(shè)ρXY=0.9，Z=X-0.4，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為。11．設(shè)隨機(jī)變量Xij獨(dú)立同分布，EXij=2，則行列式的數(shù)學(xué)期望EY=。三、簡答題1．從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是2/5。設(shè)X為同種遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望。2好的基礎(chǔ)題?。阎S機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，且與分別服從正態(tài)分布與，它們的相關(guān)系數(shù)，令，⑴求的數(shù)學(xué)期望與方差好的基礎(chǔ)題！(2)求與的相關(guān)系數(shù)。3．已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品。從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。4．游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光；電梯于每個整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行。假設(shè)一游客在早八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在[0,60]上均勻分布，求該游客等候時間Y的數(shù)學(xué)期望。5．一商店經(jīng)銷某種商品，每周進(jìn)貨的數(shù)量X與顧客對某種商品的需求量Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從區(qū)間[10,20]上的均勻分布。商店沒售出一單位商品可得利潤1000元；若需求量超過了供貨量，商店可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時每單位商品獲利潤為500元，試計算此商店經(jīng)銷該種商品每周