2.3隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念兩事件A,B獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨立.設(shè)X,Y是兩個r.v，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.兩隨機變量獨立的定義是：用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個r.v.，若對任意的x,y,有則稱X,Y相互獨立.

它表明，兩個r.v.相互獨立時，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積.其中是X,Y的聯(lián)合密度，幾乎處處成立，則稱X,Y相互獨立.對任意的x,y,有若(X,Y)是連續(xù)型r.v.，則上述獨立性的定義等價于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y的邊緣密度.若(X,Y)是離散型r.v，則上述獨立性的定義等價于：則稱X和Y相互獨立.對(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有解:例1

考察(即吸煙與得肺癌關(guān)系的研究)中隨機變量X與Y的獨立性.P{X=0}P{Y=0}=0.20.00017≠0.00013=P{X=0,Y=0}∴X和Y不相互獨立.證明:例2設(shè):(X,Y)～N(1,2,1,2,)求證:X與Y獨立

=0由

“”

把=0代入于是:∴X與Y獨立“”∵X和Y相互獨立∴(x,y)R2.有f(x,y)=fX(x)fY(y)

對比兩邊∴=0特別,取x=u1,y=u2代入上式有f(u1,u2)=fX(u1)fY(u2)即:

例3設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？解：x>0

即：對一切x,y,均有：故X,Y獨立y

>0若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？解：0<x<10<y<1由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨立.例4甲乙兩人約定中午12時30分在某地會面.如果甲來到的時間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨立到達,而且到達時間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少？解:設(shè)X為甲到達時刻,Y為乙到達時刻以12時為起點,以分為單位,依題意,X~U(15,45),Y~U(0,60)所求為P(|X-Y|5)及P(X<Y)解:設(shè)X為甲到達時刻，Y為乙到達時刻以12時為起點，以分為單位，依題意，X~U(15,45),Y~U(0,60)甲先到的概率由獨立性先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率解一：P(|X-Y|5)=P(-5<X-Y<5)=1/6=1/2P(X<Y)解二：P(X<Y)=1/6=1/2被積函數(shù)為常數(shù)，直接求面積=P(X>Y)P(|X-Y|5)類似樹的問頸題如抹：甲、負(fù)乙兩梢船同緩日欲抽靠同覽一碼反頭，訓(xùn)設(shè)兩揚船各稿自獨檔立地擱到達拔，并答且每亞艘船截在一甘晝夜動間到緞達是遙等可跨能的.若甲劍船需己停泊1小時噴，乙酸船需旅停泊2小時紅，而僵該碼凈頭只珠能停享泊一插艘船銅，試避求其緩中一做艘船闊要等奇待碼馳頭空政出的家概率.在某掃一分習(xí)鐘的淡任何茄時刻腹，信預(yù)號進彼入收嘆音機卻是等鴨可能鞋的.若收跡到兩關(guān)個互過相獨杰立的鋪這種靜信號檢的時鉤間間組隔小贈于0.朵5秒，釋則信蘆號將牛產(chǎn)生妻互相也干擾.求發(fā)吧生兩營信號置互相姓干擾唇的概輔率.隨機疲變量擊獨立卵性的盡概念燈不難偉推廣沾到兩請個以芳上r.揮v的情仆形.（見買教材芽）定理1若連殺續(xù)型毛隨機競向量皮（X1,賤…,Xn）的降概率朽密度扭函數(shù)f(x1,紀(jì)…,xn)可表月示為n個函牌數(shù)g1,饅…,gn之積譯，其腳中g(shù)i只依的賴于xi，即f(x1,奴…,xn)=g1(x1)撲…gn(xn)則X1,可…,Xn相互僵獨立,且Xi的邊跌緣密料度fi(xi)與gi(xi)只相于差一渴個常賠數(shù)因睡子.最后寬我們型給出冒有關(guān)廉獨立墓性的車兩個名結(jié)果啦：定理2若X1,竭…,Xn相互慮獨立,而Y1=g1(X1,經(jīng)…,Xm),Y2=g2(Xm+1,罩…,Xn)則Y1與Y2獨立.這一算講，帶我們撤由兩刑個事蒙件相四互獨霉立的抓概念煩引入堆兩個談隨機吼變量寺相互消獨立平的概雨念.給出儉了各睜種情養(yǎng)況下軋隨機喂變量換相互廉獨立惱的條某件，部希望銜同學(xué)沈們牢輸固掌顛握.如果柱兩個膨