數列大題專題訓練)數列大題專題訓練)/NUMPAGES24數列大題專題訓練)數列大題專題訓練)數列大題專題訓練1．已知數列{}、{}滿足：.(1)求;(2)求數列{}的通項公式；(3)設，求實數a為何值時恒成立．2．在平面直角坐標系中，已知、、，滿足向量與向量共線，且點都在斜率6的同一條直線上.（1）試用與n來表示；（2）設，且12，求數中的最小值的項.3．在公差為d（d≠0）的等差數列{an}和公比為q的等比數列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3.（1）求數列{an}與{bn}的通項公式；（2）令，求數列{cn}的前n項和Tn.4、在數列(1)求證：數列是等比數列；（2）設數列得公比為，（3）求5．設數列；（1）證明：數列是等比數列；（2）設數列的公比求數列的通項公式；6．已知定義在R上的單調函數y=f(x)，當x<0時，f(x)>1，且對任意的實數x、y∈R，有f(x+y)=f(x)f(y)，（Ⅰ）求f(0)，并寫出適合條件的函數f(x)的一個解析式；（Ⅱ）數列{an}滿足,①求通項公式an的表達式；②令，試比較Sn與Tn的大小，并加以證明.7.設Sn是正項數列的前n項和，且，（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）的值8．已知二次函數滿足條件：①；②的最小值為.(1)求函數的解析式；(2)設數列的前項積為,且,求數列的通項公式；(3)在(2)的條件下,若是與的等差中項,試問數列中第幾項的值最小?求出這個最小值。9、設等差數列{an}的首項a1及公差d都為整數，前n項和為Sn.（1）若a11=0,S14=98,求數列｛an｝的通項公式；（2）在（1）的條件下求的表達式并求出取最大值時的值（3）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的數列｛an｝的通項公式10、設是公比大于1的等比數列，為數列的前項和．已知，且構成等差數列．（Ⅰ）求數列的通項公式．（Ⅱ）令求數列的前項和．11．已知等比數列分別是某等差數列的第5項、第3項、第2項，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）設，求數列12、已知（m為常數，m>0且）設是首項為4，公差為2的等差數列.（Ⅰ）求證：數列{an}是等比數列；（Ⅱ）若bn=an·，且數列{bn}的前n項和Sn，當時，求Sn；（Ⅲ）若cn=，問是否存在m，使得{cn}中每一項恒小于它后面的項？若存在，求出m的范圍；若不存在，說明理由.13．已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足（Ⅰ）判斷是否為等差數列？并證明你的結論；（Ⅱ）求Sn和an20070209（Ⅲ）求證：2007020914．已知數列（I）若存在一個實數的值（II）在（I）的條件下，求出數列15.設數列{}的前項和為，且滿足=2-，=1，2，3，….(Ⅰ)求數列{}的通項公式；(Ⅱ)若數列{}滿足=1，且，求數列{}的通項公式；(Ⅲ)設，求數列{}的前項和.參考答案1.解：（1)∵∴（2）∵∴∴數列{}是以－4為首項，－1為公差的等差數列∴∴(3)∴∴由條件可知恒成立即可滿足條件設a＝1時，恒成立,a>1時，由二次函數的性質知不可能成立a<l時，對稱軸f(n)在為單調遞減函數．∴∴a<1時恒成立綜上知：a≤1時，恒成立2．解：（1）∵點都在斜率為6的同一條直線上， 于是數列是等差數列，故……3分 共線， 當n=1時，上式也成立. 所以………………8分（2）把代入上式， 得 ， ∴當n=4時，取最小值，最小值為………………13分3．解：（1）由條件得：…………6分（2）①②①－②：即∴…………14分4．解：（1）由已知，即有由解得所以當①②①－②得綜上所述，知因此是等比數列；（2）由（1）知則所以因此，是等差數列，且（3）＝＝＝5．解：（1）由相減得：是等比數列 …………4分（2）， …………8分（3）， ① ②①－②得：，，所以： …………14分6．解：（I）由題意，令y=0，x<0，得f(x)[1－f(0)]=0，∵x<0時，f(x)>1.∴1－f(0)=0.f(0)=1.…………2分適合題意的f(x)的一個解析式為f(x)=()x.………………4分（II）①由遞推關系知f(an+1)·f(－2－an)=1，即f(an+1－2－an)=f(0).∵f(x)的R上單調，∴an+1－an=2，（n∈N*），…………6分又a1=1，故an=2n－1.……………………7分②bn=,Sn=b1+b2+…+bn=+()3+…+()2n－1欲比較Sn與的大小，只需比較4n與2n+1的大小.由=1，2，3代入可知4n>2n+1，猜想4n>2n+1.……10分下用數學歸納法證明（i）當n=1時，41>2×1+1成立（ii）假設當n=k時命題成立，即4k>2k+1當n=k+1時，4k+1=4×4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1，說明當n=k+1時命題也成立.由（i）（ii）可知，4n>2n+1對于n∈N*都成立.故Sn>.………………12分注：證明4n>2n+1，除用數學歸納法證明以外，還可用其它方法證明，如：4n=(1+3)n=1+7．解（Ⅰ）當n=1時，解出a1=3 ,…………1分又4sn=an2+2an－3 ①當時4sn－1=+2an-1－3 ②①－②,即………3分∴,（）……5分是以3為首項，2為公差的等差數列…7分（Ⅱ） ③又 ④…………9分④－③…………11分…………13分…………14分8．解：(1)由題知:,解得,故.………3分(2),………………5分,,…………………7分又滿足上式.所以.…8分(3)若是與的等差中項,則,………9分從而,得.…………10分因為是的減函數,所以當,即時,隨的增大而減小,此時最小值為;當,即時,隨的增大而增大,此時最小值為.…………12分又,所以,即數列中最小,且.…………14分9、解：由得解得： 3分 4分 6分令得 8分當時，取得最大值 9分（3）法一：由a1≥6，a11＞0，S14≤77得： 10分（4）（5） 12分代入（2）、（3）得： 14分10．解：（Ⅰ）由已知得………………2分 解得． 設數列的公比為，由，可得．………4分又，可知，即，解得．由題意得．．…………7分故數列的通項為．（Ⅱ）由于 由（1）得 又 是等差數列．…………10分 故．……14分11．解：（I）依題意 …………2分 …………4分 …………5分（II） …………6分 …………7分 …………9分 …………12分12、解：（Ⅰ）由題意即∴……2分∴∵m>0且，∴m2為非零常數，∴數列{an}是以m4為首項，m2為公比的等比數列…………4分（Ⅱ）由題意，當∴①…………6分①式兩端同乘以2，得②…………7分②－①并整理，得=10分（Ⅲ）由題意要使對一切成立，即對一切成立，①當m>1時，成立；…………12分②當0<m<1時，∴對一切成立，只需，解得，考慮到0<m<1，∴0<m<綜上，當0<m<或m>1時，數列{cn }中每一項恒小于它后面的項.14分13．解證：（Ⅰ）………1分當n≥2時，………………2分故是以2為首項，以2為公差的等差數列.………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得…5分當n≥2時，…………6分當n=1時，………………8分（Ⅲ）1°當n=1時，成立…………9分2°假設n=k時，不等式成立，即成立則當n=k+1時，即當n=k+1時，不等式成立由1°，2°可知對任意n∈N*不等式成立.（Ⅲ）另證：14．解：（1）假設存在實數無關的常數。故存在實數為等差數列. ………………6分（II）由（I）可得①②①－②得 ………………12分15.解：(Ⅰ)∵n=1時，a1+S1=a1+a1=2∴a1=1……(1分)∵Sn=2-an即an+Sn=2∴an+1+Sn+1=2兩式相減：an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an∵an≠0∴(n∈N*)……(3分)所以，數列{an}為首項a1=1，公比為的等比數列.an=(n∈N*)(4分)(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)∴bn+1-bn=()n-1……(5分)得b2-b1=1b3-b2=b4-b3=()2……bn-bn-1=()n-2(n=2，3，…)……