第二章函數、導數及其應用第四節函數的奇偶性及周期性抓基礎明考向提能力教你一招我來演練

[備考方向要明了]考

什

么理解函數的奇偶性，會判斷函數的奇偶性.怎

么

考1.函數的奇偶性是高考考查的熱點．2.函數奇偶性的判斷、利用奇偶函數圖象特點解決相關問題、

利用函數奇偶性、周期性求函數值及求參數值等問題是重

點，也是難點．3.題型以選擇題和填空題為主，還可與函數單調性等其他知

識點交匯命題.一、函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有

，那么函數f(x)是偶函數關于

對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有

，那么函數f(x)是奇函數關于

對稱f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y軸原點二、周期性1．周期函數對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有

，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．f(x＋T)＝

f(x)2．最小正周期如果在周期函數f(x)的所有周期中

的正數，那么這個

就叫做f(x)的最小正周期．存在一個最小最小正數答案：

C答案：

B答案：

B3．(教材習題改編)已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(x＋4)＝f(x)，則f(8)的值為 (

)A．－1 B．0C．1 D．2解析：因f(x)為奇函數且f(x＋4)＝f(x)．∴f(0)＝0，T＝4.∴f(8)＝f(0)＝0.答案：

(2)(3)解析：由奇偶函數的定義知：(1)為偶函數；(2)(3)為奇函數；(4)既不是偶函數，也不是奇函數．答案：

－95．(2011·廣東高考)設函數f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，則f(－a)＝________.解析：觀察可知，y＝x3cosx為奇函數，且f(a)＝a3cosa＋1＝11，∴a3cosa＝10.則f(－a)＝－a3cosa＋1＝－10＋1＝－9.奇、歌偶函突數的綠有關丑性質(1詞)奇、盯偶函冬數的襖定義孔域關矛于原碼點對竿稱；(2抹)奇函芹數的說圖象椒關于坡原點傅對稱妹，偶兆函數案的圖容象關繡于y軸對稱；匠反之盤亦然殊；(3括)若奇漆函數f(x)在x＝0處有襲定義筍，則f(0弦)＝0；(4皆)利用支奇函仗數的找圖象帝關于哲原點彎對稱工可知膨，奇號函數循在原嶺點兩側例的對謹稱區偵間上食的單飛調性蕩相同微；利寨用偶吵函數為的圖笑象關立于y軸對翼稱可緩知，性偶函喂數在君原點杜兩側齡的對永稱區束間上欺的單哄調性框相反見．[精析磨考題][例1](2賄01點1·廣東巾高考)設函干數f(x)和g(x)分別含是R上的班偶函既數和遣奇函致數，刮則下皇列結奶論恒裕成立瓦的是()A．|f(x)|－g(x)是奇兩函數B．|f(x)|＋g(x)是偶暖函數C．f(x)－|g(x)|是奇蜘函數D．f(x)＋|g(x)|是偶柿函數[答案]D[自主欣解答]設F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分別羅是R上的岔偶函饒數和珠奇函越數，蠟得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶辜函數決．[巧練膝模擬]—薄——趨——爪—(課堂留突破寸保分擠題，業分分蠅必保揭！)1．(2笨01傻1·臺州喘一模)下列拿給出灘的函墓數中盾，既傅不是造奇函數押也不委是偶悔函數法的是()A．y＝2|x|B．y＝x2－xC．y＝2xD．y＝x3答案支：B解析導：y＝2|x|是偶拌函數顏，y＝2x是奇俯函數段，y＝x3是奇轉函數桿，y＝x2－x既不舟是奇倡函數御也不蚊是偶稅函數食．2．(2抓01徒2·麗水筑模擬)若函雖數f(x)＝3x＋3－x與g(x)＝3x－3－x的定幻玉義域職均為R，則()A．f(x)與g(x)均為游偶函既數B．f(x)為偶副函數據，g(x)為奇栗函數C．f(x)與g(x)均為熔奇函搬數D．f(x)為奇嘩函數贈，g(x)為偶置函數解析圾：由f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)可知f(x)為偶眼函數銳，由g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)可知g(x)為奇摟函數凍．答案活：B[沖關膀錦囊]利用專定義腸判斷篇函數賞奇偶敘性的礎方法(1貿)首先括求函冠數的第定義概域，缸定義暑域關旦于原適點對柜稱是沿函數俘為奇函阿數或殘偶函備數的脹必要吵條件頃．(2即)如果蔥函數恢的定民義域跑關于擱原點西對稱繼，可亡進一也步判哲斷f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)是否最對定今義域遞內的阿每一舊個x恒成款立(恒成秩立要俯給予賊證明住，否本則要尸舉出帽反例)．注意璃：分爽段函衰數判嫂斷奇帖偶性慣應分謝段分藝別證肆明f(－x)與f(x)的關妥系，延只有朱當對過稱的破兩段區上都撓滿足登相同頂的關麥系時槍，才響能判嫁斷其事奇偶檔性.[自主巴解答]法一門：∵f(x)是定密義在R上的府奇函術數，且x≤0時，f(x)＝2x2－x，∴f(1儀)＝－f(－1)＝－2×迷(－1)2＋(－1)＝－3.[答案]A法二緞：設x>0，則嚼－x<0，∵f(x)是定回義在R上的削奇函掛數，光且x≤0時，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1屠)＝－2×氧12－1＝－3.[答案]B本例隙的條牛件不廳變，艇若n≥2且n∈N*，試叫比較f(－n)、f(1－n)、f(n－1)與f(n＋1)．解：因為f(x)為偶嚴函數迅，所路以f(－n)＝f(n)f(1－n)＝f(n－1)．又因繞為函虹數y＝f(x)在(0，＋∞)為減蘿函數閑，且0<n－1<n<n＋1，∴f(n＋1)絲式<f(n)<f(n－1)．∴f(n＋1)構<f(－n)<f(n－1)＝f(1－n)．答案朝：0解析剝：當x<0時，唐則－x>0，∴f(x)＝x2＋x，f(－x)＝ax2－bx，而f(－x)＝－f(x)，即－x2－x＝ax2－bx，∴a＝－1，b＝1，故a＋b＝0.5．(2勻01眨2·皖南良八校月聯考)已知啞定義私在R上的司奇函乘數滿足f(x)＝x2＋2x(x≥0進)，若f(3－a2)>f(2a)，則彈實數a的取攏值范介圍是__喂__聯__虹__．解析荷：因為f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是挖增函武數，寬又因快為f(x)是R上的應奇函燥數，顫所以淘函數f(x)是R上的旁增函臘數，虧要使f(3－a2)>f(2a)，只燒需3－a2>2a，解得得－3<a<1霞.答案懇：(－3,舍1)[沖關撤錦囊]函數慘奇偶詠性的宏應用(1祝)已知素函數請的奇在偶性豬求函給數的害解析匠式．抓住揮奇偶皺性討根論函森數在帳各個憂分區袍間上俊的解碧析式慌，或榜充分掌利用爹奇偶止性產納生關劉于f(x)的方播程，給從而辨可得f(x)的解吵析式醫．(2冷)已知盤帶有幣字母損參數切的函投數的激表達旺式及跌奇偶架性求悅參數夜．常常范采用機待定犁系數嬌法：弄利用f(x)±f(－x)＝0產生騾關于團字母男的恒尿等式她，由閑系數掛的對灣等性瀉可得沿知字盆母的臺值．(3涉)奇偶彈性與業單調僵性綜覺合時刪要注倘意奇擋函數跨在關肝于原偏點對孟稱的區頸間上偉的單亮調性民相同扶，偶戲函數錫在關蒙于原句點對難稱的嫁區間演上的圣單調令性相濤反.[答案]A6．(2股01惱2·寶雞桶模擬)已知f(x)是R上最面小正駁周期唇為2的周竿期函數忠，且增當0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，則脫函數y＝f(x)的圖斤象在壁區間[0普,6不]上與x軸的巨交點賠的個患數為()A．6哥B．7C．8倒D．9[巧練動模擬]—遙——廉——殃(課堂倒突破殼保分梁題，摸分分耽必保斧！)解析茄：因為己當0≤x＜2時，f(x)＝x3－x，所意以f(0懲)＝0，又因醋為f(x)是R上最嫂小正橡周期號為2的周巡壽期函袋數，井所以f(6粒)＝f(4便)＝f(2鼻)＝f(0浙)＝0，又閃因為f(1搶)＝0，所疤以f(3印)＝0，f(5投)＝0，故士函數y＝f(x)的圖涼象在埋區間[0目,6帶]上與x軸的號交點份有7個．答案創：B7．(2找01麗1·南昌企第一忙次模爸擬)已知f(x)是定至義在R上的之偶函數，喉對任徐意x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋2f(3殘)，且f(－1)＝2，則(3免)＝__類__紡__擁__，f(2襲0燥11享)＝__沈__尸__歪__趕.解析挎：依題替意得f(－3＋6)＝f(－3)＋2f(3戶)，即她有f(3洪)＝f(3鴿)＋2f(3吉)，所腦以f(3悠)＝0，f(x＋6)＝f(x)，即畝函數f(x)是以6為周福期的仙函數增．注追意到2餐01潤1＝6×績33械5＋1，因鹽此有f(2此0生11除)＝f(1慨)＝f(－1)＝2.答案書：028．(2踢01臭1·臨沂爪一模)設定豎義在R上的解函數f(x)滿足f(x)·f(x＋2)＝13，則f(x)的周削期為__墾__痰__積__．答案扒：4[沖關輝錦囊