第四章矩陣的對角化1本章討論的問題：方陣的特征值與特征向量的概念相似陣及性質(zhì)，相似對角化特征值與特征向量的性質(zhì)及計算正交陣與實對稱陣的相似對角化21特征值與特征向量的概念上述定義可以在任何數(shù)域上考慮，如在復數(shù)域上考慮定義設(shè)

A為n

階實矩陣，如果存在實數(shù)與n

維非零實列向量X，s.t.則稱是矩陣A的特征值，X是對應于特征值的特征向量?！?.1方陣的特征值與特征向量3稱的多項式為矩陣A

的特征多項式稱的方程為矩陣A

的特征方程有非零解實矩陣A有特征向量X,

對應的特征值為4

A

的特征多項式是首項系數(shù)為1的的

n

次多項式，其系數(shù)完全由矩陣A

的元素所確定。稱的多項式為矩陣A

的特征多項式定義（特征多項式）5特征值的個數(shù)：由代數(shù)學基本原理，對于

n>0的

n

次實系數(shù)多項式在復數(shù)域中恰有

n

個零點,k重零點算作k個零點。但是實矩陣可能有復特征值，例如的特征方程的根為復根的基對應于同一個特征值的特征向量有無窮多個。只要求出齊次線性方程組礎(chǔ)解系，即可求出所有的特征向量特征子空間62特征值與特征向量的計算步驟：1°求出矩陣

A

的特征多項式與所有的特征值，設(shè)A

有s

個不同的特征值求出齊次線性方程組2°對每個特征值的基礎(chǔ)解系則所對應的全體特征向量為不同時為零7例設(shè)求A

的特征值與特征向量解特征值為8對解齊次線性方程組其基礎(chǔ)解系為則對應的全體特征向量為9對,解齊次線性方程組其基礎(chǔ)解系為則對應的全體特征向量為不同時為零）10矩陣可能有重特征值一個特征向量唯一對應一個特征值，一個特征值對應的特征向量有無窮多個，線性無關(guān)的可以不止一個若矩陣各行元素之和為常數(shù)a

，則A有一個特征值a,對應的一組特征向量為11例

設(shè)求A

的特征值與特征向量解特征值為12對應的全體特征向量為對應的全體特征向量為13例

設(shè)求A

的特征值與特征向量其中a,b,c是3個不相等的實數(shù)，解特征值為對應的特征向量分別為若a=b=c,情況如何？143特征值與特征向量的性質(zhì)特征值與矩陣A

的關(guān)系:設(shè)n

階矩陣A

的特征方程的根為則定理4.1151矩陣A

可逆0不是A的特征值是對應的特征向量則是A-1

的特征值，是對應的特征向量是A*的特征值，2若矩陣A

可逆，是A

的特征值，是對應的特征向量特征賢值的澡性質(zhì)16是對應的特征向量1)是kA的特征值，是對應的特征向量2)是Am

的特征值，3)是的特征值，是對應的特征向量令若則是對應的特征向量3若是A的特征值，則174A與AT有相侵同的源特征眨值，但特慮征向誤量一兵般不駝同5設(shè)其中為階矩陣，則{A的特征值}=18定理4.脅2（特境征向弄量間尸的線敞性關(guān)隙系）若是矩陣A

的s

個不同的特征值

分別是它們對應的特征向量則線性無關(guān)若是矩察陣A的s個不宴同的氧特征絡值是對應躁的線配性無忘關(guān)的慘特征遠向量則也線恩性無旁關(guān)19設(shè)n階矩陣A

共有s

個不同的特征值

與對應的特征子空間的維數(shù)為則等號成立A

有n

個線性無關(guān)的特征向量稱為特征值的幾何重數(shù)特征值的幾何重數(shù)代數(shù)重數(shù)若為特征方程的重根，則稱為的的代數(shù)重數(shù)20例

設(shè)，證明A

的特征值只能是0和1證設(shè)A

的特征值為對應的特征向量為則又由于21例設(shè),且A

的特征值全是1,證明:A=E證-1格不殘是A的特蔽征值A(chǔ)的特蟲征值慢全是殼122例

設(shè)n

階矩陣

A

的特征值為0,-1,-2,…,-(n-1)

求解的特征值為2,3,…,n+1的特征值為23例