備戰2022新高考《2021年全國新高考H卷》真題分析

一、2021年高考數學全國卷試題評析

2021年高考數學全國卷共6套，由教育部考試中心命制，包括全國甲卷2套（文、

理科）、全國乙卷2套（文、理科）、新高考I卷1套（不分文理科）、新高考I［卷1

套（不分文理科）。

2021年高考數學全國卷命題，落實高考內容改革總體要求，貫徹德智體美勞全面

發展教育方針，聚焦核心素養，突出關鍵能力考查，體現了高考數學的科學選拔功能和

育人導向。試題突出數學本質，重視理性思維，堅持素養導向、能力為重的命題原則；

倡導理論聯系實際、學以致用，關注我國社會主義建設和科學技術發展的重要成果，通

過設計真實問題情境，體現數學的應用價值；穩步推進改革，科學把握必備知識與關鍵

能力的關系，科學把握數學題型的開放性與數學思維的開放性，穩中求新，體現了基礎

性、綜合性、應用性和創新性的考查要求。

1、發揮學科特色，彰顯教育功能

2021年高考數學全國卷命題，堅持思想性與科學性的高度統一，發揮數學應用廣泛、

聯系實際的學科特點，命制具有教育意義的試題，以增強考生社會責任感，引導考生形

成正確的人生觀、價值觀、世界觀。試題運用我國社會主義建設和科技發展的重大成就

作為情境，深入挖掘我國社會經濟建設和科技發展等方面的學科素材，引導考生關注我

國社會現實與經濟、科技進步與發展，增強民族自豪感與自信心，增強國家認同，增強

理想信念與愛國情懷。

一是關注科技發展與進步。新高考II卷第4題以我國航天事業的重要成果北斗三號全球

衛星導航系統為試題情境設計立體幾何問題，考查考生的空間想象能力和閱讀理解、數

學建模的素養。

二是關注社會與經濟發展。乙卷理科第6題以北京冬奧會志愿者的培訓為試題背景，

考查邏輯推理能力和運算求解能力。新高考I卷第18題以“一帶一路”知識競賽為背

景，考查考生對概率統計基本知識的理解與應用。甲卷文、理科第2題以我國在脫貧攻

堅工作取得全面勝利和農村振興為背景，通過圖表給出某地農戶家庭收入情況的抽樣調

查結果，以此設計問題，考查考生分析問題和數據處理的能力。

三是關注優秀傳統文化。乙卷理科第9題以魏晉時期我國數學家劉徽的著作《海島算

經》中的測量方法為背景，考查考生綜合運用知識解決問題的能力，讓考生充分感悟到

我國古代數學家的聰明才智。新高考I卷第16題以我國傳統文化剪紙藝術為背景，讓

考生體驗探索數學問題的過程，重點考查考生靈活運用數學知識分析問題的能力。

2、堅持開放創新，考查關鍵能力

《深化新時代教育評價改革總體方案》提出，構建引導考生德智體美勞全面發展的

考試內容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和“機械刷

題”現象。2021年高考數學全國卷命題積極貫徹《總體方案》要求，加大開放題的創

新力度，利用開放題考查考生數學學科核心素養和關鍵能力，發揮數學科的選拔功能。

（1）是“舉例問題”靈活開放。新高考H卷第14題的答案是開放的，給不同水平的考

生提供充分發揮數學能力的空間，在考查思維的靈活性方面起到了很好的作用。乙卷文、

理科第16題考查考生的空間想象能力，有多組正確答案，有多種解題方案可供選擇。

（2）是“結構不良問題”適度開放。甲卷理科第18題，試題給出部分已知條件，要求

考生根據試題要求構建一個命題，充分考查考生對數學本質的理解，引導中學數學在數

學概念與數學方法的教學中，重視培養數學核心素養，克服“機械刷題”現象。新高考

II卷第22題第（2）問是一道“結構不良問題”，對考生的邏輯推理能力、數學抽象能

力、直觀想象能力等有很深入的考查，體現了素養導向、能力為重的命題原則。

（3）是“存在問題”有序開放。新高考H卷第18題基于課程標準，重點考查考生的邏

輯推理能力和運算求解題能力，在體現開放性的同時，也考查了考生思維的準確性與有

序性。新高考I卷第21題第（2）問要求考生運用解析幾何的基本思想方法分析問題和

解決問題，考查考生在開放的情境中發現主要矛盾的能力。

3、倡導理論聯系實際，學以致用

2021年高考數學全國卷命題注重理論聯系實際，體現數學的應用價值，并讓考

生感悟到數學的應用之美。理論聯系實際的試題，體現現代科技發展和現代社會生產等

方面的特點，有機滲透數學建模、數據分析、邏輯推理等數學核心素養與數學思想方法

的應用，對選拔與育人具有積極的意義。

（1）是取材真實情境，解決實踐問題。新高考H卷第21題取材于生命科學中的真實問

題，考查數學抽象、直觀想象、邏輯推理等數學核心素養，體現了基礎性、綜合性、應

用性、創新性的考查要求。甲卷理科第8題以測量珠穆朗瑪峰高程的方法之------三角

高程測量法為背景設計，要求考生能正確應用線線關系、線面關系、點面關系等幾何知

識構建計算模型，情境真實，突出理論聯系實際，

（2）是關注青少年身心健康。身心健康是素質教育的核心內容，在高考評價體系的核

心價值指標體系中，包含有健康情感的指標，要求考生具有健康意識，注重增強體質，

健全人格，鍛煉意志。2021年高考數學試題對此也有所體現，如甲卷理科第4題（文

科第6題），以社會普遍關注的青少年視力問題為背景，重點考查考生的數學理解能力

和運算求解能力。

（3）是關注現實生產生活。乙卷文、理科第17題，以芯片生產中的刻蝕速率為原型，

設計了概率統計的應用問題，考查考生對平均數、方差等知識的理解和應用，引導考生

樹立正確的人生觀、價值觀。新高考H卷第6題，以某物理量的測量為背景，考查正態

分布基本知識的理解與應用，引導考生重視數學實驗，重視數學的應用。

總之，2021年高考數學全國卷試題很好地落實了立德樹人、服務選才、引導教學的高

考核心功能，同時突出數學學科特色，發揮了高考數學科的選拔功能，對深化中學數學

教學改革發揮了積極的導向作用。

二、2021年全國新高考H卷考點分布表

題號命題點模塊（題目數）

1復數的除法運算復數（共1題）

2集合的交集與補集運算集合（共1題）

3拋物線的方程與幾何性質解析幾何（共4題）

4球的實際應用立體幾何（共4題）

5棱臺的體積立體幾何（共4題）

6正態分布概率統計（共3題）

7對數式大小的比較函數（共4題）

8函數的奇偶性函數（共4題）

9樣本的數字特征概率與統計（共3題）

10空間幾何體中的線面位置關系立體幾何（共4題）

11直線與圓解析幾何（共4題）

12數列數列（共2題）

13雙曲線的幾何性質解析幾何（共4題）

14函數與導數1.函數（共4題）

2.導數（共3題）

15平面向量的數量積平面向量（共3題）

16導數的幾何意義導數（共3題）

17數列的通項與求和數列（共2題）

18解三角形三角函數與解三角形（共題）

19線面位置關系的證明及空間角的計算立體幾何（共4題）

20圓與橢圓解析幾何（共4題）

21概率的應用1.概率統計（共3題）

2.不等式（共2題）

22用導數研究函數單調性、不等式證明1.導數（共3題）

2.函數（共4題）

3.不等式（共2題）

三、2021年全國新高考n卷逐題分析

一、單選題

2-i

1.復數1下在復平面內對應的點所在的象限為（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】

利用復數的除法可化簡m」，從而可求對應的點的位置.

1-31

【詳解】

2-j=(2-i)(l+3i)=5+5i=l+i^所以該復數對應的點為

l-3i10102122)

該點在第一象限，

故選：A.

【命題意圖】本題考查復數的除法運算及復數的幾何意義,考查數學運算與數學抽象的

核心素養.難度：容易

【點評】

1、復數的概念

2.復數的加減乘除運算

3.復數的幾何意義

4.化為〃+歷3力W對的形式,再結合相關定義解答.

2.設集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},8={2,3,4},則()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

【答案】B

【分析】

根據交集、補集的定義可求AcR6).

【詳解】

由題設可得={1,5,6},故Ac風B)={1,6},

故選：B.

【命題意圖】本題考查集合的交集與補集運算，考查數學運算與數學抽象的核心素養.難

度：容易

【點評】

1、是集合的并集、交集、補集運算，

2、是集合之間的關系，

3、對集合化簡，有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單

明了、易于解決；

4、應用數形結合進行交、并、補等運算，常用的數形結合形式有數軸、坐標系和韋恩圖

(Venn).

3.拋物線y2=2px(p>0)的焦點至ij直線y=x+l的距離為正，則2=()

A.1B.2C.272D.4

【答案】B

【分析】

首先確定拋物線的焦點坐標，然后結合點到直線距離公式可得P的值.

【詳解】

拋物線的焦點坐標為（5，0），

￡-0+1

其到直線x-y+l=o的距離：d=2______=&，

ViTi

解得：P=2（p=-6舍去）.

故選：B.

【命題意圖】本題考查拋物線的方程與幾何性質及點到直線距離公式，考查數學運算的

核心素養.難度：容易.

【點評】

1、拋物線定義

2、拋物線方程

3、拋物線的基本量

4、利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是

如此.

5、常見結論使用

設AB是過拋物線丁=2〃犬。＞0）焦點F的弦，若A3,yi）1（X2,加,則

①為》2=9,力）'2=~p2-

②弦長依8|=即+及+0=懸（6（為弦AB的傾斜角）.

③以弦AB為直徑的圓與準線相切.

④通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦,長等于2p,通徑是過焦點最短的弦.

4.北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果.在衛星導航系統中，地球

靜止同步衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛星

到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為。，半徑，?為6400km的球，其上點4

的緯度是指。4與赤道平面所成角的度數.地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步

軌道衛星點的緯度最大值為a，記衛星信號覆蓋地球表面的表面積為S=2乃，（1-cosa）

（單位：km?）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【分析】

由題意結合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結果.

【詳解】

由題意可得，s占地球表面積的百分比約為：

16400

2萬人（1-cose）=1-cosa=~6400+36000-042=42%-

4/rr2-2-2~.一°

故選：C.

【命題意圖】本題考查與求有關的計算問題，考查直觀想象與數學建模的核心素養.難度：

容易

【點評】

1、空間想象能力和閱讀理解

2、數學建模的素養

3、關注我國社會現實與經濟、科技進步與發展，增強民族自豪感與自信心，增強國家認同,

增強理想信念與愛國情懷.

5.正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為（）

A.20+12若B.28后C.乎D.竺巨

【答案】D

【分析】

由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得

解.

【詳解】

作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，

因為該四樓臺上下底面邊長分別為2,4,側棱長為2,

所以該棱臺的高/?=西一修&一可=&,

下底面面積，=16,上底面面積S2=4,

所以該棱臺的體積y=gMW+S2+6^)=；x0x(16+4+J^)=g&.

故選：D.

【命題意圖】本題考查棱臺的體積，考查直觀想象與數學運算的核心素養.難度：容易.

【點評】

1、計算柱、錐、臺體的體積,關鍵是根據條件找出相應的底面面積和高

2、應注意充分利用多面體的截面，特別是軸截面,將空間問題轉化為平面問題求解.

3、幾何體中元素的位置關系與數量關系

4、幾何體的表面積與體積、球與幾何體的切接等.

6.某物理量的測量結果服從正態分布N(10,4),下列結論中不正確的是()

A.。越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.b越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.。越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.。越小，該物理量在一次測量中落在(9910.2)與落在(10,10.3)的概率相等

【答案】D

【分析】

由正態分布密度曲線的特征逐項判斷即可得解.

【詳解】

對于A,〃為數據的方差，所以。越小，數據在〃=1。附近越集中，所以測量結果落

在(9.9,10.1)內的概率越大，故A正確；

對于B,由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故

B正確；

對于C,由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于10.01的概率與

小于9.99的概率相等，故C正確；

對于D,因為該物理量一次測量結果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,103)的概率不同,

所以一次測量結果落在(9.9,10.2)的概率與落在：(10,10.3)的概率不同，故D錯誤.

故選：D.

【命題意圖】本題考查正態分布，考生數學建模與邏輯推理的核心素養.難度：中等偏易

【點評】

1、正態曲線與x軸之間的面積為1：

2、正態曲線關于直線x=“對稱，從而在關于x="對稱的區間上概率相等；

3、幾個常用公式：

①尸（X<a）=l—P（XW）;

②P（X<〃一（z）=P（.+a）（即第⑵條）；

nI1~P—6<X0/+6）

③若。>0,則P（x<〃一切=-----竹2T----------

4,無論是正態分布的正向或逆向的應用問題，關鍵都是先確定〃"，然后利用對稱性，將所

求概率轉化到三個特殊區間.

7.已知a=logs2,^=log83,c=1,則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【分析】

對數函數的單調性可比較。、b與c的大小關系，由此可得出結論.

【詳解】

a=log52<log5>/5=^=log825/2<log83=b,即a<c<6.

故選：C.

【命題意圖】本題考查數式大小的比較，考查數學運算與邏輯推理的核心素養.難度：中

點偏易

【點評】

1、比較兩個指數靠的大小時,盡量化為同底或同指，當底數相同，指數不同時，構造同一指

數函數，利用指數函數的單調性比較大小;當指數相同，底數不同時，常用作商法或利用函

數圖象比較大小；

2、當底數、指數均不同時，可以利用中間值0,1比較,同時注意結合圖像及

特殊值.對于三個（或三個以上）數的大小比較，則應先根據值的大小對其分類,常將其

分為三類：一類是小于0的數，一類是大于0小于1的數，一類是大于1的數.

3、比較對數式大小的類型及相應的方法：①若底數為同一常數，則可由對數函數的單調

性直接進行判斷；若底數為同一字母,則需對底數進行分類討論.②若底數不同，真數相

同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較.③若底數與真數都不同，則常借助1,0

等中間量進行比較.

8.已知函數/（?的定義域為R,/（x+2）為偶函數，/（2x+l）為奇函數，則（）

A.=0B../（-1）=0C./（2）=0D./（4）=0

【答案】B

【分析】

推導出函數/(力是以4為周期的周期函數，由已知條件得出f(1)=0,結合已知條件可

得出結論.

【詳解】

因為函數/(x+2)為偶函數，則〃2+*)=〃27),可得/(x+3)=/(l—x),

因為函數〃2x+l)為奇函數，則〃1一2同=-〃2尤+1),所以，/(l-x)=-/(x+l),

所以，/(x+3)=-/(x+l)=/(x-l),即〃x)=〃x+4),

故函數是以4為周期的周期函數，

因為函數尸(x)=/(2x+l)為奇函數,則F(O)=/(1)=0,

故/(-1)=-/(1)=。,其它三個選項未知.

故選：B.

【命題意圖】本題考查函數的奇偶性，考查數學抽象與邏輯推理的核心素養.難度：中等

【點評】

1、抽象函數的奇偶性

2、抽象函數對稱性

3、抽象函數周期性

二、多選題

9.下列統計量中，能度量樣本%,%，…，七的離散程度的是()

A.樣本％,々，…，X”的標準差B.樣本占,》2,…，工的中位數

C.樣本不X2,…,斗的極差D.樣本外,天，…,X.的平均數

【答案】AC

【分析】

考查所給的選項哪些是考查數據的離散程度，哪些是考查數據的集中趨勢即可確定正確

選項.

【詳解】

由標準差的定義可知，標準差考查的是數據的離散程度；

由中位數的定義可知，中位數考查的是數據的集中趨勢；

由極差的定義可知，極差考查的是數據的離散程度；

由平均數的定義可知，平均數考查的是數據的集中趨勢：

故選：AC.

【命題意圖】本題考查樣本的數字特征，考查數學抽象的核心素養.難度：容易

【點評】

1、求解本題的關鍵是利用標準差、中位數、平均數、極差的概念逐個進行判斷.

2、.標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小.標準差、方差越大，數據的離

散程度越大；標準差、方差越小，數據的離散程度越小.因為方差與原始數據的單位不

同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差都是測量樣本數據離散程度

的工具，但在解決實際問題時,一般多采用標準差.

3、.有關平均數、方差的一些結論

若數據X1,X2,…,Xn的平均數為京方差為S2.

22

則axi,ax2.....axn的平均數為ax，方差為as.

22

數據mx?+a,mx2+a,...,mxn+a的平均數為mx+a,方差為ms.

10.如圖，在正方體中，。為底面的中心，P為所在棱的中點，M,N為正方體的頂點.則

【答案】BC

【分析】

根據線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構造所考慮的線線角后可判斷

AD的正誤.

【詳解】

設正方體的棱長為2,

對于A,如圖（1）所示，連接AC,則MV//AC,

故NPOC（或其補角）為異面直線ORMN所成的角,

1_y/2

在直角三角形OPC，OC=&CP=1故tanZPOC=

故MNOP不成立，故A錯誤.

對于B,如圖(2)所示，取W的中點為Q,連接PQ,OQ,則OQLNT,PQVMN,

由正方體SBCM-NADT可得SN_L平面ANDT,而。。u平面ANDT.

故SN_LOQ,而SNCMN=N,故平面SN7M,

又MNu平面SN7M,OQ±MN,而OQC|PQ=Q,

所以AW_L平面OPQ,而POu平面。PQ,故MNLOP,故B正確.

對于C,如圖(3),連接BD,則BD//MN,由B的判斷可得OPJLBD,

故OPLMN,故C正確.

對于D,如圖（4）,取AO的中點Q,A8的中點K，連接AC,PQ,OQ,PK,OK,

則AC//MN,

因為。尸=PC,故PQ〃AC,故PQUMN,

所以NQPO或其補角為異面直線PO,MN所成的角，

圖（4）

因為正方體的棱長為2,故PQ=；AC=J^,OQ^^AO2+AQ2=71+2=5/3.

PO=\IPK2+OK2=V4+i=^-QO2<PQ2+OP2,故NQP0不是直角,

故PO,MN不垂宜，故D錯誤.

故選：BC.

【命題意圖】本題考查線線垂直的判斷，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養.難度：中

等偏易.

【點評】

判斷線線垂直

1、一是利用平面幾何知識判斷

2、二是利用線面垂直的性質定理來判斷.

11.已知直線/:or+力-，=0與圓C:/+y2=/，點A（a,°）,則下列說法正確的是

（）

A.若點A在圓C上，則直線/與圓C相切B.若點A在圓C內，則直線/與圓C相

離

C.若點4在圓C外，則直線/與圓C相離D.若點A在直線/上，則直線/與圓C

相切

【答案】ABD

【分析】

轉化點與圓、點與直線的位置關系為/+從,戶的大小關系，結合點到直線的距離及直

線與圓的位置關系即可得解.

【詳解】

圓心C（o,o）到立線/的距離d=

>Ja2+b2

2

若點A（a,b）在圓C上,則儲+從=產,所以

yja2+b-

則直線/與圓C相切，故A正確；

若點A（a,b）在圓C內，則儲+萬〈產所以1=I>|r|

777^11

則直線/與圓c相離，故B正確;

若點A（a,b）在圓C外,則/+從＞/，所以d=-7==<|d

777^11

則直線/與圓c相交，故C錯誤;

若點A（a,。）在直線/上，則/+/=。即/+從=產,

2

所以d=提一=卜|，直線/與圓C相切，故D正確.

yja2+b2

故選：ABD.

【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關系，考查邏輯推理與直觀想象的核心素養.難度:

中等.

【點評】

1、判斷直線與圓的位置關系，常通過圓心到直線距離與半徑大小進行判斷

2、在處理直線與曲線的位置關系時,一般用二者聯立所得方程組的解的情況進行判斷（即

代數方法）

12.設正整數“=旬,2°+“「2+…+其中qe{O,l},記

。（〃）=4+4+…+4.則（）

A.0）（111）=60^11）B.<u（2rt+3）=&>（?）+1

C.0（8〃+5）=<w（4〃+3）D.（y（2n-1）=n

【答案】ACD

【分析】

利用0（”）的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.

【詳解】

A1

對于A選唄，<v（〃）=%+4+…+ct/.,2rl='?2'+at-2~-I---（■ak_x-2'+ak-2,

所以，0（2〃）=4+q+—+a*=<y（〃），A選項正確；

對于B選項,取〃=2,2n+3=7=l-2°+l-21+l-22，.-.<y（7）=3,

而2=0?2°+卜2、則磯2）=1，即0（7）H（y（2）+l,B選項錯誤；

對于C選項，

34t+30234i+3

8n+5=a0-2+a1-2+---+ajl-2+5=l-2+l-2+a（）-2+a1-2+---+at-2,

所以，（y（8〃+5）=2+/+4+???+4,

23k+2a2,M

4n+3=a（t-2+al-2+---+ak-2+3=\-2+l-2'+al）-2+al-2+---+ak-2,

所以，0（4〃+3）=2+%+4+…+4,因此,<y（8n+5）=&>（4n+3）,C選項正確；

對于D選項，2）,-1=20+21+...+2,,"|.故。（2"-1）=〃，D選項正確.

故選：ACD.

【命題意圖】本題考查數的轉化及等比數列，考查數學運算與邏輯推理的核心素養.難度:

難

【點評】

三、填空題

13.已知雙曲線J-￡=l（a>0,5>0）的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為

【答案】y=±A

【分析】

*

由雙曲線離心率公式可得＜=3,再由漸近線方程即可得解.

a

【詳解】

因為雙曲線「一，=1(。＞0力＞0)的離心率為2,所以e=/=F^=2,所以

拄

=3,則該雙曲線的漸近線方程為y=±-x=士岳.

~~2a

故答案為：y=.

【命題意圖】本題考查雙曲線的兒何性質，考查數學運算的核心素養.難度：容易

【點評】

1,雙曲線的定義

2、幾何性質

3、與其他知識交匯考查

4、雙曲線的幾何性質中重點是漸近線方程和離心率

14.寫出一個同時具有下列性質①②③的函數/(x)：.

①］品)={)〃占)；②當xe(0,+oo)時，f'(x)＞0.③/(X)是奇函數.

【答案】/(x)=x，(答案不唯一，“句=”(〃€")均滿足)

【分析】

根據基函數的性質可得所求的/(x).

【詳解】

取/(x)=x4,則/(中2)=(中2)4=由；=/(%)/(%)，滿足①，

/'(6=4/，了＞0時有〃力＞0,滿足②，

廣(同=4丁的定義域為R,

乂/(—司=-4丁=一((力，故尸(X)是奇函數，滿足③.

故答案為：〃x)=f(答案不唯一，〃x)=/(〃eN*)均滿足)

【命題意圖】本題考查暴函數的運算法則及奇偶性、單調性.難度：容易.

【點評】

本題答案是開放的,給不同水平的考生提供充分發揮數學能力的空間，在考查思維的靈活

性方面起到了很好的作用.

15.已知向量a+B+c=6,卜|=1,忖=卜]=2,ah+b-c+c-a=?

【答案】~

【分析】

由已知可得（￡+B+Z『=o,展開化簡后可得結果.

【詳解】

由已知可得（a+B+c）=a+b+c~+2^a-b+b-c+c-a^=9+2^a-b+b-c+c-a^=0,

因此，ab+bc+ca=—.

2

故答案為：-g.

（命題意圖】本題考查平面向量的數量積，考查數學運算與邏輯推理的核心素養.難度：

中等偏易

【點評】

1、平面向量的線性運算

2、平面向量的數量積

3、常用平面幾何、不等式等知識交匯考查.

16.已知函數/（幻=K"-1|,陽<0戶2>0,函數/（x）的圖象在點和點

*々，/（々））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則黑^取值范圍是

【答案】（0,1）

【分析】

結合導數的幾何意義uj■得玉+W=0,結合直線方程及兩點間距離公式可得

|AM|=\!\+e2x',1^|,忸N|=Jl+/".網,化簡即可得解.

【詳解】

IIf1—e",x<。，,、—e',xv0

由題意，〃力=卜-1卜X,則/'（x）=、八，

11-l,x>0[e\x>0

所以點A（3,1-爐）和點5卜2,*T），Mw=-6"次刑=*,

所以一e"=-l,Xj+x2=0,

Xix

所以AM:y-l+e*(0,exl-e'+1),

所以|AM|=Jx；+(/]%)=Ji+J伺,

同理怛N|=Jl+汽.同,

廠I/AA/l\/]+e2Xi-lx,I11+e2x,11+e2x,/、

所以冒飛+"]「&7/=《7尸=v/(0,1).

故答案為：(0,1)

【命題意圖】本題考查導數幾何意義的應用，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養.難度:

中等偏難.

【點評】

1、求曲線在某點處的切線方程

2、確定曲線的條數

3、求公切線

4、根據曲線滿足條件求參數范圍.

四、解答題

17.記S”是公差不為0的等差數列｛《,｝的前."項和，若的=55，的4=54.

(1)求數列｛%｝的通項公式4,;

(2)求使5“＞可成立的〃的最小值.

【答案】⑴氏=2〃-6；(2)7.

【分析】

(1)由題意首先求得的的值，然后結合題意求得數列的公差即可確定數列的通項公式;

(2)首先求得前n項和的表達式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.

【詳解】

⑴由等差數列的性質可得：$5=5%,則：%=5-=0,

設等差數列的公差為"，從而有：%4=3-d)3+d)=r/2,

S&=4+生+%+/=(/-")+3-1)+%+(/-d)=-2d,

從而：_d」2d，由于公差不為零，故：d=2,

數列的通項公式為：4,=a3+(n-3)d=2n-6.

(2)由數列的通項公式可得：?,=2-6=-4,則：s,=〃x(-4)+當心x2="-5w,

則不等式S“>”“即：n2-5n>2n-6.整理可得：(〃-1)("-6)>0,

解得：或“>6,又〃為正整數，故〃的最小值為7.

【命題意圖】本題考查等差數列的通項與求和，考查數學運算與邏輯推理的核心素養，試

題難度：中等偏易.

【點評】

1、數列的通項與求和

2、等差數列運算問題的一般求法是設出首項m和公差”,然后由通項公式或前〃項和公

式轉化為方程(組)求解，用方程的思想解決問題.

18.在3c中，角A、B、C所對的邊長分別為。、b>c,b=a+\,c=a+2.,

(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面積；

(2)是否存在正整數使得AAAC為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，

說明理由.

【答案】(1)”且；(2)存在，且“=2.

4

【分析】

(1)由正弦定理可得出2c=3。，結合已知條件求出。的值，進一步可求得b、c的值,

利用余弦定理以及同角三角函數的基本關系求出sin3,再利用三角形的面積公式可求

得結果；

(2)分析可知，角C為鈍角，由8sC<0結合三角形三邊關系可求得整數。的值.

【詳解】

(1)因為2sinC=3sinA,則2c=2(a+2)=3〃，則。=4,故〃=5,c=6,

cosC=a———,所以，C為銳角，則sinC=-cos?C=,

2ah88

因此，Sz=—tz/?sinC=—x4x5x^2--.

川2284

(2)顯然c>b>a,若△45C為鈍角三角形，則。為鈍角，

■>,2,

由余弦定理可得8SC==1a~+1)_(Q+2)CT—2a—3

2a(〃+l)+

解得一lva<3,則0<〃V3,

山三角形三邊關系可得a+a+1>a+2,可得。>1,?/6FeZ,故a=2.

【命題意圖】本題考查三角形面積公式、正弦定理及余弦定理的應用，考查數學運算與

邏輯推理的核心素養.難度：中等偏易.

【點評】

1、三角與幾何產生聯系，為求與三角形有關的量（如面積、外接圓與內切圓半徑和面積等）

提供了理論依據，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關等式的重要依據

2、主要方法有：化角法，化邊法,面積法，運用初等幾何法

3、注意體會其中蘊涵的函數與方程思想、等價轉化思想及分類與整合思想.

19.在四棱錐Q-A8CO中，底面A8C。是正方形，^AD=2,QD=QA=-Js,QC=3.

（1）證明：平面QA。，平面ABC￡>；

（2）求二面角8-QO-A的平面角的余弦值.

2

【答案】（1）證明見解析；（2）y.

【分析】

（1）取AD的中點為。，連接QO,CO,可證QO,平面從而得到面面

ABCD.

（2）在平面ABCD內，過。作O77/CD,交BCTT,則。TLAD,建如圖所示的空間

坐標系，求出平面3。、平面BQ。的法向量后可求二面角的余弦值.

【詳解】

Q

（1）取AZ）的中點為。，連接QO,CO.

因為QA=Q￡>,OA=OD,則

而4。=2,04=石，故=萬=2.

在正方形ABC。中，因為45=2,故。。=1,故。0=石，

因為QC=3,故。＜72=。。2+。。2,A0OCQO1OC,

因為OCnAO=。，故QO,平面ABC。，

因為QOu平面QA。，故平面04。，平面7WCD.

(2)在平面ABC。內，過。作O77/CZ),交BCTT,則。T_LAO,

結合(1)中的QO,平面A8CO,故可建如圖所示的空間坐標系.

則￡>(0,1,0),0(0,0,2),5(2,-1,0),故詼=(-2,1,2),麗=(-2,2,0).

設平面QB。的法向量〉=(x,y,z),

n-BQ=0-2x+y+2z=0

則一即\取x=l,則y=l,z=g,

n-BD=0一2x+2y=0

而平面0W的法向量為m=(1,0,0)，故c°s,，〃)=%§=§.

2

2

二面角8-QO-A的平面角為銳角，故其余弦值為

【命題意圖】本題考查線面位置關系的證明及二面角的計算，考查直觀想象及邏輯推理

的核心素養

【點評】

1.證明線面位置關系應注意的問題

(1)線面平行、垂直關系的證明問題的指導思想是線線、線面、面面關系的相互轉化，交

替使用平行、垂直的判定定理和性質定理；

（2）線線關系是線面關系、面面關系的基礎.證明過程中要注意利用平面兒何中的結論,

如證明平行時常用的中位線、平行線分線段成比例；證明垂直時常用的等腰三角形的中

線等；

（3）證明過程一定要嚴謹，使用定理時要對照條件、步驟書寫要規范.

2.利用向量法計算二面角大小的常用方法

（1）找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的

法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小.

（2）找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起

點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.

20.已知橢圓C的方程為T+右焦點為「（立0），且離心率為】g.

（1）求橢圓C的方程：

（2）設M,N是橢圓C上的兩點，直線與曲線/+卜2=62（》＞0）相切.證明：加，

N,尸三點共線的充要條件是|MN|=百.

【答案】（1）—+/=1;（2）證明見解析.

3

【分析】

（1）由離心率公式可得”=石，進而可得〃，即可得解；

（2）必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯立直線與橢圓方程可證

\MN\=-j3-,

充分性：設直線MN：y=Ax+6,（妨＜0）,由直線與圓相切得〃=r+1,聯立直線與橢

圓方程結合弦長公式可得?叵￡=6，進而可得九=±i,即可得解.

1+3公

【詳解】

（1）由題意，橢圓半焦距c=&且e=￡=如，所以〃=百，

a3

y.b2=a2-c2=\,所以橢圓方程為上+y2=l；

3

（2）由（1）得，曲線為f+y2=l（x＞0）,

當直線MN的斜率不存在時，直線用N:x=l,不合題意；

當宜線MN的斜率存在時，設M&,y）,N（w，%），

必要性：

若何，N,/三點共線，可設直線MN:y=&（x-應）即履-y-&k=0,

由直線MN與曲線x2+y2=l(x＞0)相切可得J^L=1，解得k=+l,

,=±（*_收）

聯立《/可得4*2-6&X+3=0所以X1+&=?&,X].￡=[■,

Xj?2_1

所以|MN|=ViTT.，(％+-)2-4%.%=6，

所以必要性成立；

充分性：設直線MV：y=fcr+6,(妨＜0)即依7+匕=0,

由直線MN與曲線/+丁=1。＞0)相切可得71=1,所以從=^+1,

y]k2+\

y=kx+b

聯立2可得（1+3/）/+6助X+3〃—3=0,

,T+-V=l

6kb3"3

所以玉+X—-----,X1?X,=r

21+3F--1'1+3/

\3從-3

所以|MN|=Ji+公?,（為+々）2-你.々=J1+公6kbA

1+3公

=",然s

化簡得3伊-1)2=0,所以人士1,

，所以直線MN:y=x-0或y=-x+0,

所以b=_『或,\b=6

所以直線A/N過點尸(形,0),M,N,尸三點共線，充分性成立；

所以M,N,尸三點共線的充要條件是|MN|=6.

【命題立意】本題考查橢圓的方程及直線與圓錐曲線的位置關系,考查數學運算與邏輯

推理的核心素養

【點評】

解析幾何解答題

1、一般考查曲線的方程

2、考查弦長、三角形面積、定點、定值及最值問題.

3、引進參數法：引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參

數何時沒有關系，找到定點.

4、特殊到一般法：根據動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關.

5、韋達定理的應用，注意運算的準確性是解題的重中之重.

21.一種微生物群體可以經過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第。代，經

過一次繁殖后為第1代，再經過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數是

相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數，

P（X=i）=p,（i=0,1,2,3）.

（1）已知Po=0.4,"|=0.3,22=0.2,「3=0.1,求E（X）；

（2）設p表示該種微生物經過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：

Po+PiX+p/'/v'x的一個最小正實根，求證：當E（X）41時，p=l,當E（X）＞1

時，P＜1;

（3）根據你的理解說明（2）問結論的實際含義.

【答案】（1）1;（2）見解析；（3）見解析.

【分析】

（1）利用公式計算可得E（X）.

（2）利用導數討論函數的單調性，結合/⑴=0及極值點的范圍可得/（x）的最小正零

點.

（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應的理解說明.

【詳解】

（1）E（X）=0x0.4+lx0.3+2x0.2+3x0.1=l.

（2）設f（x）=P3d+P2/+（RT）x+R），

+

因為P3+。2+Pl+為=1，故/（X）=，3丁_（〃2+Po0）X+Po,

若E（X）41,則目+2必+3〃3＜1,故Pz+2p34Po.

（x）=3n彳2+2p?X-（P2+%+。3），

因為/'（。）=一（2+為+23）＜°，/'（1）=0+2,3一%V。，

故/'（X）有兩個不同零點牛巧，且為＜0＜14當，

且工?-000）5毛,+00）時，/,（x）＞0；XC（X1,X2）時，/'（x）＜0；

故/（X）在（T?,X1）,（W，+8）上為增函數，在（玉,々）上為減函數，

若尤2=1,因為/（X）在（毛,48）為增函數且/（1）=0,

而當X€（O,天）時,因為“X）在上為減函數，故〃力＞〃々）"（1）=0,

2

故1為Po+P1X+p2x+=X的一個最小正實根,

若X2>1,因為〃1）=0且在（0,毛）上為減函數，故1為％+P|X++。3了3=x的一個

最小正實根，

綜上,若E（X）<1,則p=l.

若E（X）>1