目錄

內容簡介

目錄

第8章漸近法及其他算法簡述

8.1復習筆記

8.2課后習題詳解

8.3名校考研真題詳解

第9章靜定結構總論

9.1復習筆記

9.2課后習題詳解

9.3名校考研真題詳解

第10章超靜定結構總論

10.1復習筆記

10.2課后習題詳解

10.3名校考研真題詳解

第8章漸近法及其他算法簡述

8.1復習筆記

本章介紹了幾種屬于位移法類型的漸近方法。這些漸近方法的基礎是力矩分配法，在力矩

分配法的基礎上，衍生出了適用于不同結構類型的子方法，如無剪力分配法、分層計算法

、反彎點法。漸近法舍棄了一部分精度，但以此換來了更高的效率。

一、力矩分配法的基本概念（見表8-1-1）

轉動剛度、分配系數、傳遞系數

表8-1-1力矩分配法的基本概念

要點主要內容

轉動剛度表示使桿端產生單位蔚角時需要施加的力矩，或者等于桿端力矩與桿端轉角的比值，它

表示桿端對轉動的抵抗能力，以5表示。根據位移法桿端彎矩公式，常用轉動剛度包括：

①遠端固定，S=4i;

轉動

②遠端簡支，5=3/

剛度5

③遠端滑動，S=i;

@遠端自由，$=0。

式中i為線剛度，且廠即1

①分配系數是指桿件的轉動剛度與交于結點乂的各桿的轉動剛度之和的比值，可用下列公式計算

S4

分配%=本

系數A

式中，J可以是3、C或者。，如mB表示桿越在月端的分配系數；

②若結點.4上作用一力偶M,則各桿承擔的彎矩卻可由分配系數總根據如下公式求得乂產則

傳遞系數表示當近端有轉角時，遠端彎矩與近端彎矩的比值。根據位移法桿端彎矩公式，常用傳

遞系數包括：

①遠端固定，C=l%

傳遞

②遠端滑動，c=-b

系數

③遠端較支，C=0o

傳遞系數用下列公式進行應用

基本運算環節（單結點轉動的力矩分配）（見表8-1-2）

表8-1-2單結點轉動的力矩分配

要點主要內容

力矩分配法是一種利用各桿的分配系數將約束力矩分配給各桿的近端，再通過傳遞系數

基本概念

將近端彎矩傳遞給遠綃，最終疊加得到實際桿疆專矩搐構內力計算方法

用圖8-1-1兩跨連續梁加以說明：

①在結點3上施加約束，根據表7-L3載常數公式計算由荷載產生的桿端變矩(順時針

轉向為正)MJ、坨乙并寫在各桿翅的下方，見圖84-2(a),

②計算結點B的約束力矩：M=.我/+跖/需要分配的力矩為-M,見圖8-1-2(b)j

③求結點各桿的分配系數，并確定各桿的傳遞系數J械系數寫在結點8上的方根內j

具體步驟④放松結點8睹］束，根據分配系數“山、〃”計?分配力矩：

M￡=一切,UgajA/JC——M-Ute

再根據傳遞系數計算遠也矩：

MAB'=C“-.V/gj——.Wj,Un21=CBC'A/CJ_0

計算過程見圖8-1-2(c),分配力矩及傳遞力矩寫在酬彎矩下方；

⑤盤加固端彎矩和分配力矩及傳遞力矩，得到最后的桿墻彎矩見圖8-1-2(d)

200kN

20kN/m

士協用科常福陽世

3m3m■卜6m

圖8-1-1

200kN20kN/m

tA

-150

(aN單fVkNm)

分配系數紹----------叵孵-----------

固端穹矩“150150詼Y0。癡

幺10,571104291分配力矩77.2--343-257-一。

及傳遞力矩

-17.2v——343-25.7—0曲桿端彎矩-g4-皿2

(cX單位kNm)付乂單位kNm)

圖8-1-2

二、多結點的力矩分配(見表8-1-3)

要點主要內容

①多結點的力矩分配是一種以漸近的方式，通過交替放松單個結點，應用單結點的分配和

傳遞運算，最終逼近結構實際變形的方法；

②多結點力矩分配時，通常只需對結點進行兩到三個循環就能滿足精度要求，

基本概念

③多結點力矩分配與單結點力矩分配在本質上相同，計算步驟的核心也相同，只不過對多

結點分配力矩時多循環了幾次放松-分配-傳遞的過程；

④多結點的力矩分配適用于連續梁和無側移剛架的計算

用圖8-1-3三跨連續梁加以說明：

①夾緊結點8和C,再加祛碼，見圖8-1-3(b),求出桿件固端彎矩；

②計算結點3和C約束力矩；

③求結點各桿的分配系數，并確定各桿的傳遞系數；

多結點力矩分④夾緊結點C,放松結點3,見圖843(c);分配結點3的約束力矩，并計算傳遞力指；

配的具體步驟⑤夾緊結點B,再放松結點C,見圖8-1-3(d)；分配結點C的累計約束力矩(加上④申

結點8傳遞過來的彎矩)，并計算傳遞力矩；

⑥再循環步驟④?⑤兩次,

⑦將固端彎矩，歷次的分配力矩和傳遞彎矩相加，得到最后的桿端變矩。

連續梁跨中加磋碼后真實變形曲線如圖8-1-3(a)所示，經過三次循環后即可逼近該曲線

表8-1-3多結點的力矩分配

圖8-1-3

三、無剪力分配法（表8-1-4）

要點主要內容

應用條件剛架中除桿端無相對線位移的桿件外，其余桿件都是剪力靜定桿件

①剪力靜定桿件的端部剪力可根據靜力條件求出；

固端彎矩計算步驟②將結點夾緊后，可視桿件為一端固定、一端滑動；

③以端部剪力為外荷載，通過載常數公式計算桿件的固端彎矩

無剪力分配法之所以“無剪力”，是由于在放松夾緊的結點時（見

圖8-1-4）,結構豎桿變形與遠端滑動的桿件相同，因此二者的轉動

剛度和傳遞系數也是彼此相同的。

轉動剛度及傳遞系數當月端轉動時，桿端彎矩為

\，AB=仇,"BJI=一

由此，無剪力桿件的轉動剛度和傳遞系數分別為

SAB=UB>-1

無剪力分配法具體步驟無剪力分配法是力矩分配法的一種特殊形式，計算步驟沒有區別

表8-1-4無剪力分配法

圖8-1-4

四、近似法（見表8-1-5）

表8-1-5近似法

要點主要內容

近似法通過忽略一些欠要影響（如剪力和軸力引起的變形），以較小的計算量，能夠取得較為

基本概念

粗略的解答

分層法①分層計算法是一種忽略多層刖架側移影響的基于力矩分配法的一種近似法；

（見圖8-1-5）②分層法把多層剛架分解，一層一層地單獨計算,忽略了每層梁的豎向荷載對其他各層的影響

反彎點法又稱剪力分配法,其基本假設是把刖架中的橫梁簡化為剛性梁,適用于水平荷載作用

下的剛架，并忽略了剛架的結點轉角

小一出以）Ml

計算簡圖二

反彎點法

①橫梁抗彎剛度無限大，則兩剛結點處沒有轉角位移，只有側移

②根據形常數公式，算得桿端翦力

FQI=12，14飽2=21」,尸Q2=121必'后=總」

分析步驟③根據橫梁受力平衡:FQI+FQE,算得

尸Ql=*l尸（?1+檢），尸Q2=?FP'（21+檢）

由此看出，各柱翦力根據剪力分配系數進行分配的=及小

④根據各柱上反彎點位置計算桿端彎矩

IV

7/777/77/77/77777/77777/

IIIimmnnmzHimm

(b)

圖8-1-5分層法

五、超靜定結構各類解法的比較和合理選用（見表8-1-6）

表8-1-6超靜定結構各類解法的比較和合理選用

要點主要內容

直接法建立基本方程，然后采用直接法求解這組線性代數方程

直接解法和漸后半截漸近法建立基本方程，采用迭代解法解方程組

近解法漸近法采用力學手段，使結構的受力變形狀態以漸近方式逼近真實

全過程漸近法

的受力變形狀態

手算方法和計手算法結構力學學科是在手算條件下逐步形成的，經典結構力學講的都是手算方法

算機方法計算機法計算結構力學是借助計算機采用數值方法解決結構力學問題的一個分支學科

①超雕桁架中因為結點位移太多，宜使用力法；

超靜定桁架

②計算桁架次應力時，宜使用力矩分配法

①兩較拱和無鏡拱需用力法；

超靜定拱

②對于連續拱，可取曲桿為單元，采用位移法或力矩分配法

①剛性支座上的連續梁，宜采用力矩分配法；

手算角度連續梁

超靜定結構解②彈性支座上的連續梁，宜用力法或位移法

法的合理選用①無結點線位移的剛架，可采用力矩分配法；

②無結點角位移的剛架，可采用位移法或剪力分配法,

剛架

③超靜定次數少而結點位移較多的剛架可采用力法；

④多層刖架可采用無剪力分配法、力矩分配法或近似法

宜使用矩陣位移法，各種形式的靜定和超靜定結構只需一個通用程序就可進行

計算機角度

計算

8.2課后習題詳解

8-1試用力矩分配法計算圖8-2-1所示結構，并作M圖。

圖8-2-1

解：(a)求固端彎矩

,;

MAB--Fl.l/8=-20kNm,M8A=Fl.l/8=2()kN-m

求分配系數

RBA=EI/(EI+EI/2)=1/(1+1/2)=0.667,即c=(EI/2)/(EI+EI/2)=(1/2)/(1+

1/2)=0.333

放松B點進行力矩分配(B點的集中力偶應該與固端彎矩一起分配)，分配過程如圖8-2-

0.6670.333

im111111111111111111111

200

-50-25

-30-25325?

計。過程（單位：kN-m）Affi(單位:kN?m)

2所示，并作出M圖如圖8-2-2所示。

圖8-2-2

(b)考慮去掉懸臂部分CD,去掉后在C點施加大小為l()kN-m的順時針力偶矩。求固端彎

矩(注意，C點的附加力偶傳遞到B點的作用不能忽略)

F

MBc--3Fpl/16=-18kN-m(集中力引起)

MBC『=l/2xlOkN-m=5kN-m(附加力偶引起)

--

MBCF-MBCFMBCF——13kNm,MCBF_10kNm

求分配系數

加八=(3EI/2)/(3EI/2+3EI/4)=1/(1+1/2)=0.667,gBC=(3EI/4)/(3EI/2+3EI/4

)=(1/2)/(1+1/2)=0.333

B

,67

計算過程仲位：kN?m)A撤單位:kN?m)

放松B點進行分配，分配過程如圖8-2-3所示，并作M圖如圖8-2-3所示。

圖823

8-2試判斷圖8-2-4所示結構可否用無剪力分配法計算，說明理由。

圖8-2-4

解：(a)、(b)結構中桿件既有側移，剪力也不靜定，所以不能用無剪力分配法計算。

(c)結構中，豎桿為剪力靜定桿，斜桿兩端無垂直于桿軸的相對線位移，所以是無側移

桿，可以用無剪力分配法計算。

(d)、(e)、(f)結構中，豎桿為剪力靜定桿，橫桿為無側移桿，可以用無剪力分配

法。

8-3試討論圖8-2-

5所示結構的解法。用什么方法？各桿的固端彎矩、轉動剛度和傳遞系數如何確定？

圖8-2-5

解：（a）只有一根立柱，且橫梁外端的支桿與立柱平行，可以用無剪力分配法。

①橫梁CD、BE按近端固定支承、遠端錢支來計算其固端彎矩，因而有ScD=3ic?SBE=3iB

E,傳遞系數均為0；

②豎桿AB按B端滑動支承、A端錢支來計算其桿端彎矩，因而有：其轉動剛度及傳遞系數

均為0;

③豎桿BC按B端固定支承、C端滑動來計算其固端彎矩，因而有SBc=iBc,傳遞系數為一I。

（b）BCD部分只有一根立柱，且橫梁外端支桿與立柱平行，可以用無剪力分配法；而BE

FA部分用力矩分配法計算。

①BC桿按B端固定、C端滑動來計算其固端彎矩，因而有SBc=iBc,傳遞系數為一1；

②CD桿按C端固定、D端錢支來計算其固端彎矩，因而有ScD=3ia,傳遞系數為0；

③BE和BF按B端固定，E、F端錢支來計算其固端彎矩，因而有SBE=3iBE,S8F=3iBF,傳遞

系數均為0;

④AB桿按兩端均固定來計算其固端彎矩，因而有SBA=4iB,\,傳遞系數為1/2。

8-4試作圖8-2-6所示剛架的M圖（圖中EI為相對值）。

g=30kN/m

解：(1)求固端彎矩

2F

MB/=ql/8=15kN-m,MBC=—q「/8=-60kN-m

(2)求分配系數

/2]/[3BC/4+4

|XBA=[3(EI)AB(EI)AB/2+3(EI)(EI)BD/3]=3/C3+3/2+4/3)=0.514

=BC/41/[3BC/4+4

|1BC[3(EI)(EI)AB/2+3(EI)(EI)BD/3]=(3/2)/(3+3/2+4Z3)=0.

257

J1BD=[4D/3]/[3BC/4+4

(EDB(EI)AB/2+3(EI)(EI)in/3]=(4/3)/(3+372+4/3)=0.

229

48.44

(3)放松B點，進行力矩分配，分配過程如圖8-2-7所示，并作M圖如8-2-7所示。

圖827

400kN

<7=40kN/m

^「E”為

.6m」.3m.|.3mJ.6mJ

8-5試作圖8-2-8所示連續梁的M、FQ圖，并求CD跨的最大正彎矩和反力。

圖828

解：求固端彎矩

MBCF=一FW8=-3()()kN-m

MCBF=FI>1/8=300kN-m

MCDF=-ql2/8——(40x36)/8=-180kN-m

求分配系數

gBA=[4(EI)BA/6]/[4(EI)BA/6+4(EI)BC/6]=(2/3)/(2/3+473)=1/3

|1BC=[4(EI)BC/6]/[4(EI)BA/6+4(EI)BC/6]=(4/3)/(2/3+473)=2/3

PCB=[4(EI)CB/6]/[4(EI)CB/6+3(EI)co/6]=(4/3)/(4/3+2)=2/5

MCI>=[3(EI)CD/6]/[4(EI)CB/6+3(EI)CD/6]=2/(4/3+2)=3/5

分配過程如圖8-2-9所示，并作彎矩圖和剪力圖如圖8-2-10所示。

1____10.33|0.67||0.410.6|______o

圖為

00-300300-1800

50—--------100200———?100

-44--------88132―?0

7.335?一--------14.6729.33——?14.665

-2.933———-5.866-8.799---------—?0

0.489---------0.9781955-------—?0.978

-0.196-0.391-0.587―?0

0.033?一--------0.065013—0.065

57.86115.71二115.7132L45二321.390

圖8-2-9（單位：kNm）

57.86

Mffi（單位:kN-m）廣洲伸位：kN）

圖8210

由剪力圖可知

FRC=407.97kN（向上），FRD=66.43kN（向上）

彎矩在剪力為0處最大，距D點66.43/q=1.66m處，則

（66.43x1.66）/2=55.14kN-m

8-6圖8-2-

11所示某水電站高壓水管，受管內水重及管道自重作用。試作水管的彎矩圖和剪力圖。設

EI為常數。

圖82II

解:AB懸梁部分可以去掉，相應地在B截面施加一個逆時針的0.02qR集中力偶。

求固端彎矩

MBCF=-0.02qP,MCBF=Q12/8—O.Olql2—0.115c|l2?MCD「=-qR/12

Mr)cr=ql2/12,MDEF=-ql2/12,MEDF==ql2/12

求分配系數

化B=(3EI/1)/(3EI/1+4EI/1)=3/7=0.43

PCD=(4EI/1)/(3EI/1+4EI/1)=4/7=0.57

goc=HDE=(4EI/1)/(4EI/1+4EI/1)=l/2=0.5

分配系數

0.430.570.50.5

YDE

7^77/

冏端彎矩-0.020.115-0.08330.0833-0.08330.0833

放松C-0XFT36—0.0181a-0.009

放松。0.0023——0.00450.0045——------?0.0023

放松C-0.001-0.0013

桿端彎矩-0.020.1004-0.KXM0.0788-0.07880.0856

C截面所受的彎矩絕對值最大，因此先放松C點，分配過程如圖8-2-12所示。

圖8-2-12(xqp)

0.1004/

圖8213

8-7試作圖8-2-14所示剛架的M圖。設EI=常數。

|80kNi5kN/m

BC

E

9

EF

3m3mI6m6m

圖8-2-14

解：求固端彎矩

MABF=-Fpl/8=-60kN-m

F

MBA=FPl/8=60kNm

2

MBCF=-ql/12=—45kN-m

2

MCBH=ql/12=45kN-m

求分配系數設

NBA=NBE=NBC=(4EI/6)/(4EI/6+4EI/6+4EI/6)=1/3

MTB=WF=WD=(4EI/6)/(4EI/6+4EI/6+4EI/6)=1/3

表821

（單位：kN?m）

結點ABC

ABBABEBCCBCFCD

111111

TTTTTT

麻?6060-4545

-7.5-15-15-15

-1.25-15-2.5-IS?l.25

0.210.420.42?0.41

-0.035-00。?007-0.07

-61.2957.43■257-54.8629.17■14.58-14.59

作M圖如圖8-2-15所示。

圖8-2-15M圖（單位:kNm）

8-8試作圖8-2-16所示剛架的M圖。

Fp=20kN

圖8216

解：CD部分可以去掉，相應地在C截面附加一個順時針25kN-m的集中力偶。

求固端彎矩

F2

MBA=ql/8=31.25kN-m

MBCP=-qp/12=-20.8kN-m

F=

MCBF=-Mnc20.8kN,m

求分配系數

gBA=[3(EI)BA/5]/[3(EI)BA/5+(EI)BE+4(EI)BC/5]=(3/5x4EI)/(3/5x4El+2El+4

/5x4EI)=6/19=0.316

MBE=[(EI)BE]/[3(EI)BA/5+(EI)BE+4(EI)BC/5]=(2EI)/(3/5x4EI+2EI+4/5x4EI

)=5/19=0.263

gBC=[4(EI)BC/5]/[3(EI)BA/5+(EI)BE+4(EI)BC/5]=(4/5X4EI)/(3/5x4El+2El+4

/5x4EI)=8/19=0.421

WB=[4(EI)CB/5]/[(EI)CF+4(EI)CB/5]=(4/5X4EI)/(2EI+4/5x4EI)=8/13=0.615

國F=[(EI)CF]/[(EI)CF+4(EI)CB/5]=(2EI)/(2El+4/5x4EI)=5/13=0.385

固端彎矩進行分配，計算并作出M圖如圖8-2-17所示。

圖8-2-17

t7=20kN/m

8-9試作圖8-2-18所示剛架的內力圖。設EI=常數。

圖8-2-18

解：圖中為正對稱荷載作用下的對稱結構，取半邊結構研究，如圖8-2-19所示。

0.80.22

<7=20kN/m

Er

00-240-120”

19248—48

192-192-168

96

6m

半邊結構圖計算過程（單位：kN?m）

圖8-2-19

求固端彎矩

2

MBEF=-ql/3=-240kN-m

MEBP=-ql-/6=-120kN-m

求分配系數

gBE=(EI/6)/(4EI/6+EI/6)=1/5=0.2

gBA=(4EI/6)/(4EI/6+EI/6)=4/5=0.8

進行力矩分配，計算過程如圖8-2-19所示。

據上所述，作出剛架的內力圖如圖8-2-20所示。

192^192

1T

1/

AZI?!（單位：kN?m）外圖（單位：kN）

480

120120

入圖（單位:kN）

圖8220

夕=10kN/m

"“升升”升升升

ABCDE

WZW/77^>

4m4m4m4m

8-1（）試作圖8-2-21所示剛架的內力圖。設EI=常數。

圖8221

解：圖中為正對稱荷載作用下的對稱結構，取半邊結構研究，如圖8-2-22所示。

0.50.50.3330.3330.333診

0-13.3313.330-13.3313.335

6.676.673.33

-0.55-1.11-1.11-1,11-0.55

0.280.280.1412.78

-0.05-0.05-0.05

(jF10kN/m

6.95-6.9515.64-1.16一1449

冊冊H

A診3.33

Bcl-0.55

0.14-0.03

3.47-0.58

FG

勿勿勿勿

半邊2曬圖計算過程（單f立：kN?m)

圖8-2?22

求固端彎矩

MABH=-ql2/12=—13.33kN-m,MBAH=_MABF=13.33kN-m

FFFF

MBC=MAB=-13.33kN-m,McB=MBA=13.33kN-m

所有桿端均為固定支座，任意一端的轉動剛度均為EL故分配系數可直接求得:

|4.AB=|IAF~0.5,|4.BA=|XBC~|J.BG-0.333

進行力矩分配，計算過程如圖8-2-22所示。

根據計算結果，作出剛架的內力圖如圖8-2-23所示。

尸N圖（單位:kN）

圖8223

試作圖8-2-24所示剛架的M、FQ、FN圖（圖中I為相對值）。

2.50kN1195kRI195kN25CkN

0.5m6m1.65m

一1r,

A1D

/=2.74r

7=0,512

7=42kN/m

B'r+i+HH+H'ct

/=1.78)

m

/=0.5125

.3

2

1

F

C一

勿勿勿y[

16.3m

圖8224

解：圖中為正對稱結構，取半邊結構如圖8-2-25所示。

求固端彎矩

MAGF=[-(250X0.5)(2X8.15-0.5)/(2x8.15)一(195x6.5)(2x8.15-6.5)/(2x8.1

5)]=-883.22kN-m

MGG=L(250X0.50/(2x8.15)-(195x6.50/(2x8.15)]kN-m=-509.28kN-m

MB/=-l/3x42x8.152kN-m=-929.92kN-m

MHBF=-1/6x42x8.152kN-m=-464.96kN-m

求轉動剛度

A點

SAG=iAG=2.74E/8.15=0.336E

SAB=4￡B=(4X0.512)E/8.75=0.234E

SBA=SAB=0.234E

B點

SBH=iBH=1.78E/8.15=0.218E

SBc=4iBc=(4x0.512)E/12.35=0.166E

求分配系數

HAG=0.336/(0.336+0.234)=0.589

HAB=1-0.589=0.411

gBA=0.234/(0.234+0.218+0.166)=0.379

JIBH=0.218/(0.234+0.218+0.166)=0.353

|1BC=1-0.379-0.353=0.268

進行力矩分配，計算過程如圖8-2-25所示。

06

8

Q艘G

250kN!95kN0

0.141

0-883.22-509.28

176.22

290.58416.42-416.42

-27.53

A11.3216.22-16.22

-1.07

0.440.63-0.63

45C^50-943

0.379皿

@向-----------------蹣，

0.269'

B0-929.920-464.96

250.15328.26352.44-328.26

145.29

-39.08-51.29-55.0651.29

5.66

-1.52-2.0-2.152.0

0.22

-0.06-0.08-0.08

209-655446-740

C半邊結構圖125.08

77/77-19.54

-0.76

104.8

圖8-2-25（計算過程單位:kN-m)

據上所述，作內力圖如圖8-2-26,8-2-27所示。

%圖（單位：kN）

圖8-2-26

一102.4

圖8227FN圖（單位：kN）

8-12試作圖8-2-28所示剛架的M圖。

4kN12kN12kN4kN

圖8-2-28

解：根據對稱性，取半邊結構如圖8-2-

29所示。A點左邊可以去掉，相應的在A截面施加一個2kN?m(逆時針)的附加力偶作用

，CD桿較接在兩端剛架上，受上部均布荷載作用，在桿端僅產生豎向集中力，豎向集中

力通過兩端剛架直接傳至地面，不會引起剛架內部的彎曲變形，故將CD桿看作一個水平

約束。

求固端彎矩

MAGF=-(12X0.7)(2-0.7)/(2X1)kN-m=-5.46kN-m

MGA1---(12x0.72)/(2x1)kNm=-2.94kNm

求轉動剛度

A點

=

SAG=IAG1.5E/1=1.5E

SAc=4iAc=1.333E

C點

SCE—4icE=4E/4=E

SCA=1.333E

求分配系數

HAG=1.5/(1.5+1.333)=0.529

陽c=1-0.529=0.471

PCA=1.333/(1.333+1)=0.571

PCE=1—0.571=0.429

計算過程如圖8-2-29所示。

12kN

半邊結構圖

圖8229

據上所述，作M圖如圖8-2-30所示。

圖8230

8-13試作圖8-2-31所示剛架的彎矩圖。

lOkN/m

C20kN

CT-

葩II*

A

12mi一4m